非线性方程组的解法.doc

非线性有限元 第四章 非线性方程组的解法第四章 非线性方程组的解法4.1 非线性方程组的一般形式从上面两章中，我们研究了离散化结构中任一单元在的时间增量步内，由材料非线性引起的单元切线刚度阵是线性的，（如第三章得出的增量平衡方程 (7) （假定时刻的状态已知），由此集合而成结构的增量平衡方程也是线性的，这就为求解整个的非线性过程准备了条件。即只要确定每一步的切线刚度，通过求解一系列的线性方程组，累加起来就得到了解的全过程。结构总的平衡方程是非线性的： (1) i.e 。令 (1) 分段线性化是求解非线性问题中一个普遍有效的技术，但作为具体的解法还有许多种，主要的有：1、增量法纯增量法2、迭代法直接迭代法（刚线刚度法）、Newton-Raphson迭代法（切线刚度法） 3、.混合法增量/迭代型方法4.2 载荷增量法（纯增量法）1、 基本思想将一个非线性的全过程分成若干段，每一段用一个线性问题去近似。如将一段取得足够小，总可以逼近真实的非线性过程。方法：若将外载荷分成个增量步，而每个增量载荷为， 为载荷系数（或称载荷因子）， 则总载荷 ；其中： 为基准载荷.上面的结构平衡方程为 (1)i.e (2)上式两边对微分得 (3)i.e (4)如比例加载（力的大小和方向不变），有，代入(4)得 (5)将(5)式写成增量形式便有以下求解格式 (6)2、求解步骤1） 将载荷分成若干个增量步 ，准备位移量累加器Q并置零.2） 施加第1个载荷增量 ，计算线性求解 并送入位移量累加器Q3） 施加第2个增量步 用，求即在处的切线刚度矩阵求解 在位移量累加器Q中完成累加.4） 重复3）直至()个载荷施加完毕, 在位移量累加器Q中得到总位移 3. 几何意义及讨论优缺点： 优点：了解加载过程，当足够小，总能收敛到真实解 缺点：实际不可能无限小，因此累积误差，且无法估计，造成极大偏离而失真4.3 迭代法1 直接迭代法1) 基本思想：将载荷一次加上，并假设一个初始解代入方程组求出第一次近似解；将其再代入方程组求解，得出第二次近似解，反复迭代逐次修正解，直至满足方程组（类似于对过渡单元加权平均中的迭代）。2) 步骤 假设近似解 ； 代入方程（1）得 ； 依次类推得 （7）3）几何意义（一维问题） 迭代过程是调整其平行割线刚度的过程。4） 优缺点求解方法简单，对原有弹性分析程序稍加修改即可，适用于非线性弹性。但迭代效率低，对一些问题不收敛。举例P 收敛球壳q qP不收敛（发散）qP 收敛慢q浅壳2 牛顿莱夫森迭代法（NewtonRaphson）1） 基本思想对非线性方程（1）函数在某一近似解处作一阶台劳展开 (8)设 (9)为当前迭代解与准确解之间的差值。由（8）得 (10)代入（1）两边求导得 (11)设外力（大小、方向）与位移无关，由（6）得 (12)（12）式代回（10）、（11）得 (13)于是得到迭代公式 (14)2) 法迭代步骤 取初始状态，故计算即线弹性刚度矩阵（与当前位移无关）求解方程（8） 代入（9） 线性解 由计算 和从而得到 和 重复2的做法，反复迭代直至满足给定的迭代准则 3） 几何意义（以一维问题为例）按基本公式（12），（13），（14） a、 为曲线上,在对应点的斜率，也就是切线刚度；为当前状态下的外载向量；b、 称为当前抗力, 称为当前的不平衡力；所以，每一次迭代都是在上一次迭代终（当前）的变形，应力状态下，形成新的切线刚度矩阵作为求下一次迭代解的切线刚度，用当前的不平衡力求解。作为对上一次解的修正，不断修正，使不平衡力越来越小，最后达到平衡。4）优缺点及适用范围从上面迭代原理可知：该方法使变刚度法，计算工作量较大，但是收敛速度比较快，而且收敛性比较好，但是有时特例也不一定能保证收敛。为了改进N-R方法，克服计算量大的缺点，产生了等刚度法3 修正的N-R迭代法（等刚度法）顾名思义，等刚度就是在迭代过程中取一个（相等得）切线刚度矩阵，如果取初始的或某一个值，取i.e. 取 （j1，2，。）作了这一改进之后，只需在开始第一步迭代时第k步计算各单元的单刚，组装一次总刚后，作为以后每一次迭代的总刚而无需每次重新计算重新组装，只需计算由当前位移引起的结构反力，然后回代求解相应的位移增量。这一改进明显减少了计算工作量，但收敛速度必然会放慢，总的效果有时是好的。以后又有人作了进一步的改进，在等刚度迭代几次以后，改用一次变刚度，形成新的刚度阵再作等刚度迭代。等刚度迭代 分段等刚度迭代总结N-R迭代法 (10)纯增量法 (6)将纯增量法和N-R迭代法结合起来: (15)4.4 混合法1 基本思想结合增量法保证收敛的优点和N-R迭代法不断校正解的优点，可取得好的效果。即首先将总载荷分成若干个增量步，在每个增量步内采用N-R迭代。在一个增量步内达到平衡之后，再进入下一个增量步迭代。下面以第i个增量步内的迭代为例说明混合法的全过程。2 求解步骤1） 开始，施加第一个增量载荷，按N-R迭代法求解。设，求，求解方程，线性解。以计算假如迭代了k次收敛，则 2）在第i个增量步内的迭代(),各个增量步内的迭代过程相同， 已知第步终达到平衡状态 （1）以为i迭代步的初位移 求 解方程 =，求得 和 =+（2）以求 解方程得和（3）以此类推，求出，即 ， 迭代到k次收敛最终达到平衡时 =+3）以第i步终达到平衡状态时的 和作为初始状态，进入第步的迭代。4）直至全部载荷施加完毕。3 几何意义 应力极值时 应变极值时4 优缺点 优点：通常能保证收敛，且收敛速度快。目前应用最广泛。 缺点：对一些特殊问题失效，主要是有极值点的问题。4.5 迭代收敛准则和增量步的选取1 收敛准则 (Convergent Criterion)用迭代法求解非线性方程时，给出一个收敛判据（准则）是非常必要的，否则迭代将无法终止，实践证明，收敛准则将直接影响求解精度和速度，如果准则选的不合适将导致计算失效，目前常用的有下面三种判据：（1） 位移准则（见AIAA；10(8).1982）（a） (41)(b) (42)(c) (43) 最常用的是位移收敛准则，取10-210-5，只有当结构出现严重硬化时，位移增量的微小变化会引起不平衡力的很大变化，这一准则不予收敛。（2）不平衡力准则 (44)当物体严重软化时或材料接近于理想塑性时，平衡力的微小变化又将引起位移增量的很大偏差，这时又不宜用不平衡力准则。（3）能量准则能量已同时考虑了位移和不平衡力，能量准则是比较好的判据，它是把每次迭代后的内能增量（不平衡力在位移增量上做功）与初始能量增量做比较。i.e. (45)采用弧长法时可写作： (46)2 增量步长的选择求解非线性方程组时要合理选择增量步长，步长过大使计算结果不会收敛或不可靠，步长过小使计算时间太长，因此要根据具体问题的非线性程度来选择步长，不同结构形式的非线性形态不同，同一物体不同的加载方式、载荷大小不同，非线性程度也不一样。P. G. Be