博弈论习题集.doc

1. (Gibbons,1992)求出下面策略式博弈的全部纯策略和混合策略纳什均衡;(1)(2)(1)纯策略纳什均衡为：(T ,R)和(B ,L)，混合策略纳什均衡为：(4/5,1/5),(0,3/4,1/4). (2)纯策略纳什均衡为：(D ,R)，无混合策略纳什均衡。2. (Gibbons,1992)考虑下面的策略式博弈(1)找出这个博弈的可理性化策略。(2)找出这个博弈的全部纳什均衡。3. 考虑如下策略式博弈：厂商1和2同时选择产品价格和，其中，厂商i的利润函数为 其中j i，(1) 假设：(i)厂商1是理性的，(ii)厂商1知道厂商2是理性的，(iii)并且厂商1知道厂商2知道厂商1是理性的。试求厂商1可能的定价范围是多少；(2)假设两个厂商的理性是公共知识，那么两个厂商选择的价格应该是多少？将结论与这个博弈的纳什均衡做比较。4. 两家厂商位于一条长度为1的线段上。他们用同样的技术5考虑两家厂商竞争一项专利，专利的价值标准化为1。每个厂商可以投入的成本，投入成本高的厂商将会得到这项专利，如果两家厂商的投入相同，那么每家厂商或获得0.5的收益。将这个模型表示为一个策略式博弈，并求出该博弈的混合策略纳什均衡。6 考虑一个有无穷多个参与人的博弈，N=1,2,3,，每一个参与人都有两个纯策略：进入(In)和退出(Out)。每个参与人的VNM期望效用函数形式如下：(i) 若该参与人选择的策略为退出，那么不论其他参与人的策略是什么，他的收益总为0；(ii) 若该参与人选择进入，且只有有限多的其他参与人选择进入，那么他的收益为1，但是如果有无限多的参与人选择进入，他的收益为 -1。证明这个博弈不存在纯策略或者混合策略纳什均衡。(提示：应用概率论中的BorelCantelli引理)7说明下列扩展式博弈是否满足“完美回忆”的性质。如果满足的话将其写成策略式博弈，并找出纯策略纳什均衡和子博弈完美纳什均衡。（1）（2）8(1)假设一个家长和他的孩子进行如下博弈：首先，孩子选择行9考虑如下的两人T期博弈：有一笔存在银行里数目不断增长的现金，在第t(t =1,2,T)期该笔现金的数量为2t。在每一期里面，两个参与人必须同时决定是否将现金从银行取出。如果只有一个人决定将现金取出，那么这个人将得到累积到当期的全部现金，而另一个人的收益为0。如果两个人都决定将现金取出，那么他们各得到累积到当期的现金的一半。如果两个人都决定不将现金取出，那么此博弈进行到下一期。如果博弈进行到最一期(第T期)时两个人都决定不将现金取出，那么他们每人得到T的收益。将这个博弈表示为扩展式博弈并找出子博弈完美纳什均衡。10考虑如下市场进入博弈：厂商2(市场进入者)首先选择是否进入市场。如果厂商2选择不进入(O)，那么厂商1和2的收益为(4,0)。如果厂商2选择进入(I)，并且厂商1选择容纳(A)，那么厂商1和2的收益为(2,2)，如果厂商1选择竞争(C)，那么厂商1和2的收益为(-2,-2)。(1)将这个博弈表示成策略式博弈和扩展式博弈；(2)找出这个博弈的全部纳什均衡，说明其中哪个均衡有被占优策略；(3)假设厂商1面对的进入厂商有九个，分别为厂商2,3,10，这些厂商按数字从小到大顺序依次选择是否进入，假设后进入的厂商可以观察到全面厂商的策略，找到一个纳什均衡使得厂商2,3,10的策略均为不进入，在这个均衡下哪个厂商采用了被占优策略；(4)找出这个博弈的子博弈完美纳什均衡，用重复剔除弱被占优策略的方法求出这个博弈的结果。11考虑如下两人扩展式博弈：(1)写出此博弈的策略形式；(2)求出此博弈所有的纯策略纳什均衡；(3)求出此博弈所有的(包括混合策略)子博弈完美纳什均衡；(4)找到一个与(3)中所有子博弈完美纳什均衡结果不相同的纳什均衡。12考虑如下的海盗分宝石博弈：10个海盗考虑如何分配100颗宝石，他们经过抽签按照编号由1到10的顺序(记为海盗1到海盗10)依次提出分配方案。博弈的规则如下：宝石只能按整数进行分配。海盗1首先提出分配方案，如果有半数或者半数以上的(包括剔除分配方案的)海盗投票表示通过该方案即实施该方案，博弈结束；否则海盗1将被其他海盗投入海中喂鲨鱼，剩下9个海盗继续该博弈。接下来由海盗2提出分配方案，规则与前面相同，若通过则博弈结束，否则海盗2将被喂鲨鱼。依次类推，并且假设所有的海盗在对接受和拒绝分配方案无差异的时候一定会选择拒绝。求出此博弈的子博弈完美纳什均衡，即每一个海盗i的分配方案。13两个参与人进行如下竞赛博弈：参与人A和B进行一项竞赛，首先到达终点的参与人为胜利者，胜利者的收益为20，而失败者的收益为0。在竞赛开始时，两人距离终点线均为6步，首先通过投掷硬币的办法决定哪个人先选择行动，在决定行动的次序之后，两个参与人按该顺序轮流选择行动。每次行动都有如下四种选择，其中括号中为该行动给参与人带来的成本：原地不动(成本为0)，向前移动1步(成本为2)，向前移动2步(成本为7)，向前移动3步(成本为15)。最后，此博弈存在贴现，在每次行动之后，参与人的收益将按折现率折现，假设是一个非常接近1但小于1的实数。(1) 求出这个博弈的子博弈完美纳什均衡。(提示：对于任意一个子博弈完美纳什均衡，参与人在某个节点的选择只与他离终点的距离和对手离终点的距离有关。)(2) 假设参与人A首先选择行动，求出在不存在竞争时，即只有他一个人参与这个博弈时，他的最优策略，并于在原博弈均衡中的策略进行对比。不完全信息静(动)态博弈14考虑如下的不完全信息博弈：参与人1(行参与人)清楚这个博弈的支付矩阵是G1还是G2(如下图所示)，但是参与人2(列参与人)不知道博弈的支付矩阵是哪个，假设G1和G2出现的概率各为1/2,并且这个概率为两个参与人的“共同知识”。(1)将该博弈表示为一个贝叶斯博弈(列出参与人，类型，策略和支付)；(2)求出这个博弈的全部贝叶斯纳什均衡。1516(1)列出此博弈的类型空间，策略空间和贝叶斯推断；(2)求出此博弈的对称的纯策略贝叶斯纳什均衡。17我们知道一个完全信息的猜硬币博弈是不存在纯策略纳什均衡的，但是有一个混合策略纳什均衡：每个参与人都以二分之一的概率选择正面(H)。对于该博弈相对应的不完全信息静态博弈，求出一个纯策略贝叶斯纳什均衡，使得在不完全信息趋于消失时，参与人在贝叶斯纳什均衡的策略收敛到其在原完全信息博弈中混合策略纳什均衡下的策略。18考虑如下n个参与人的公共物品提供博弈：每个参与人19考虑下面的原告和被告之间在开庭审判前的谈判博弈：如果案件交到法庭，被告被迫支付给原告损害赔偿d，d服从区间0,1上的均匀分布，且只有被告知道d的真实值，以上是共同知识。案件交到法庭将使原告花费cd*时被告选择和解，那么原告关于是否起诉的最优决策是什么？(2)在第(ii)阶段，对给定的要约s，如果被告推断拒绝后原告将向法庭起诉的概率为p，被告的类型为d时，他的最优和解决策是什么?(3)如果要约s 2c，那么从第(ii)阶段开始的序贯博弈的完美贝叶斯均衡是什么？如果要约s 2c呢？如果c1/3，求出整个博弈的完美贝叶斯均衡。20考虑如下的三个参与人动态博弈：两家公司(参与人1和参与人2)合作完成一个开发项目，还有一家银行(参与人3)是这个开发项目的潜在投资者。首先，由两家公司同时决定各自的研发力度，且研发力度或为高(H)或为低(L)。其次，这两家公司共同向银行做项目报告。如果两家公司都做出了较高的研发投入，那么这项报告将会进行的很顺利，在其它情况下，这项报告的结果将会很糟糕。假设银行只观察到项目报告的结果，而观察不到两家公司各自的研发投入。最后，在项目报告结束之后，银行决定是否对此项目进行投资。如果银行投资(I)的话，两家公司的收益均为5；如果银行不投资(NI)，他们的收益均为0。除此之外，高研发投入对于每家公司的成本均为1，而低研发投入的成本为0。对于银