本科《博弈论及其在管理中的应用58个问题答案》.pdf

1 本科 博弈论及其在管理中的应用 本科 博弈论及其在管理中的应用 58 个问题解答个问题解答 问题问题 21智猪博弈智猪博弈 Boxed Pigs Game 20 分 按按钮 等待 按按钮 5 1 4 4 等待 9 1 0 0 表 1 智猪博弈得益矩阵 解 解 画出得益矩阵 5 分 在大猪这两个可供选择的策略中 选择等待对大猪 是一个严格劣策略 我们再剔除新博弈中大猪的严格劣策略 等待 剩下的新 博弈中只有小猪等待 大猪按按钮这一个可供选择的战略 即 按按钮 等待 是智猪博弈的最优均衡解 称为 重复剔除的占优战略均衡 根据纳什均衡定义 它也是纳什均衡 10 分 智猪博弈智猪博弈启示启示 1 在企业中 大企业就好比大猪 中小企业就好比是小猪 控制按钮可以比作技术创新 可以给企业带来收益 大企业资金雄厚 生产力大 有更多的能力进行技术创新 推出新产品后可以迅速占领市场获得高额利润 而 小企业的最优选择就是等待 等大企业技术创新后 跟在大企业后 抢占市场份 额 从这种创新中获得利益 15 分 智猪博弈智猪博弈启示启示 2 员工和企业也是一个 智猪博弈 过程 员工就是大猪 员 工有两种选择 努力工作或者消磨时间 如果员工努力工作那么企业和员工都受 益 如果员工敷衍工作 拿多少工资干多少活 那么最终会被企业辞退 员工只 有行动才会受益 不行动则不受益或者受损 而企业可以选择物资奖励 也可以 选择说教等待 物资奖励企业必先拿出部分资金作为奖励品 显然收益为负 而 等待则不受损 即使辞退员工也可以有人填补空缺 让员工有危机感反而会促进 员工的积极性 所以聪明的员工会选择努力工作引起领导注意而得到加薪 20 分 问题问题 24 解答 解答 猜硬币博弈有盖硬币方 A 和猜硬币方 B 游戏 a 若盖硬币方 盖正面 猜硬币方猜正确 猜正面 则盖硬币方输 1 元 猜硬币方赢 1 元 b 若盖硬币方盖正面 猜硬币方猜错 猜反面 则盖硬币方赢 1 元 猜硬币方输 1 元 问题 i 写出猜硬币博弈的得益矩阵 ii 猜硬币博弈是否有纯策略纳什均衡 解 解 解 赢利矩阵 payoff matrix 如表 2 所示 猜正面 猜反面 盖正面 1 1 1 1 盖反面 1 1 1 1 表 2 猜硬币博弈得益矩阵 解 解 根据划线法 这个博弈不存在纯策略纳什均衡 5 分 下面求混合策略纳 小猪 大猪 A B 2 什均衡 假设博弈方 A 以概率 盖正面 以概率 1盖反面 博弈方 B 以概率 猜正面 以概率 1猜反面 则 A 的期望得益为 1 1 1 1 1 B 的期望得益为 1 1 1 2 2 10 分 根据 1 和 2 可得 24 42 21 解得最优解 2 1 15 分 混合策略纳什均衡是 A 以 2 1 概率盖正面 以 2 1 概率盖反面 B 均以 2 1 概率猜正 面 以 2 1 概率猜反面 20 分 问题问题 25斗鸡博弈 Chicken Game 20 分 有两人 A 和 B 狭路相逢 每人有两个行动选择 一是退下来 一是进攻 如果一方退下来 而对方没 有退下来 对方获得胜利 这人就很丢面子 如果对方也退下来 双方则打 个平手 如果自己没退下来 而对方退下来 自己则胜利 对方则失败 如 果两人都前进 那么则两败俱伤 问题 A 和 B 应当如何决策 赢利矩阵 payoff matrix 如表 3 所示 前进 后退 前进 2 2 1 1 后退 1 1 1 1 表 3 斗鸡博弈得益矩阵 解 解 这个博弈有两个纯策略纳什均衡 一方前进 另一方后退 或一方后退 另一方前进 5 分 下面求混合策略纳什均衡 假设博弈方 A 以概率 选择前 进 以概率 1选择后退 博弈方 B 以概率 选择前进 以概率 1选择后退 则 A 的期望得益为 1 1 12 1 3 B 的期望得益为 1 1 12 2 4 10 分 根据 3 和 4 可得 A B 3 23 23 21 解得最优解 3 2 15 分 混合策略纳什均衡是 A 和 B 均以 3 2 概率选择前进 以 3 1 概率选择后退 20 分 问题问题 28狩猎博弈狩猎博弈 20 分 参与人是两个猎人 他们的行动是同时选择 猎鹿或者猎兔 规则是 若两人同时猎鹿 则鹿被猎到且两人平均分配鹿的价值 10 元 若两人同时猎兔 则每人各获得价值 1 元的兔 若一人猎兔而另一人 猎鹿则兔被抓到但鹿跑掉 该博弈的得益矩阵见表 4 所示 鹿 兔 鹿 5 5 0 1 兔 1 0 1 1 表 4 狩猎博弈得益矩阵 解解 此博弈同样是一个完全信息静态博弈 参与人是两个猎人 他们的行动是选 择猎鹿或者猎兔 该博弈纯策略纳什均衡为 鹿 鹿 和 兔 兔 5 分 下面求混合策略纳什均衡 假设猎人 1 以概率 选择猎鹿 以概率 1选择猎 兔 猎人 2 以概率 选择猎鹿 以概率 1选择猎兔 则猎人 1 的得益为 10 1 15 1 5 猎人 2 的得益为 10 1 15 2 6 10 分 根据 5 和 6 可得 15 15 21 解得最优解 5 1 15 分 混合策略纳什均衡是 两个猎人均以 5 1 概率选择猎鹿 以 5 4 概率选择猎兔 20 分 问题问题 29 两人定和博弈 甲乙两人进行某种游戏 两人定和博弈得 益矩阵见表 5 求该博弈的所有纳什均衡 4 C D A 4 1 2 3 B 1 4 3 2 表 5 两人定和博弈得益矩阵 解解 该博弈不存在纯策略纳什均衡 5 分 下面求混合策略纳什均 衡 假设甲以概率 选择 A 以概率 1选择 B 乙以概率 选择 C 以概率 1选择 D 则甲的期望得益为 1 32 1 14 1 7 乙的期望得益为 1 24 1 1 3 2 8 10 分 根据 7 和 8 可得 42 14 21 解得最优解 2 1 4 1 15 分 混合策略纳什均衡是 甲以概率 2 1 选择 A 以概率 2 1 选择 B 乙以概 率 4 1 选择 C 以概率 4 3 选择 D 20 分 问题问题 30 进门博弈 进门博弈得益矩阵见表 6 求该博弈的所有纳什 均衡 先进 后进 先进 0 0 2 1 后进 1 2 0 0 表 6 进门博弈得益矩阵 甲 乙 甲 乙 5 解解 该博弈纯策略纳什均衡为 先进 后进 和 后进 先进 5 分 下面求混合策略纳什均衡 假设甲以概率 选择先进 以概率 1 选择后进 乙以概率 选择先进 以概率 1选择后进 则甲的期望 得益为 1 02 1 10 1 9 乙的期望得益为 1 02 1 10 2 10 10 分 根据 9 和 10 可得 32 32 21 解得最优解 3 2 3 2 15 分 混合策略纳什均衡是 甲以概率 3 2 选择先进 以概率 3 1 选择后进 乙 以概率 3 2 选择先进 以概率 3 1 选择后进 20 分 问题问题 31 两人博弈 甲乙两人进行某种游戏 两人博弈得益矩阵见表 7 求该博弈的 所有纳什均衡 X Y Z A 6 6 8 20 0 8 B 10 0 5 5 2 8 C 8 0 20 0 4 4 表 7 两人博弈得益矩阵 解解 对乙来讲无论甲选择任何策略 Y 都比 X 好 X 是乙的下策将其 划去得到 3 行 2 列矩阵 此矩阵中对甲来讲无论乙选择任何策略 C 乙 甲 6 都比 B 好 B 是甲的下策将其划去得到表 7a 中 2 行 2 列矩阵 10 分 Y Z A 8 20 0 8 C 20 0 4 4 表 7a 两人博弈得益矩阵 由划线法可知该博弈纯策略纳什均衡为 C Z 20 分 问题问题 32 两人博弈 甲乙两人进行某种游戏 两人定和博弈得益矩阵见表 8 求该博 弈的所有纳什均衡 L M R U 1 0 4 1 1 0 M 2 1 3 2 0 1 B 3 1 2 0 2 2 表 8 两人博弈得益矩阵 解解 对乙来讲无论甲选择任何策略 M 都比 L 好 L 是乙的下策将其 划去得到 3 行 2 列矩阵 此矩阵中对甲来讲无论乙选择任何策略 U 都比 M 好 M 是甲的下策将其划去得到表 8a 中 2 行 2 列矩阵 5 分 M R U 4 1 1 0 B 2 0 2 2 表 8a 两人博弈得益矩阵 乙 甲 甲 乙 甲 乙 7 由划线法可知该博弈纯策略纳什均衡为 U M 和 B R 10 分 下面求混合策略纳什均衡 假设甲以概率 选择 U 以概率 1 选择 B 乙以概率 选择 M 以概率 1选择 R 则甲的期望得益为 1 2 1 1 24 1 11 乙的期望得益为 1 20 1 1 0 2 12 10 分 根据 11 和 12 可得 23 13 21 解得最优解 3 2 3 1 15 分 混合策略纳什均衡是 甲以概率 3 2 选择 U 以概率 3 1 选择 B 乙以概 率 3 1 选择 M 以概率 3 2 选择 R 20 分 问题问题 33 小偷和守卫博弈 20 分 一小偷欲偷窃有一守卫看守的 仓库 如果小偷偷窃时守卫在睡觉 则小偷就能得手 偷得价值为 V 的 赃物 如果小偷偷窃时守卫没有睡觉 则小偷就会被抓住 设小偷被抓 住后要坐牢 负效用为 P 守卫睡觉而未遭偷窃有 S 的正效用 因睡 觉被窃要被解雇 其负效用为 D 而如果小偷不偷 则他既无得也无 失 守卫不睡意味着出一份力挣一份钱 他也没有得失 小偷和守卫博 弈得益矩阵见表 9 8 睡 不睡 偷 V D P 0 不偷 0 S 0 0 表 9 小偷和守卫博弈得益矩阵 问题 小偷和守卫如何决策 小偷和守卫博弈结果对我们有什么启示 解解 根据划线法 小偷和守卫博弈不存在纯策略纳什均衡 5 分 假设小偷偷 窃 守卫睡觉的概率分别为 分别求出小偷和守卫的期望支付函数 1 和 2 1 1 PV 13 1 2 SD 14 10 分 13 和 14 分别对 求一阶偏导数并令导数为 0 得到小偷以概率 SDS 偷窃 守卫以概率 PVP 睡觉为该博弈的混合策略纳什 均衡 15 分 启示启示 1 现在我们要问两个问题 一是如何降低小偷偷窃的概率呢 这是对 公共安全部门来讲的 二是如何降低部门内部人员上班睡觉的概率呢 这是部门 内部监管的要求 上面的概率函数揭示这样一个出乎意外的现象 降低小偷偷窃 的概率 可以通过加大对守卫的处罚值 D 守卫如果想多睡觉 必须加大对小偷 的处罚力度 P 原理相同 事实上 守卫处罚加重 不睡觉概率增大 小偷不 敢来偷 偷窃概率降低 启示启示 2 由于 值与 P 无关 因此加大对小偷的处罚力度 不能降低小偷的 偷窃概率 为了更好地说明 试把这个博弈用于腐败问题 从古到今 对腐败的 惩治不可以不严 但是仍然不能消灭腐败 很多人仍然铤而走险 如果把小偷比 作腐败分子 守卫就是监管部门 那么要打击腐败 降低腐败概率 所要立的规 矩首先是制定一个严厉惩治监管部门的条例 这个监管部门比如是上级部门或上 司或者类似于廉政公署的专门机构 这才抓住了问题的关键 启示启示 3 关于房地产宏观调控 我们的调控部门制定了各种各样的政策 对 各种各样的现象进行处罚或者严打 试图达到稳定房价规范市场的目标 一而再 再而三地屡犯不止 从那年至今 我们很少看到因调控不力 有部门受到惩罚或 者有人为此丢官 韩国建设部长的辞职难道不能受点启发 制定并执行调控政策 的部门 跟调控的最终结果似乎没有任何关系 恐怕跟部门缺乏监管或者监管力 度远远不够有关系吧 要使宏观调控能够执行 言必行 行必果 制定对无法完 成调控目标行为的惩治条例 应该有助于有关部门好好动脑筋真正做点有用的事 情 20 分 小偷 守卫 9 问题问题 34 剪刀 石头 布博弈 甲乙两人进行剪刀 石头 布游戏 两人博弈得益矩阵见表 10 求该博弈的所有纳什均衡 剪刀 石头 布 剪刀 0 0 1 1 1 1 石头 1 1 0 0 1 1 布 1 1 1 1 0 0 表 10 剪刀 石头 布得益矩阵 解解 该博弈不存在纯策略纳什均衡 5 分 下面求混合策略纳什均 衡 假设甲以概率 1 x选择剪刀 以概率 2 x选择石头 以概率 21 1xx 选 择布 乙以概率 1 y选择剪刀 以概率 2 y选择石头 以概率 21 1yy 选 择布 则甲的期望得益为 1 1 1 21212112212121211 xxyyxxxyxxxyyyxx 15 乙的期望得益为 1 1 1 21212112212121212 yyxxyyyxyyyxyyxx 16 10 分 根据 15 和 16 可得 13 31 1 2 21211 2 1 21211 y x yyxx y x yyxx 13 31 1 2 21212 2 1 21212 x y yyxx x y yyxx 解得最优解 3 1 21 xx 3 1 21 yy 15 分 乙 甲 10 混合策略纳什均衡是 甲以概率 3 1 选择剪刀 以概率 3 1 选择石头 以 概率 3 1 选择布 乙以概率 3 1 选择剪刀 以概率 3 1 选择石头 以概率 3 1 选 择布 20 分 问题问题 35 田忌赛马博弈 齐王和田忌赛马博弈得益矩阵见表 11 求该博弈的所有纳什均 衡 上中下 上下中 中上下 中下上 下上中 下中上 上中下 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 上下中 1 1 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 中上下 1 1 1 1 3 3 1 1 1 1 1 1 中下上 1 1 1 1 1 1 3 3 1 1 1 1 下上中 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 1 1 下中上 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 表 11 田忌赛马得益矩阵 解解 该博弈不存在纯策略纳什均衡 5 分 下面求混合策略纳什均 衡 齐王以概率 6 1 选择上中下 上下中 中上下 中下上 下上中 下中上 田忌以概率 6 1 选择上中下 上下中 中上下 中下上 下上 中 下中上 20 分 问题问题 36 社会福利博弈 社会福利博弈得益矩阵见表 12 求该博弈的所有纳什均衡 找工作 被救济 救济 3 2 1 3 不救济 1 1 0 0 表 12 社会福利得益矩阵 田忌 乙 甲 齐王 11 解解 该博弈不存在纯策略纳什均衡 5 分 下面求混合策略纳什均 衡 假设甲以概率 选择救济 以概率 1选择不救济 乙以概率 选择找工作 以概率 1选择被救济 则甲的期望得益为 1 0 1 1 3 1 17 乙的期望得益为 1 0 1 1 32 2 18 10分 根据 17 和 18 可得 21 15 21 解得最优解 2 1 5 1 15 分 混合策略纳什均衡是 甲以概率 2 1 选择救济 以概率 2 1 选择不救济 乙以概率 5 1 选择找工作 以概率 5 4 选择被救济 20 分 问题问题 37 两人博弈 参见文献 1 第 92 93 页 甲乙两人博弈 甲有 U 和 D 两种策略 乙有 L 和 R 两种策略 1 若甲采取 U 策略 乙采取 L 策略 则甲乙得益分别为 a 和 b 记为 a b 2 若甲采取 U 策略 乙采取 R 策略 则甲乙得益分别为 c 和 d 记为 c d 3 若甲采取 D 策略 乙采取 L 策略 则甲乙得益分别为 e 和 f 记为 e f 4 若甲采取 D 策略 乙采取 R 策略 则甲乙得 益分别为 g 和 h 记为 g h 问题问题 i U L 为占优战略均衡的条件是什么 ii U L 为重复剔 除的占优均衡的条件是什么 iii U L 为纯战略纳什均衡的条件 是什么 12 解 解 对于两人博弈 i U L 为占优战略均衡的充要条件是 ea gc db 和hf 19 ii U L 为重复剔除的占优均衡的充要条件是 ea gc db 或ea db hf 20 iii U L 为纯战略纳什均衡的充要条件是 ea 和db 21 两人博弈的得益矩阵如表 1 3 所示 L R U a b c d D e f g h 表 13 两人博弈的得益矩阵 根据占优战略均衡 重复剔除的占优均衡和纯战略纳什均衡的定 义可知 i U L 为占优战略均衡的充要条件是 19 ii U L 为重复剔除的占优均衡的充要条件是 20 iii U L 为纯战略纳什均衡的充要条件是 21 问题问题 38 公共地悲剧 参见文献 1 第 97 99 页 设某村庄有 n 个农户 有一片可以自由牧羊的公共草地 草地面 积有限 如果牧羊的实际数量超过这个限度 则每只羊的产出 毛 皮 肉的总价值 就会减少 农户在夏天到公共草地放羊 而春天就要决 定养羊的数量 可看作各农户决定养羊数的决策是同时做出的 再假 设所有农户都清楚这片公共草地最多能养多少羊和羊只总数的不同 水平下每只羊的产出 假设购买和照料每只羊的成本对每个农户都是 甲 乙 13 相同的不变常数 c 用 i q代表农户 i 的养羊数目 在公共草地上放牧 羊只的总数为 n qqQ 1 每只羊的产出记为 QV 其中函 数 tV满足 ctV 0 dt tdV 和0 2 2 dt tVd 对所有的0 t成立 问题 问题 这 n 个农户如何决定各自的养羊数目 解解 成本函数 iii qcqC ni 2 1 可得 Qt dt tdV n Q cQV 22 n 个农户联合时总的利润为 cQVQQ 联合决策一阶条件为 Qt dt tdV QcQV 23 其中 Q是最大化问题 maxcQVQ Q 的解 5 分 假设 QQ 显然 当2 n时 Q n Q 24 因为0 2 2 dt tVd 即 tV dt d 为单调递减函数 所以结合假设 QQ 得 0 QtQt tV dt d tV dt d 25 由 24 和 25 得 QtQt tV dt d QtV dt d n Q 26 10 分 结合 24 25 和 26 可得 QVQV 27 因为0 dt tdV 所以根据假设 QQ 得到 14 QVQV 28 28 与 27 矛盾 即假设 QQ 不正确 所以 QQ 15 分 因此 对于公地悲剧模型 联合决策是指 n 个农户共同决定总的养羊 数目 n