函数综合题命题趋势与解题策略 人教版.doc

函数综合题命题趋势与解题策略http:/www.DearEDU.com陕西省汉中市第二中学 李保林函数应用的广泛性、解法的多样性和思维的创造性构成了函数问题的核心内容，特别是函数与不等式、函数与数列的综合题是近几年高考的热点，多半也是高考的压轴题，在高考中举足轻重，高考的区分层次和选拔使命主要靠这类题型来完成预设目标。目前的高考综合题已经由单纯的知识叠加型转化为知识、方法和能力综合型尤其是创新能力型试题。函数综合题是高考数学试题的精华部分，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点。函数综合题从题设到结论，从题型到内容，条件隐蔽，变化多样，因此就决定了审题思考的复杂性和解题设计的多样性。在审题思考中，要把握好“三性”，即（1）目的性：明确解题结果的终极目标和每一步骤分项目标；（2）准确性：提高概念把握的准确性和运算的准确性；（3）隐含性：注意题设条件的隐含性。审题这第一步，不要怕慢，其实慢中有快，解题方向明确，解题手段合理，这是提高解题速度和准确性的前提和保证。解答函数综合题的一般方法和规律：1. 函数思想要求我们站在函数的高度上俯视、统揽诸如：方程问题、不等式问题、取值范围问题、大小比较问题等一些问题，使原本纷呈复杂、令人眼花缭乱的问题变的脉络清晰、思路简明、易于解决。2. 函数内容涉及的方法有：数形结合、函数与方程、分类讨论和等价转化。用到了配方法、待定系数法、数学归纳法、换元法、消元法、反证法、代入法等数学方法。3. 函数把数学的各个分支紧紧地连在一起。函数与方程、不等式、数列、几何、三角、导数等，彼此渗透，相互融合，构成了函数应用的广泛性，解法的多样性和思维的创造性，也使函数成为历年高考的热点。一. 函数性质、图象的综合题函数的图象是函数解析式的“形”的表象，它以图形的方式来刻划函数中变量之间的变化关系。通过函数的图象研究函数的性质，是中学阶段学习函数理论的重要方法；即有助于理解和记忆函数的性质，也有助于应用函数的性质分析问题和解决问题。函数的性质主要是函数的单调性和奇偶性，可依据定义判定和证明函数的单调性和奇偶性，这是基本方法，也可利用图象的特征来研究函数的性质。这一部分的学习要多利用形结合的思想方法。例1. 定义在上的函数，当时，.且对任意的，有（1） 证明：；（2） 证明：对任意的，恒有；（3） 证明：是上的增函数；（4） 若 ， 求的取值范围。证明：（1）令，则，又，（2）由题设知 时，. 当时， 既有 既时，也有 综上，对任意的，恒有。（3）设，不妨令， 则 由于， 故是上的增函数。（4）由，得 又是上的增函数， 解得：二函数与三角的综合数形结合是中学数学中的重要思想方法之一，解决函数与三角的综合问题注意数形结合。例2已知：定义在区间上的函数的图像关于直线对称，当 时，函数.（1）求，的值；（2）求的函数表达式；（3）如果关于的方程有解，那么将方程在取某一确定值时所有解的和记为，求的所有可能取值及相对应的的取值范围。解：（1）=0；=.（2）当时，有， （3）先作出函数的草图（如右图）， 显然，若有解，则 当时，有两解，=； y 当 时，有三解，=； 当 时，有四解，=； 当 时，有两解，=。三函数与数列的综合从映射、函数的观点看，数列可以看成是一个定义域为正整数集（或它的有限子集1，2，）上的函数，因此，数列与函数有着密切的联系，而在知识的交汇处设计试题是当前各级各类考试中的一个发展趋势。例三已知函数是偶函数，是奇函数，正数数列满足，.（1）若前项和为，求；（2）若，求中的项的最大值和最小值。解：（1）由已知可得， ，再由，可知可得，为首项，公比的等比数列，=（2）当时，取得最大值为； 当时，.四函数与不等式的综合此类问题常运用到函数、不等式的性质，要进行不等式的等价变形，要用到分类讨论的思想等，这部分题目需要有较强的分析问题和解决问题的能力。例4已知函数满足，其中（1）判断函数的奇偶性及单调性；（2）对于函数，当，求实数的取值范围；（3）当时，的值恒负，求的取值范围。解：（1）令 ， 则 由于 为奇函数.又当时，为增函数，为增函数，则在上是增函数。当时，为减函数，为减函数，则在上是增函数。综上，可知是上递增的奇函数。（2）由（1），当时，再由单调性及定义域，可得。（3）是上的增函数，在上也递增，由得. 要使在上恒负，只需成立，既：.五函数与平面向量的综合向量是数学中的重要概念之一，有着广泛的应用，由于向量具有代数与几何两种形式，常将数与形结合起来，解此类问题应特别注意向量的坐标运算.例5设函数，其中，(1) 若且，求;(2) 若函数的图像按向量，平移后得到函数的图像，求实数的值.解：（1） 若，则，得 或 ，解得： 或 ，当时，可得.（2）若函数的图像按向量平移后得到函数.则：， 即 六函数与导数由于导数法是研究函数的极值与最值的重要应用，也是解决此类问题行之有效的方法，因此，高考中函数与导数常出现综合题。在解题过程中要注意函数极值与最值的概念，及运用导数求解的方法，并注意数形结合。例六已知为实数，.（1）求导数；（2）若，求在上的最大值和最小值；（3）若在和上都是递增的，求的取值范围.解： （1）由原式得，（2）由，得，此时有，由，得或，又所以在上的最大值为，最小值为.（3）的图象为开口向上且过点的抛物线，由条件，即，