（应用数学专业论文）模糊回归分析的理论及应用.pdf

摘要p3 皇3 6 “ 本文研究了基于三角模糊数的模糊回归分析的性质，探讨了模型在 金融分析领域的应用。首先我们引入相关因子w ，在t a n a k a 独立模型的 基础上建立了相关模型，同时研究其基本性质。然后我们研究了模型的 解在不同的条件，比如不同的h 值或不同的隶属函数下的联系。紧接着 我们引入稳定性因子s ( h ，k ) 并研究其性质。在此之后我们指出了t a n a k a 模型的几个缺陷，特别是其中一个严重问题：t a n a k a 模型的求解结 果中，模型参数大部分为精确数，这有可能使模型本身变得毫无意义。 为了解决这一问题，我们提出了一个新模型。理论分析和数据测试显示 新模型不仅保持了旧模型的优点，更消除了前面说的严重缺陷。( 在本文 的最后，我们给出了一个本文建立的模型在金融预测上应用的例子：预 测美元和日圆汇率的波动。结果显示新模型的预测结果准确率至少 8 0 ，高于旧模型相应的6 0 。0 d ， f 关键词j ：模糊回归够；h 号隶属函挚；三角模糊弩 a b s t r a c t i nt h i s p a p e r ，t h ep r o p e r t i e s o ff u z z yr e g r e s s i o nm o d e lb a s e do n t r i a n g l ef u z z y n u m b e ra n di t sa p p l i c a t i o nt of i n a n c i a lf o r e c a s t i n ga r es h o w n a n dd i s c u s s e d a tf i r s tw ei n t r o d u c et l ec o r r e l a t i v e p a r a m e t e r w c o n s t r u c t c o r r e l a t i v em o d e lb a s e do nt a j l a k a s i n d e p e n d e n tm o d e l a n dd i s c u s st h e m a t h e m a t i cb a s e m e n to ft h i sm o d e l t h e nw ed i s c u s st h e r e l a t i o n s h i p a m o n gt h e m o d e l ss o l u t i o n si nd i f f e r e n ts i t u a t i o n ss u c ha sd i f f e r e n th v a l u e so rd i f f e r e n tm e m b e r s h i pf u n c t i o n s w ei n t r o d u c es e n s i t i v e f a c t o rs ( k ，h ) a n d d i s c u s st h ep r o p e r t i e so f s ( k ，h ) a tl a s t ，w ep o i n to u tt h e s e v e r a ld e f e c t so ft a n a k a sm o d e l ，e s p e c i a l l yt h em o s ts e r i o u so n e ：t h e r e a r es om a n ys h a r pp a r a m e t e r si nt h es o l u t i o nt h a ti t m i g h tm a k e t h ef u z z y r e g r e s s i o nm o d e lm e a n i n g l e s s i no r d e rt or e s o l v et h i sp r o b l e m ，w eb r i n g f o r w a r dan e wm o d e l t h ed a t a t e s t i n ga n dt h e o r e t i ca n a l y s i ss h o w t h en e w m o d e ln o to n l yk e e pt h en i c ep r o p e r t i e so fo l do n e ，b u ta l s oe l i m i n a t et h e s e r i o u sp r o b l e mm e n t i o n e db e f o r e a tt l l ee n do ft h i s p a p e r w eg i v ea e x a m p l et os h o wt h e s em o d e l sa p p l i c a t i o ni nf o r e c a s t i n ge x c h a n g er a t e 。s f l u c t u a t i o nb e t w e e nt h eu sd o l l a ra n dj a p a n e s ey e n 1 1 1 e f o r e c a s t i n g o u t l ：i u t s a c c u r a t er a t eo fn e wm o d e li sa tl e a s t8 0 w h i c hi s h i g h e rt h a n 6 0 o f o l do n e 【k e yw o r d s ：f u z z yr e g r e s s i o n f u n c t i o n ；t r i a n g l ef u z z yn u m b e r a n a l y s i s ；h v a l u e ；m e m b e r s h i p 模糊回归分析的理论及应用 绪论 回归分析是一种得到广泛应用的分析工具，它假定输入变元和输出结果之间 存在某种形式的联系，然后寻找合适的函数表达式描述这一联系，这一过程即是 回归模型的建立，而建立模型的目的是依据这一模型对输出结果作出解释和预 测。经典的回归分析已经得到非常广泛的应用，并且已经取得了很大的成就。从 数学的角度来看，经典的回归分析假定所考虑的环境是非模糊的环境，变元之间 的联系是用实数定义的，而且一般说来，为了建立合适的，准确的模型，需要收 集并分析大量的数据。 模糊回归分析的研究方法是应用模糊函数使模糊的，不精确的事物之间的关 系模型化，它所依据的数学基础是z a d e h 的扩展原理，这原理提供了一种把经典 的数学概念加以拓展的普遍性方法，使其能成功地处理模糊环境下的数学问题。 在经典回归分析中，由于我们假定研究对象之间的数学关系是精确的，因而认为 误差的产生是由测量的不准确造成的。而模糊回归分析所考虑的环境是模糊的， 系统参数是模糊的，参数之间的关系也是模糊的，所以我们认为观测值与估计值 之间的误差是由于系统参数以及参数之间的关系的模糊性决定的，而并非由测量 误差引起。从这个意义上说，经典回归分析与模糊回归分析的研究角度是有着本 质的区别的。 模糊回归分析为研究非精确的自然现象提供了一种有效的工具，模糊回归分 析所建立的数学模型，其参数是模糊数，这一方法符合大多数自然现象的特性。 与此相反，经典的统计方法所建立的数学模型，其参数是精确数。为了能够有效 地应用经典的统计方法，需要收集大量的关于研究对象的数据，也就是说需要对 模型本身有足够的了解，违反了这一准则，就不可能得到准确的结果。但自然界 的很多现象是是无法用精确的数学模型描述的，尤其是所研究的对象包括人类的 行为时，比如说大多数涉及经济学的问题。另外，当有关研究对象的数据零碎和 不完全时，模糊回归分析也能对所研究对象的行为作出有效的预测，而经典的统 计方法对此却无能为力。因此，模糊回归分析的研究范围比经典方法广得多，是 处理模糊的，不完全的信息的非常有力的工具。 1 9 8 2 年i - i i d e ot a n a k a 首先提出模糊回归分析的概念，建立了模糊回归分析的一 般方法。本文在其基础上，对模糊回归分析的理论基础和具体应用进行了详细的 研究。本文把讨论的模型根据输入变元之间的相关性和独立性分为相关模型和独 立模型，并将运用具体事例对两种模型进行比较，我们将会看到，相关模型在结 果的准确性上好于独立模型，本文还将用具体事例比较经典回归模型与模糊回归 模型的分析结果，并讨论两种模型的适用范围。 以下是本文正文部分的具体结构：第一章讨论基本的模糊回归模型，包括相 关模型和独立模型的基本理论。第二章是模糊回归模型的稳定性分析。第三章用 具体数据验证模糊回归模型的有关性质，将其与经典回归模型相比较，指出模型 存在的问题，同时提出一种新的规划方法并研究其性质。最后给出了模糊回归模 型在金融分析上的一个应用，我们将使用文中建立的模型，根据美日间的有关经 济指标，构造一个预测美元与臼圆之间汇率的模型。 耍壹奎逗盔堂塑窒生堂焦迨塞 一一 第一章 模糊回归模型的基本理论 11 基本定义及结论 定义1 对称模糊数：对称模糊数是指模糊数a = ( q ，c ) k 。 其中u ( x ) = k ( ( x q ) c ) ， c 0 ，x 为实数。 这里k ( x ) 满足：1 ) k ( x ) = k ( 一x ) ；2 ) k ( 0 ) = l ：3 ) k ( x ) 在正半 轴连续且递减。实际上k ( x ) 决定了隶属函数的形状，我们经常遇到的模糊数 的隶属函数的宽度是有界的，因此还可加上第四个限制条件即( 4 ) k ( x ) = o ， ( ixl c ) 。 例如： ( 1 ) k ( x ) = m a x ( o 。l - i xi ) 。 ( 2 ) k ( x ) = m s x ( o ，e x p ( 一lxf ) ) 。 ( 3 ) k ( x ) = m a x ( o ，( e x p ( jxi ) 一e x p ( 1 ) ) ( 1 e x p ( 1 ) ) ) ，等等。如图 1 - 1 ，1 - 2 ，i - 3 所示。( 本文所用图表见附录) 当c = 1 的时候，我们称之为标准对称模糊数。对于宽度有界但边界大于零的 隶属函数，我们可以通过线性变换用标准对称模糊数来实现。定义1 中的模糊数的 隶属函数就是以q 为中心，宽度为2 c 的连续函数。本文涉及的模糊数都是经过线 性变换可满足( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) ，( 4 ) 的模糊数。最简单的对称模糊数是三角模糊数， 其隶属函数为： 0 ， 称模糊数a 为一致模糊数， x-ni c ，( c 0 ) i x ql c 若其隶属函数满足： 第3 页 愚 a - x - l - l = 、， x u l ， lx i c ，( c 0 ) u 一( x ) = 0 ， l x q l c 称模糊数a 为凹( 凸) 模糊数，若其隶属函数为凹( 凸) 的。 称l ( h ) = m a x ( x ，x 满足k ( x ) = h ) 或一m a x ( x ，x 满足k ( x ) = h ) ，0 h 1 为k ( x ) 的逆函数，显然l ( h ) 是多值函数。最常见的l ( h ) 是： l ( h ) = 1 一h 或h - 1 ，0 0 3 xa l o - q1 ) c l = ( a 2 0 q2 ) c 2 ) k ( ( y - ( x iq - + ) ( 2 a2 ) ) ( c l x - + c 2 x 2 ) ) 若此时( a t q - ) c 0 ，因为l 在自变量大于零时严格递减，必有： ( a l - n1 ) c 1 m o ，于是： ( a 2 0 - a2 ) c 2 ) k ( ( b 2 o - c t2 ) c 2 ) s u p k ( ( a , - q1 ) c i ) ，k ( ( a 2 - a0 e 0 k ( ( y 一( x i ql + ) ( 2 q 2 ) ) ( c i x r _ i - c 2 x 2 ) ) 和假定矛盾。 若( 锄q1 ) c , 0 ，必有a l c ：，因为若c o ，上述两式不可能同时满足。 定理1 2 如果a t a ha 2 ，那么对于任意h h ，a l 三h ta 2 证明：由h h 知il ( h ) i il ( h ) i 因为a na ：，则( 1 ) ，( 2 ) 成立，又因为il ( h ) i f l ( h ) l ， 有q a ：il ( h ) i ( c ”a ) 所以a l 善h a 2 。 12 模型的建立及基本性质 现在考虑以下输入输出模型。 表1 1 盟q塑变量! ( n笪出变量y ( i ) l x ( 11 ) x ( 1 n )y ( 1 ) 2 x ( 2 1 ) x ( 2 n )y ( 2 ) 3 x ( 3 1 ) 3 n )y ( 3 ) m x ( m 1 ) x ( m n )y ( m ) 一个回归问题有两个基本方面要考虑：1 ) 什么是合适的数学模型，2 ) 如何 使模型和数据吻合得最好。这里y ( i ) 是第i 个样本的输出，称x ( i j ) 为对应于第i 个输 出的第i 个输入。如果输入的各变量之间是独立的，可采用独立回归模型，如果输 入变量之间是相关的，问题就变得复杂的多，根据变量之间的相关特性，模型的 形式是不同的。 假定由模型计算得到的对应于第i 个样本的输出是y ( i ) k 6 ，( i ) ，c y ( ，y ) 。，实 际输出是y ( i ) = ( y ( i ) ，c y ( i ) ) k 。令y ( i ) 一“i ) k d ( i ) ，d ( i ) 可看作是观测值与估测值之 间的误差。通常是零均值的。在模糊回归模型中，我们认为这一误差是由于系统 结构的模糊性决定的，也就是由系统参数的模糊性决定的。 基于以上考虑，在输入变量互相独立时，可构造模型如下： y = a ( 1 ) x ( 1 ) + a ( 2 ) x ( 2 ) 十+ a ( n ) x ( n )( 1 3 ) a ( i ) = ( q i ，ci ) k ，i = 1 ，2 ，1 1 。 本模型的关键在于确定a ( i ) 。在实际应用过程中，我们有可能添上a ( 0 ) ，这 样，( 1 3 ) 变成： y = a ( o ) + a 0 ) x ( 1 ) + a ( 2 ) x ( 2 ) + + a - ( 】1 ) x ( n )( 1 3 ) 也就是说，运用信号系统的有关原理，把输出看成是零输入分量和零状态分 量之和。零状态分量对应零输入分量，a ( 1 ) x ( 1 ) + a ( 2 ) x ( 2 ) + + a ( n ) n ) 对应零状态分量。在下面的分析中，暂时不考虑零输入分量，实际上是否考虑a ( 0 ) ，不会影响下面的分析，因为可以把a ( o ) 看成a ( o ) x ( o ) ，o ) = l ，而x ( 0 ) 和 其余输入变量都不相关。 当考虑到输入变量之间的相关特性时，在模型中不仅要考虑各输入变量单独 作用的结果，还要考虑各变量共同作用的结果。我们用w ( i j ) x ( i ) x ( j ) 表示变量x ( i ) ，x ( i ) 之间的相关特性，w ( i j ) 是- 个凭经验确定的系数。一般情况下，x ( i ) 是 些无量纲的量，比如说利率，通胀率，失业率等等。因为这样才能使我们的表达式 在逻辑上是合理的。w o j ) 满足o w ( i 3 ) 1 。x ( i ) ，x o ) 划w ( i j ) - - - o 。类似， 我们用w ( i j k ) x ( i ) x ( j ) x ( k ) 表示变量歉( i ) 。x 0 ) ，x ( k ) 之间的相关特性，用w ( 1 2 3 n ) x ( 1 ) x ( 2 ) x ( n ) 表示全部变量的相关特性。基于以上考虑，相关模 型为： y = a ( i ) x ( i ) + a ( i j ) w ( i j ) x ( i ) x ( j ) + + a ( 1 2 n ) w ( 1 2 3 n ) x ( 1 ) x ( 2 ) x ( n )( 1 4 ) 如果考虑零输入变量，( 1 4 ) 式右边须添加a ( 0 ) 。现暂时不考虑a ( 0 ) 。在式( 1 4 ) 中，a ( i ) = ( q 一，c ；) k ，a ( i j ) = ( qi i ，c i j ) k ，a ( 1 2 n ) = ( q1 2 ”c 1 2 n 、k ， 令f ( q ，x ) = q - x ( i ) + qo w ( i j ) x ( i ) x ( j ) + + q1 2 w ( 1 2 3 n ) x ( 1 ) x ( 2 ) x ( n )( 1 5 ) g ( c ，x ) = c ix ( i ) f + c o1w ( i j ) x ( i ) x ( j ) i + c m 。fw ( 1 2 3 n ) x ( 1 ) x ( 2 ) x ( n ) l( 1 6 ) 根据定理1 1 ，有： 定理1 3 y 的隶属函数为l ay ( y ) = k ( ( y f ( a ，x ) ) 倌( c ，x ) ) ( 1 7 ) 特别的，若输入变量之间独立， y 的隶属函数为u v ( y ) = k “y - a 呱i ) c iix ( i ) i( 1 8 ) 构造模型的关键在于确定参数集a ( 包括a ( i ) ，a ( i j ) ) ，在y ( i 十) 三 y ( i ) ，y ( i ) 兰i y ( i 一) 两种情况下，我们分别得到a 的上下界即a ( + ) ，a ( - ) ，分 另u 满足： y ( i 一) = f ( a ( 一) ，x ( i ) ) = a ( i - ) x ( i i ) + a ( i j - ) w ( i j ) x ( i i ) x o i ) + + a ( 1 2 n 一) w ( 1 2 n ) x ( il ) x ( 订) x ( i n ) 皇y ( i ) 呈y ( i + ) = f ( a ( + ) ，x ( i ) ) = a ( i + ) x ( i i 。) + a ( i j + ) w ( i j ) x ( i i ) x 0 j 。) + + a ( 1 2 n + ) w ( 1 2 n ) x ( i 1 ) x ( i l ) x ( i n )( 1 9 ) 号是对i ，i 等求和，i 塞里x ( i i ) 是表示第i 个输入的第i 个变量。 y ( i + ) 和y ( i ) 分别是估测值的上下界，本模型的构造方法是在满足约束的情 况卜j ，输出值的模糊性越小越好。根据以上原则，可得以下命题。 设观测值为y ( i ) = ( y ( i ) ，e ( i ) ) k ， m i n 问题 ( 1 1 0 ) m i n j ( c ) = g ( c ，x ( i ) ) ，x ( i ) = ( x ( i l ) ，x ( i 2 ) ，x ( i n ) ) y ( i + ) = f ( a ( + ) ，x ( i ) ) “y ( i ) i = 1 ，2 ，n j ( c ) 是y ( i + ) 的展宽。m i n 问题的目的是寻找使得满足y ( i 十) hy ( i ) 的 极小集。由定理1 2 ，m i n 问题可转化为下列线性规划问题。 m i n j ( c ) = g ( c ，x ( i ) ) ，x ( i ) = ( x ( i l ) ，x ( i 2 ) ，x ( i n ) ) y ( i ) + ll ( h ) fe ( i ) f ( q ，x ( i ) ) 1l ( h ) lg ( c ，x ( i ) )( 1 1 1 ) 其中l ( h ) 是( 1 7 ) 的反函数。 m a x 问题的目的是寻找使得满足y ( i ) h y ( i 一) 的极大集。由定理l - 2 ，m a x 问题可转化为下列线性规划问题。 m a x问题 f 1 1 2 ) m a xj ( c ) = g ( c ，x ( i ) ) ，x ( i ) = ( x ( i l ) ，x ( i 2 ) ，x ( i n ) ) y ( i - ) = f ( a ( 一) ，x ( i ) ) n y ( i ) i = l ，2 ，1 1 类似，m a x问题可转化为下列线性规划问题。 m a x j ( c ) = g ( c ，x ( i ) ) ，x ( i ) = ( x ( i l ) ，x ( i 2 ) ，x ( i n ) ) y ( i ) + fl ( h ) le ( i ) f ( q ，x ( i ) ) + il ( h ) ig ( c ，x ( i ) ) y ( i ) 。il ( h ) le ( i ) f ( q ，x ( i ) ) - il ( h ) fg ( c ，x ( i ) ) ( 1 1 3 ) 若输出是精确数，即e ( i ) = o ，则( 1 11 ) ，( 1 1 3 ) 变为： m i n j ( c ) 2 g ( c ，x ( i ) ) ，x ( i ) = ( x ( i l ) ，x ( i 2 ) ，x ( i n ) ) y ( i ) f ( o ，x ( i ) ) + ll ( h ) lg ( c ，x ( i ) ) y ( i ) f ( a ，x ( i ) ) - ll ( h ) fg ( c ，x ( i ) ) ( 1 1 1 ) m a x j ( c ) 2 g ( c ，x ( i ) ) ，x ( i ) = ( x ( i l ) ，x ( i 2 ) ，x ( i n ) 1 y ( i ) f ( a ，x ( i ) ) + il ( h ) ig ( c ，x ( i ) ) y ( i ) f ( q ，x ( i ) ) 一il ( h ) ig ( c ，x ( i ) ) ( 1 1 3 ) 如果x ( i ) 2 ( x ( i l ) ，x ( i 2 ) ，x ( i n ) ) 之间是独立的，则可简化 为： m i n 问题 m i n j ( c ) = c iix ( i j ) i y ( i ) + il ( h ) fe ( i ) q j x ( i j ) + y ( i ) 一il ( h ) ie ( i ) q j x ( i j ) m a x 问题 m a x j ( c ) = c iix ( i j ) i y ( i ) + il ( h ) ie ( i ) q j x ( i j ) + y ( j ) 一jl ( h ) j i ) a i x ( i j ) 一 关于解的存在性，有以下定理： 定理1 - 4 ( 先列j 再对i 求和) l ( h ) l c iix ( i j ) i l ( h ) l c il x ( i j ) i ( 先对j 再对i 求和) il ( h ) i c ii x ( i j ) l jl ( h ) f aj x q ) i ( 1 1 4 ) ( i 1 5 ) 给定输入输出x ( i ) ，y ( i ) ，x ( i ) = ( x ( i l ) ，x ( i 2 ) ，x ( i n ) ) ，i = l ，2 n ，对任意h 满足o h x 1 ，m i n 问题( 1 1 1 ) 存在最优解： a ( + ) 2 ( q ( + ) ，c ( + ) ) k 。 证明：如果在_ m i ni b i s ( 1 1 1 ) 约束条件中，所有的c 取得足够大，因为双c ， x ( i ) ) 非负，很明显两个约束条件都能满足，因而m i l lf n 3 题( 1 1 1 ) 存在最优解。 另一方面，我们来看m a x 问题( 1 1 3 ) 是否一定有解。 定理1 5 如果m a ) ( 问题( 1 1 3 ) 输出y ( i ) = ( y ( i ) ，e ( i ) ) k 的e ( i ) = 0 ，b p y ( i ) = y ( i ) 是精 确数，则解集a 也为精确数，即对所有的i ，c = 0 。 证明：注意m a ) 【问题( 1 1 3 ) 的约束条件： y ( i ) + jl ( h ) ie ( i ) f ( q ，x ( i ) ) + jl ( h ) lg ( c ，x ( i ) ) y ( i ) - il ( h ) le ( i ) f ( a ，x ( i ) ) 一il ( h ) ig ( c ，x ( i ) ) 当e ( i 、= 0 时，有： y ( i ) f ( q ，x ( i ) ) + ll ( h ) ig ( c ，x ( i ) ) y ( i ) f ( q ，x ( i ) ) ll ( h ) lg ( c ，x ( i ) ) 所以g ( c ，x ( i ) ) = 0 ，所以即对所有的i ，c = o 。 定理1 - 6 如果m a ) ( 问题f 1 1 3 ) x 忏某个h 存在最优解，则对于任意h h ，也存在最优 解。 证明：因为对于h 存在最优解，故存在a 满足h 的约束条件，即： y ( i ) + il ( h ) le ( i ) f ( q ，x ( i ) ) + il ( h ) ig ( c ，x ( i ) ) y ( i ) 一il ( h ) ie ( i ) x f ( ，x ( i ) ) 1l ( h ) lg ( c ，x ( i ) ) 移项得： y ( i ) + il ( h ) l ( e ( i ) - g ( c ，x ( i ) ) f ( q ，x ( i ) ) y ( i ) - il ( h ) i ( e ( i ) - g ( c ，x ( i ) ) f ( a ，x ( i ) ) g f i 以e ( i ) 一g ( c ，x ( i ) ) o ，否则两个约束条件不可能同时满足。 又因为h 甙a ，x ) ，带入约束条件，可得： y ( i ) + ll ( h ) ie ( i ) f ( a ，x ) + il ( h ) ig ( c i ，x ) y ( i ) 1l ( h ) ie ( i ) f ( qt ，x ) - il ( h ) ig ( e l ，x ) 利用e + ( i ) = g ( c 一，x + ) ，带入得： y 率( i ) + il ( h ) ig ( o x 半) f ( a - ，x ) + il ( h ) ig ( c ，x ) y + ( i ) 一il ( h ) lg ( a ，x + ) f ( - ，x ) 一il ( h ) ig ( a ，x ) 移项得： y + ( i ) f ( q - ，x t ) + il ( h ) i ( g ( a ，x t ) 一g ( ct ，x + ) ) y + ( i ) f ( a ，x ) - il ( h ) j ( g ( c j ，x ) - g ( a ，x + ) ) 又g ( c ，x ) 一g ( a t x + ) n ，故根据线性方程的有关结论，有 lx t 0 ) i = lx o ) i ，j = 1 ，2 n ，进一步，从旷( i ) = y ( i ) = a 浏( j ) = ai j x + ( j ) ，同样由于m n ，并根据线性方程的有关结论，可得到x i ( j ) = x + 0 ) 。即 解是唯一的。 若输入变量相关，类似有： 定理l - 1 1 对于输入变量相关的模糊系统，若该系统满足y + = f ( a ，x + ) ，且m 2 “ ， ( 数据收集得足够多) ，则x ( + ) = x + = x ( - ) 是m i ni h - 题( 1 1 6 ) ，m a ) ( 问题( 1 1 7 ) 的唯一解。 另一方面，回过头来考虑m i n 问题( 1 1 4 ) ，m a ) ( 问题( 1 1 5 ) ，有类似结论。 定理1 1 2 对于m i n 问题( 1 1 4 ) ，m a xr 司题( 1 1 5 ) ，若m n ，且存在输入输出x + ( i ) ， y + ( i ) ，满足y + ( i ) = a + o ) x + ( 巧) ，i _ l ，2 ，n ，则m i n f 镌( 1 1 4 ) ，m a x l h q n ( 1 1 5 ) 存在唯一解：a ( i - ) = a + ( i ) = a ( i + ) 。 证明：考虑m a x n 题( 1 1 5 ) ，i n n y + ( i ) = a + ( j ) x + ( i j ) ，故： e ( i ) = c * jix 4 ( i j ) i ，带入约束条件，则有： y ( i ) + il ( h ) i c * jix + ( i j ) l q ，x ( i j ) + il ( h ) i c jlx ( i j ) i y ( i ) 一il ( h ) i c 气lx + ( i j ) i q j x ( i j ) il ( h ) i c jlx ( i j ) f 移项得： y ( i ) qj x ( i j ) 1l ( h ) i ( c 气ix + ( i j ) i qix ( i j ) i ) y ( i ) q , x ( i j ) + il ( h ) i ( c * jix + ( i j ) i f - - c jlx ( i j ) i ) 令j - + j ，c j - = c * j ，则( q + ，c + ) k 是可行解。假定它不是最优解，则必存 在q ，j _ 1 ，2 ，“，n ，满足： c j lx * ( i j ) | c * jlx + ( i j ) l 假定对某1 1 ，q jx * ( i j ) j c * jjx + ( j j ) j ，则上面y ( j ) 的约束条件是矛 盾的。所以对任意i ，i _ 1 ，2 ，n ，c j ti x * ( i j ) i = c ji 妒( i j ) l ，因为m n ，根据线性方程理论，得到对于任蠲，c i = c * j 。对于m m 问题( 1 1 4 ) 可作类似讨论。这样我们有： a ( i - ) = a + ( i ) = a t ( i + ) ，y ( i ) = y + ( i ) = y ( i ) 。 对于m i n l h - j 题( 1 1 2 ) ，m a x b - j 题( 1 1 3 ) ，类似有： 定理1 1 3 n 于- m i n n 题( 1 1 2 ) ，m a ) 【问题( 1 1 3 ) ，若m 2 “，且存在输入输出x + ( i ) 及y + ( i ) ，满足：y + ( i ) = f ( a + ，x + ( i ) ) ，i = l ，2 ，n ，则m i n n s ( 1 1 4 ) ，m a x 问题( 1 1 5 ) 存在唯一解： a ( i 一) = a + = a ( i + ) 。 关于相关模型与独立模型的关系，有以下定理。 定理1 1 4 1 ) m i n 问题( 1 】4 ) 的最优解是m i n 问题( 1 1 2 ) 的可行解， 2 ) m i n f 司题( 1 1 5 ) 的最优解是m i n 问题( 1 1 3 ) 的可行解。 证明：考虑1 ) 。若a 4 ，y 是m i n 问题( 1 1 4 ) 的最优解，贝 i a + 满足 y + ( i ) + il ( h ) ie + ( i ) q + ，x ( 司) + il ( h ) i c ，ix ( i j ) i y + ( i ) - il ( h ) fe + ( i ) q + j x ( i j ) - il ( h ) l 艺c 气ix ( i j ) i 在m i n n n ( 1 1 2 1 中，令 a ( i ) = a + ( i ) ，a ( i j ) = 0 ，a ( i j k ) = 0 ，a ( 1 。2 ，n ) = 0 ，i = 1 ，2 ， ，d ，j2 l ，2 ，n 。 显然a ( i ) 满足m i n 问题( 1 1 2 ) 的约束条件，所以y + 是m i n 问题( 1 1 2 ) 的可行 解。 同理可证2 ) 。 该定理表明相关模型的最优解优于独立模型的最优解。在考虑实际问题时， 为了得到更好的结果，应使用相关模型。 以上是本文建立的模糊回归分析模型的解的存在性分析。在第二章，我们继 续研究解的详细性质，并对解的稳定性进行分析。 耍直童适盔堂婴窒生堂鱼迨塞 一 第二章 模糊回归分析模型解的稳定性分析 以下讨论h 值与隶属函数对上述回归模型的影响，一般情况下假定实际输出 是精确数，因此首先讨论m i n 问题( 1 1 1 ) 。可以想象当h 增加时，描述系统的模 糊参数的宽度变得更宽，而其中心值y t ( i ) 不变。也就是说，当决策者所要求实际 结果和预测结果的符合程度增高时，如果不能收集更多的数据，那么只能降低对 系统特性描述明确性的要求。而当决策者对结果的明确度要求不高时，那么可以 用更明确的参数描述系统。h 值和描述系统特性的参数集a 构成一对矛盾。由此可 以相象，经典统计方法用精确数描述系统特性，在很多情况下，其预测结果和实 际结果之间很可能存在较大的误差。对于模糊回归模型来说，由于存在这一对矛 盾，使得h 值的选取变得十分重要，过小的h 值使得决策本身失去意义，过大的h 值使得对模型的描述过于粗糙，预测结果也过于粗糙，同样也使得决策失去意 义。一般来说，从实际应用角度来说，h 值一般应位于0 2 与0 8 之间。( h 值过小 失去预测意义，过大使预测结果过于模糊，同样没有意义。) 2 1h 值对预测值输出宽度c 的影响 对于指定的可信度h ，模糊回归方程( 1 1 1 ) 决定了a + = ( ，c + ) ，使实 际观测值y t ( i ) 位于a + 的h 截集内，如图2 - l 。因为a 4 中y 。( i ) 的隶属度可由在不改 变中心值的前提下增加或减少宽度来决定，当隶属函数一定时，h 值实际上决定 了系统模糊参数集a 的宽度，下面的定理指出了在隶属函数一定的情况下，如何 从已知信任度h 的最优解，无须再解方程得到另h 值下的最优解。 我们有以下定理： 定理2 1 假定线性规划问题i v l i n 问题( 1 “) x f f ：j ：h = h 有解a + 庐( q 十h ，c + h ) k 。那 么对于水平值h = h ，有解a + w = ( + ”，c il ( h ) l il ( h ) i ) k 。( 如图2 】所示) 证明：假i i g h h ，则ll ( h ) i il ( h ) i 。令对应h ，h 的a 的m m 问 题( 1 1 1 ) 的可行解集分别为m n ，m w 。若( qw ，c a ) x 属于m h ，则( dn ，c h ) k 满足 m i n 问题( 1 1 1 ) 的约束条件： y ( i ) f ( q ，x ( i ) ) + il ( h ) ig ( c ，x ( i ) ) y ( i ) f ( q ，x ( i ) ) - ll ( h ) ig ( c ，x ( i ) ) n n f ( q ，x ( i ) ) 对于a ，g ( c ，x ( i ) ) 对于c 满足齐次性，即： f ( k0 ，x ( i ) ) 2 k f ( q ，x ( i ) ) ，g ( k c ，x ( i ) ) = k g ( c ，x ( i ) ) 。 所以有： y ( i ) f ( q ，x ( i ) ) + ll ( h ) ig ( l ( h ) l ( h ) c ，x ( i ) ) y ( i ) f ( ，x ( i ) ) 一ll ( h ) lg ( l ( h ) l ( h ) c ，x ( i ) ) 所以( q 一，c h i l ( h ) i il ( h ) i ) k 属于m w 。显然m n 包含于m ”，如果 对应于隶属p h = h ，a f ( a + n ，c + nl 是m i n 问题( 1 11 ) 的最优解，但对于 隶属度h = h ，a + w = ( q + n ，c w il ( h ) i ll ( h ) i ) 删v i i n 问题( 1 1 1 ) 的最优解。假定这个最优解是( q 。“，c n ) x 。则有： j ( c ”) = g ( c “，x ( i ) ) j ( c + wil ( h ) i ll ( h 。) 1 ) = z g ( c jl ( h ) j jl ( h ) j ，x ( i ) ) = il ( h ) i il ( h ) ig ( c n ，x ( i ) ) = il ( h ) i il ( h ) l j ( c + n ) 因为( q h ，c t h ) x 是对应于h 的最优解。显然用类似的方法可证( a 。w ，c s