用定义研究数学分析中的极限问题.doc

用定义研究数学分析中的极限问题导读：极限思想贯穿于数学分析始终，是数学分析乃至全部高等数学的精髓所在，所以利用极限思想方法研究和解决数学中的问题显得尤为重要。而数学中的概念与定义是数学的基础，文章借助数学分析中一些重要的定义，利用极限思想去解决有关极限问题。关键词：数学分析，定义，极限思想数学中的极限思想是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想，它是近代数学的一种重要思想，也是微积分的基本思想因此，极限思想方法是研究数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的数学中的定义是数学的基础，也是进行数学思维的物质基础，正确理解数学中的定义是研究好数学的关键本文就借助数列极限的定义、函数极限的有关定义、函数的连续性的定义、导数的定义以及定积分的定义等来解决有关极限问题1.用数列极限的定义分析有关极限问题1.定义：, 自然数N,当nN时, 有,则用定义证明的关键是，对，只要找到一个自然数，使得当时，有即可。即证明的存在性，至于其大小则是无关紧要的，用不同方法找到的可能不同，但较小的并不说明其比较大的“好”，重要的是存在。论文参考网。若要求出，怎样求？因要求的满足时，故应解不等式求，如果直接解不等式求满足定义中的最小不容易时，可将适当放大，使，解不等式求出较大的。论文参考网。2.举例分析：例1 设，证明.证：由于，所以对任给的，存在，当，.又因为收敛，故有界，从而有界.设，固定，取，当时，= + ，因此，.注 在利用定义（即方法）证明数列an有极限时，通常有一条主线它是应用初等数学的技巧将不断适当放大，直到能从其中解出自然数N来本题的主线就是：+ ，N就是从中解出的.2.用函数极限的定义分析有关极限问题1.定义：, ,当时,有,则.用定义证明的关键是任给之后找到定义中的，若存在就得证。论文参考网。找出的方法是解不等式，为方便起见，有时把适当放大，使，并使仅含有因子.解不等式求出.有时先对作一下限制，设，进而推出，再由解得，取.由于方法不同，求出的定义中的可能不同，但它对当时是否以为极限没有影响，关键是它的存在.2.举例分析：例2 试证：.证 任给，要使 ，因为，不妨设，即，所以，所以只要即可.取，则当时，和同时成立，即当时，恒成立.所以.注 用“”的方法时，与数列极限一样，有一条主线.3.用函数的连续性的定义分析有关极限问题1.定义：设函数在点的某领域内有定义，如果自变量的增量趋于零时，对应的函数增量也趋于零，即则称函数在点处是连续的.由于也可写成，所以上述定义中的表达式也可写为，即.从定义 “”知，欲研究函数在点的连续性，首先必须在点的某实心领域内有定义；至于区间端点的连续性，必须考察左连续或右连续.对于，可作如下两种理解：若函数在点连续，则该点的极限运算转化为代数运算，即直接计算在点的函数值；，即在点连续时，极限运算与函数运算可以交换次序，换言之，“”与“” 可交换次序.2.举例分析：例3 求极限解：=.注函数在点处连续.4.用导数的定义分析有关极限问题1.定义：当函数在的某一领域内有定义，当自变量在处有增量（，仍在该领域内）时，相应地函数有增量，如果与之比当时，极限存在，那么这个极限值称为函数在点的导数.并且说，函数在点处可导，记作，即.如果极限不存在，则函数在点处不可导.如果固定，令，则当时，有，故函数在点处的导数也可表示为.2.举例分析：例4 已知在点a处可导，求.解： 在点a处可导，由导数定义，数列极限与函数极限的关系（海涅定理）可得.例5 设在a可导，且.求极限.解：由已知导数定义及数列极限与函数极限关系得= .例6 设，求.解：常规作法，则先求出在处的函数值并化简极限式，再由罗必达法则求解，但注意到（初等函数）及导数定义，则有：= 令 =. 从以上例子可以看出运用导数的定义可以巧妙地解决几种常见的极限问题，起到了很好的效果.5.用定积分的定义分析有关极限问题1.定义：设函数在区间上有定义，在区间中任取分点，将区间分成n个小区间，记， 再在每个小区间上任取一点，作乘积的和式，若当（即）时上述和式的极限存在（即这个极限值与区间的分法无关及与点的取法无关，），则称此极限值为函数在区间上的定积分，记为，即 (a).定积分的定义式(a)的左端为定积分. 右端为一个n项和式的极限，由于(a)式右端的极限与区间的分法无关，与的取法无关，所以在具体应用时通常假设区间为，并将区间n等分，则子区间的长度，不妨取子区间的右端点记为，于是(a)式就变为(b).将公式(b)反过来使用可以将某些n项和的极限问题转化为定积分来处理.2.举例分析：例7 求极限.分析：可通过放大技巧，转化成和式极限，再转化为定积分求值.解：，而 ，由于 ， .所以由夹逼定理可知： .例8 求极限 .分析：此式为乘积形式，可先取对数，转化为对数和极限，再变成定积分求值.解：由于所以将上式取对数再求极限得 .故 .由此可见，一些和式的极限问题可以变为定积分的形式来解决。在这个过程中：首先，将和式写成积分和的形式；第二步，要确定区间及其特殊的（对于该和式的）划分，及的特殊取值，并确定对应于积分和式的函数；第三步，检验在上的可积性；最后，写出积分（表示原合适的极限）. 注意在这类和式极限过程中，因为，为将原极限表示成积分和的极限（），只能对区间取等分的特殊划分，否则不能说明，故，即应在原