（地球探测与信息技术专业论文）井间电阻率成像方法研究.pdf

摘要 井间电阻率成像技术和地表电阻率成像技术相比，因为井问装 置的供电电极位于地表以下，对于有一定深度的异常目标体，其分 辨能力将远远大于地表装置的分辨率，这特别适用于当今能源和资 源勘探中大深度和高分辨率的勘探要求。 井间电阻率成像的目的是确定井间异常体的位置及地层真物性 参数，本文提出的井间视电阻率几何成像方法可以较准确地确定异 常体在井间的纵向位置。基于非全空间直流电场的原理，采用镜像 法推导出有别于半空间和全空间的视电阻率计算公式，求出与所有 电位对应的视电阻率值，然后以观测井深为纵坐标，供电井深为横 坐标绘制视电阻率等值线图，由此得出井间异常体的影像图。应用 三维三线性插值有限单元正演模拟方法，计算并分析了几种典型的 地质模型，结果表明，由视电阻率等值线形态能够判断异常体的空 间形态和准确位置，但井间低阻体表现为高视电阻率异常，井间高 阻体表现为低视电阻率异常。该方法垂向分辨率较高，确定深度较 准确，但无法分辨异常体的横向位置。 为了进一步确定异常体在井间的横向位置，提出一种井间视电 阻率网格化交汇成像方法。对井问区域进行网格化以后，求出每一 网格节点上的视电阻率平均值，最后以井深为横坐标，井间距离为 纵坐标绘制网格化之后的重组视电阻率等值线图。模型计算结果表 明可通过该等值线图大致确定异常体的横向位置。 井间电磁成像是井间精细结构研究的重要手段之一。论文最后 总结了现有的一些井间电磁成像方法并分析了各自的优缺点，指出 今后井间电磁成像技术的研究方向将围绕着仪器的研制、金属套管 对成像结果的影响及成像反演方法等一些方面进行。最终将采用多 分量井间电磁系统探测井间地层的各项异性特征，以达到精确描述 井间精细结构的目的。 关键词视电阻率，井间电阻率成像，几何成像，网格化成像，井 间电磁成像 a b s t r a c t c o m p a r e d t o r e s i s t i v i t yi m a g eo nt h es u r f a c e ，t h ec r o s s h o l e r e s i s t i v i t yi m a g eh a sab e t t e rr e s o l u t i o nf o rt h et a r g e tw i t hac e r t a i nd e p t h b e c a u s ei t sc u r r e n te l e c t r o d ei sl o c a t e db e l o wt h es u r f a c e t h i sm e t h o d e s p e c i a l l ym e e t sw i t ht h er e q u i r e m e n t so fd e e pd e p t ha n dh i g hr e s o l u t i o n o f e n e r g ya n d r e s o u r c ee x p l o r a t i o na tp r e s e n t t h ep u r p o s eo fc r o s s h o l er e s i s t i v i t yi m a g ei st oa s c e r t a i nt h el o c a t i o n o fa b n o r m i t yb o d ya n dr e a lp a r a m e t e r so ft h es t r a t u m t h eg e o m e t r y i m a g em e t h o do fc r o s s h o l ea p p a r e n tr e s i s t i v i t yi sp u tf o r w a r di nt h i s t h e s i s ，w h i c hc a na c c u r a t e l ya s c e r t a i nt h ep e r p e n d i c u l a rp o s i t i o n o f a b n o r m i t yb o d y b a s e do nt h et h e o r yo fd i r e c t - c u r r e n te l e c t r i cf i e l di n n o n f u l ls p a c e ，t h ea p p a r e n tr e s i s t i v i t yf o r m u l at h a ti sd i f f e r e n tf r o mh a l f s p a c ea n df u l ls p a c ew a sd e d u c e db yt h ei m a g em e t h o d ，a n da l la p p a r e n t r e s i s t i v i t yw a ss o l v e do u t ，t h e nt h ea p p a r e n tr e s i s t i v i t yi s o p l e t hm a p w a s d r a w n ，i nw h i c h ，o b s e r v a t i o nh o l ed e p t hi so r d i n a t ea n dp o w e r - s u p p l y h o l ed e p t hi sa b s c i s s a a tl a s t ，s e v e r a lt y p i c a lg e o l o g i cm o d e l sw e r e s i m u l a t e db yt h r e e - d i m e n s i o n a lf i n i t ee l e m e n tm e t h o d t h er e s u l t ss h o w , t h es p a c es h a p ea n dp r e c i s ep o s i t i o no fa b n o r m i t yb o d yc a nb ej u d g e d f r o ma p p a r e n tr e s i s t i v i t yi s o l i n es h a p e ，b u tc r o s s h o l el o wr e s i s t i v i t yb o d y r e f l e c t sh i g ha p p a r e n tr e s i s t i v i t ya b n o r m i t ya n dc r o s s h o l eh i g hr e s i s t i v i t y b o d yr e f l e c t sl o wa p p a r e n tr e s i s t i v i t ya b n o r m i t y t h i sm e t h o dh a sh i g h r e s o l u t i o ni np e r p e n d i c u l a rd i r e c t i o n ，a n dc a na c c u r a t e l ya s c e r t a i nt h e d e p t h ，b u tt h et r a n s v e r s ep o s i t i o no fa b n o r m i t yb o d y c a n tb er e c o g n i z e d t of u r t h e ra s c e r t a i nt h et r a n s v e r s ep o s i t i o no fc r o s s h o l ea b n o r m i t y b o d y , t h eg r i d d i n gi m a g em e t h o do fc r o s s h o l ea p p a r e n tr e s i s t i v i t yi sp u t f o r w a r d a f t e rt h ec r o s s h o l ea r e aw a sd i v i d e di n t og d s ，t h ea v e r a g e v a l u eo fa p p a r e n tr e s i s t i v i t yi ne a c hg r i dn o d e sw a sc a l c u l a t e d t h e nt h e r e c o m p o s e da p p a r e n tr e s i s t i v i t yi s o p l e t hm a pa f t e rg r i d d i n gw a sd r a w n ， i nw h i c h ，w e l ld e p t hi sa b s c i s s aa n dc r o s s h o l es e p a r a t i o ni so r d i n a t e m o d e l c o m p u t i n g r e s u l td e m o n s t r a t e dt h et r a n s v e r s e p o s i t i o n o f a b n o r m i t yb o d y c a nb ea p p r o x i m a t e l ya s c e r t a i n e db yt h i si s o p l e t hm a p 1 1 c r o s s h o l ee l e c t r o m a g n e t i s mi m a g ei so n eo ft h ei m p o r t a n tm e a n st o s t u d y c r o s s h o l e p r e c i s i o n c o n f i g u r a t i o n s o m ec r o s s h o l e e l e c t r o m a g n e t i s mi m a g em e t h o d sw e r es u m m a r i z e da tt h ee n do ft h i s t h e s i s ，a n di t sa d v a n t a g e sa n dd i s a d v a n t a g e sw e r ea n a l y z e d a tl a s t ，t h i s t h e s i sp o i n t e do u tt h es t u d yo r i e n t a t i o no fc r o s s h o l ee l e c t r o m a g n e t i s m i m a g ew i l lb ei n s t r u m e n td e v e l o p m e n t ，t h ei n f l u e n c eo fm e t a lt h i m b l e a n d i m a g em e t h o d ， a n d f i n a l l ym u l t i - c o m p o n e n t c r o s s h o l e e l e c t r o m a g n e t i s ms y s t e mw i l lb ea d o p t e dt o d e t e c tt h ea n i s o t r o p i s m c h a r a c t e r i s t i co fc r o s s h o l es t r a t u m ，i no r d e rt od e s c r i b ec r o s s h o l e p r e c i s i o nc o n f i g u r a t i o na c c u r a t e l y k e yw o r d s a p p a r e n tr e s i s t i v i t y , c r o s s h o l er e s i s t i v i t yi m a g e ， g e o m e t r yi m a g e ，g r i d d i n gi m a g e ，c r o s s h o l ee l e c t r o m a g n e t i s mi m a g e 中南人学硕l 学位论文 第一章绪论 第一章绪论 1 1 论文研究的背景与意义 地球物理成像是近几年来地球物理勘探领域发展最快的理论技术之一，也 是地球学科的个前沿发展方向。电阻率成像是属于地球物理成像技术的一种， 在水文工程、环境、考古、矿产资源和油气勘探等领域的浅部到深部探测都具 有广泛的应用。我们知道，在油气资源和矿产资源的勘探过程中，经常需要比 较大的勘探深度和比较高的深部分辨能力，井间电阻率成像技术正好可以满足 这个要求。与地表电阻率方法相比，因为井问装置的供电电极置于井下，对于 埋藏在一定深度位置的目标体，其分辨力将远远大于地表装置的分辨率，这特 别适用于当今能源和资源勘探的大深度以及高分辨率的要求。 电阻率成像技术在实际的应用中有其独特的优势。与地震成像相比，它激 发、接收容易，施工成本低、对钻孔无破坏作用。我们在实际的煤田开采过程 中经常会遇到陷落柱、空洞或断层等构造，给煤矿生产带来巨大损失。由于岩 石的电阻率主要取决于孔隙中流体的电阻率和孔隙的类型，因此电阻率成像技 术在解决水文地质和工程地质问题( 如断裂带、风化带、砂砾石层的探测) 、环 境问题( 如污染流的追踪) 以及煤田中陷落柱、空洞或断层的探测等领域具有 相当大的发展潜能和应用前景。 井间装置的视电阻率异常响应与电极位置、异常目标体的埋藏深度和性质 以及异常目标体和钻井的相对位置等都有关系，这些都会导致比较复杂的视电 阻率响应，因此会给数据资料的正确处理与解释带来较大困难。所以我们有必 要去对跨井装胃的理论模型异常响应规律进行分析和研究，以帮助实际资料的 正确处理与解释。这些因素都使电阻率成像技术成为一个重要的研究课题。 1 2 井间电阻率法的发展与研究现状 1 2 1 井间电阻率法在国外的发展与研究现状 早在2 0 世纪6 0 年代初，a l f a n o 1 1 ( 1 9 6 2 ) 就采用了地下电极进行电阻率法 的观测。s n y d e rd d 和m e r k e lr m 【2 】( 1 9 7 3 ) 对球形异常体采用孔中电极做 了研究。d a n i e l s 【3 】( 1 9 7 7 ) 对井井、井地及单孔电极设置方式进行了实验探讨， 中南人学硕士学位论文第一章绪论 详细讨论了球体和n 层地层的视电阻率异常规律。d e ya 和m o r r i s o nh f t 4 , s j ( 1 9 7 9 ) 用3 d 数值模拟算法对地表电极装置类型和井间电极装置类型的计算效 果进行了仔细地对比。e l o r a n t ae h 【6 ，7 j ( 1 9 8 5 ，1 9 8 6 ) 用积分方程法，将井地 装置中的二极和三极构型应用于三维异常体上，并对其结果进行了对比。b e a s l e y c w 和w a r ds h 【8 】( 1 9 8 6 ) 采用积分方程技术，给出了井地装置反映椭球 体、球体等的灵敏性分析。y a n ge w 和w a r ds h 一j ( 1 9 8 7 ) 运用面电荷积分 方程法计算了单井和井井排列下均匀全空间中薄导电球体和椭球体的电性响 应。s h i m ah t l o l 等人( 1 9 8 7 ) 最早提出了“电阻率层析成像的概念，对成像的 可能性和成像反演技术进行了研究。d a i l yw 和o w e n e 【ll j ( 1 9 9 1 ) 用l a p l a c e 方程的非线性反演技术对井间电阻率成像方法进行了研究。s h i m ah 【1 2 , 1 3 】( 1 9 9 0 ， 1 9 9 2 ) 又提出了用有限单元法和口中心法联合反演来重建井间电阻率分布图像， 获得了比较有意义的结果。k e i s u k eu s h i j i m a 等【1 4 】( 1 9 9 9 ) 利用井地四维电阻 率成像方法对地下流体注入对隐伏断裂带进行了监测。b e v cd 和m o r r i s o nh f 【1 5 】( 1 9 9 1 ) 以及s l a t e rl 和b i n l e y a m 等【1 6 】( 2 0 0 0 ) 用井一地电阻率法对盐水 注入监测试验进行了研究。c h r i s t e n s e nn b 和s h e r l o c kd 等【l7 j ( 2 0 0 6 ) 采用井 地和跨孔电阻率j 下演数值模拟和反演成像对气藏c 0 2 注入监测进行了研究。 p e t e rb 和r o b e r ts 等【1 8 】( 2 0 0 6 ) 结合正演模拟技术和反演方法，联合地表装置 和井地装置研究了地下水盐化情况。 1 2 2 井间电阻率法在国内的发展与研究现状 国内开展这方面的研究工作始于上世纪9 0 年代。刘素红等【l9 1 ( 1 9 9 3 ) 利用 有限元方法对不同模型情况下井问断块油藏电场的分布特征、电位、电位差以 及视电阻率的变化规律进行了研究。白登海等【2 0 】( 1 9 9 5 ) 主要从s h i n a 应用的 方法出发，系统地介绍了浅层电阻率层析成像的原理和方法。周兵、曹俊兴 2 1 2 2 】 ( 1 9 9 5 ) 应用非线性问题逐次线性化对井间电阻率数据进行低阻异常体成像。 董清华等【2 3 2 5 】( 1 9 9 7 ) 采用井间电阻率层析成像中的a m 观测系统，通过求取 j a c o b i 矩阵的格林函数法和平滑度约束反演方法来实现2 5 d 井间电阻率成像， 得到了较好的井问电阻率成像效果。后来，董清华等【2 6 。2 7 】( 1 9 9 8 ) 鉴于比较重 构法难于收敛，用改进了的比较重构算法有效地完成了井间电阻率成像。毛先 进等【2 8 l ( 1 9 9 8 ) 利用共轭梯度算法来求解病态方程组，获得各个节点的电位值， 从而来对地下地电断面进行成像，不仅使用了井间数据，也使用了地表数据。 王若、王兴泰等【2 9 】( 1 9 9 8 ) 针对佐迪反演方法在二维拟断面应用中的缺陷进行 了一些改进，并将其应用于二维电阻率图像重建，取得了较理想的应用效果。 2 中南人学硕r j j 学位论文第一章绪论 阮百尧等【3 0 】( 1 9 9 9 ) 应用最d - - 乘法实现了电阻率和激发极化数据的二维反演。 吴小平、徐果吲3 1 】( 2 0 0 0 ) 将共轭梯度法用于三维电阻率成像，此法在反演中 采用了将平滑度约束引用到最d - - 乘准则中，有效地消除了多余构造信息，可 得到与实际情况非常接近的稳定、可靠的反演结果。刘国强掣3 2 】( 2 0 0 1 ) 在前 人的基础之上提出采用摄动方法计算f r e c h e t 导数，将原来的定解问题分成两个 定解问题，进而进行电阻率层析成像。吕玉增【3 3 】等人( 2 0 0 3 ) 在分析电性不均 体对电位影响的基础上，找到了一种直接成像的参数，但该参数的物理概念不 是很明确，也没有按照普遍的物理规则来运算，尽管成像效果不如i j 人的好， 但也具有一定的实用价值。2 l 世纪初，石油物探界采用井地电阻率成像技术对 剩余油分布进行了一些深入的研究。岳建华等【3 。7 】( 2 0 0 5 ) 利用井地3 d 电阻率 成像技术来评价和研究采空区注浆效果。谭河清掣3 4 】( 2 0 0 3 ) 和李敬功等【3 5 ，3 6 】 ( 2 0 0 5 ) 分别在胜利油田和中原油田用井地电阻率成像技术对剩余油的分布和 饱和度进行了评价和分析。汤井田等【3 8 l ( 2 0 0 6 ) 根据井地有限元数值模拟结果 提出了采用井地电阻率法歧离率来确定高阻油气藏边界。 1 3 存在的问题与本文的主要研究内容 1 3 1 存在的问题 井间电阻率成像是一个欠定问题，已知信息量比较少。传统的成像方法大 部分都是借助于雅可比矩阵求出供电点与测量点之问的电位响应关系，从理论 上讲这是一种比较精确的方法，但实际反演效果和成像质量并不理划2 4 2 6 ，其 原因是反演效果取决于约束条件和迭代次数。因此，我们要寻求一种快速简单 且效果较好的成像方法末对井间视电阻率进行成像。 1 3 2 本文的主要研究内容 ( 1 ) 提出了一种井问视电阻率的几何成像方法，并应用该方法对多个模型 进行了三维数值模拟计算，由视电阻率等值线图能够判断井间异常体的空间形 态以及在纵向上的准确位置。 ( 2 ) 提出了一种井问视电阻率网格化后的成像方法，并应用该方法对不同 的模型以及同一模型在不同的邻域半径大小和不同的网格剖分情况下进行了计 算与分析，结果表明该方法能大致确定异常体在井间的横向位置。 ( 3 ) 介绍总结了现有的一些井间电磁成像方法并分析了各自的优缺点，指 3 中南人学硕仁学位论文 第一章绪论 出今后井间电磁成像技术的研究方向将包括仪器的研制、金属套管对成像效果 的影响及成像反演方法等一些方面。 4 中南大学硕七学位论文 第二章j f ：问l 乜阻牢成像的正演理论 第二章井间电阻率成像的正演理论 地球物理中常用的电法勘探获得的视电阻率可以帮助我们定性或定量地进 行地质解释。对简单几何目标形体的定量解释可以求得关于视电阻率的解析解， 但是对于地下复杂电阻率结构分布的定量解释需要进行相关的正演数值模拟研 究。 视电阻率的正演模拟被定义为求p o i s s o n 方程的数值解。正演数值模拟的计 算方法种类比较多，主要有积分方程法、边界单元法、有限差分法以及有限单 元法等，其中最常用的方法有两种：有限差分法和有限单元法。 有限差分法( f d m ) 是以差分原理为基础的一种数值计算方法。它用各离 散点上函数的差商来近似代替该点的偏导数，把要解的边值问题转化为一组相 应的差分方程。然后，解出差分方程组( 线性代数方程组) 在各离散点上的函 数值，便得边值问题的数值解。有限差分法的优点是方法比较简便，容易在计 算机上实现；缺点是当物性参数复杂分布或场域的几何特征不规则时，有限差 分法的适应性较差。 有限单元法( f e m ) 是以变分原理和剖分插值为基础的数值计算方法。用 这种方法求解稳定电流场问题时，首先利用变分原理把所要求解的边值问题转 化为相应的变分问题，也就是所谓泛函的极值问题。然后，与有限差分法相似， 使连续的求解区域离散化，即按一定的规则将求解区域剖分为一些在节点处相 互链接的网格单元；进而在各单元上近似地将变分方程离散化，导出以各节点 电位值为未知量的高阶线性方程组；最后，求解此方程组，算出各节点的电位 值，以表征稳定电流场的空间分布。 f e m 的主要优点是适用于物性复杂分布的地球物理问题，而且其解题过程 也比较规范。缺点是有限单元法是区域性方法，必须在全区域进行剖分，最后 得到的线性代数方程组很大，因此它的计算量比较大。随着计算机技术的快速 发展，有限单元法在解决各个工程领域的许多数学物理问题中得到了越来越广 泛的应用，成为了一种高效的、通用的数值计算方法。 中南人学硕士学位论文第二章，l ：问f 乜阻率成像的正演理论 2 1 三维点源场的边值与变分问题口们 2 1 1 基本方程 在非极化介质内的稳定电流场中，电流密度歹，电场强度豆，电位“和介质 的电导率盯之间的关系为 歹= 面 和雷= 一v “ 因而 j = 一o v u ( 2 1 ) 若场源是一个位于彳( _ ，y 爿，z 一) 点的，电流强度为i 的点电源，用了表示电 流密度矢量，在空问作任意闭合面厂，q 是厂所围的区域，如图2 1 所示，根 据通量定律，流过闭合面厂的电流总量可以表示为 c j d f = j o t ij a：i ) 一义r r 彳萑q 彳厂 。 r 1 图2 - 1 点源电场示意图 根据奥高公式，将式( 2 1 2 ) 中矢量的面积分转换成矢量的散度积分 王歹盯= v 泗 = o 筹 用8 ( a ) 表示以彳为中心的艿函数，根据万函数的积分性质，有 f 0 a 盛q 刚) 扣2 扯 彳厂 l 2 从式( 2 1 3 ) 与式( 2 1 4 ) 的比较中，可得 v 歹= 2 俗( 彳) 6 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 中南入学硕上学位论文 第二章井问i 也阻率成像的正演理论 将( 2 1 1 ) 式代入式( 2 1 5 ) 中，可得电位满足的微分方程为 v ( o v v ) = - 2 1 a ( a ) ( 2 6 ) 在直角坐标系中展开上式，可得 i 0 ( 盯i o v ) + i 0 ( 仃i o v ) + i 0 【盯i o v ) = - 2 i g ( x a ) d ( y 一) 6 ( z j ) ( 2 7 ) o xt 毂c ( ，vo zo z 其中x a ，y a ，z a 是a 点的坐标，( 2 7 ) 式就是三维微分方程。 2 1 2 边值问题 ( 1 ) 总电位的边值问题 在地面r s 上，电流沿地表流动，电流密度的法向分量为零，即电位的法向 导数为零( 图2 2 ) 图2 - 2 点电源地下半空间 譬= ol u ，l 在无穷远边界r 。上，其电位是点电源电位，即 y ：! r 。 y = 一 i 一 对上式求导，可以消去常数c ，得到 0 v - c o s ( , ，n ) v 一= ：一 o n厂 整理得到 宴+ c o s ( r , n ) v ：0 f 。 o n， 式( 2 7 ) 、( 2 8 ) 和( 2 1 1 ) 就是三维电场的边值问题。 率界面是自然边界条件，可以不必考虑。 ( 2 ) 异常电位的边值问题 当电源a 在地表时，直流电场电位1 ，的基本微分方程是 v ( o v v ) = - 2 i d ( a ) 7 ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 区域q 内部的电阻 ( 2 1 2 ) 中南大学硕上学位论文 第二章井间电阻率成像的正演理论 其中仃是介质的电导率，是供电电流强度。s ( a ) 是以a 为中心的万函数。当 地下充满电导率盯= 的均匀介质时( 图2 - 3 ) ，此时的电位称为正常电位， 代入上式 v ( o o v u o ) = - 2 1 6 ( a ) ( 2 1 3 ) 上式的解 g o 即为均匀半无限空间的电位 ， u o - - 亡 ( 2 1 4 ) j l l u q 其中，是测点至点电源的距离。 假定在半无限空间中存在两种介质( 图2 4 ) ，围岩介质电导率瓯以及不均 匀体介质的电导率c r 2 。电源所在处的介质电导率即为c r o = q ，用q 、q 分别表 示q 、吒所占的区域，m 、吃和z f l 、u 2 分别表示q 、q 中的总电位和异常电 位，有 则 令 则 a 图2 - 3图2 - 4 v i2 “o + “l ，v j2 “o + “2 用盯表示介质的电导率，仃表示异常电导率，那么有 仃2 盯一 一= 0 ，文= 吒一q ( 2 1 5 ) 将总电位v 的微分方程分解为 v ( 田y ) = v ( 四“+ 盯v u o + o - 0 v = - 2 1 8 ( a ) ( 2 1 6 ) v ( o - o v u 。) = - 2 1 6 ( a ) v ( 田甜) = 一v ( 仃v ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 中南人学硕上学位论文 第二章，l ：问i u 阻牢成像的正演理论 ( 2 1 7 ) 式是j 下常电位的微分方程，其解为( 2 1 4 ) 式；( 2 1 8 ) 式为异常电位u 的基本微分方程，从它可解出异常电位。 在图2 4 中，为地表边界，l 几为无穷远边界，厂是两种介质的分界 面。总电位v 的边界条件是 坐：o a n 一0 v + 竺丛! ! 堕v ：o c o n， h2 屹 o v , 弧 q 2 一吒 砌，c 祝， 其中n 。和n ：是q 和q 的外法向。 正常电位u 。的边界条件是 盟：o o n u o l2 甜0 2 _ c o u o + c o s ( r , n ) “。：o o n r f s f 厂 f s r 。 f 从( 2 1 9 ) 和( 2 2 0 ) 式可得异常电位u 的边界条件 0 u a n 锄 o n = 0 + c o s ( r , n ) “：0 厂 ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) l ( 2 2 1 ) 厂 厂 异常电位u 的边值问题由微分方程( 2 1 8 ) 式和边界条件( 2 2 1 ) 式构成。 2 1 3 变分问题 ( 1 ) 总电位的变分问题 构造泛函 ，( v ) = l 圭仃( v v ) 2 - 2 i d ( 彳) y ，q 其变分 ( 2 2 2 ) 饥i 吒 + 瓦 盯 ， 一 | | 毗瓦 吒 卜 氆丝饥 盯 中南大学硕十学位论文 第二章井问电阻牢成像的正演理论 万m ) - l ，o v v 。v 西一2 7 ( 么) 万，k， ( 2 2 3 ) = v ( 四访v ) _ v ( 田y ) + 2 ，万( 彳) 万v p q 将( 2 6 ) 代入上式，得 6 i ( y ) = v ( o r v 万v 矽q 2 乒+ l 仃o n 谢厂 将( 2 8 ) 和( 2 11 ) 代入上式，得 a i ( v ) = l 仃玺o n 订厂= 一l 盯竺号盟访谢厂 ：一万! f 竺蚴，z d f 2 洲mr 移项后，得 仃+ 三1t 华2 d 厂l _ 0 所以，三维电场总电位的边值问题与下列变分问题等价 f ( y ) = 圭仃( v v ) 2 _ 2 1 8 ( 彳) v ，q + 圭l 华2 d 厂 6 f ( v ) = 0 ( 2 ) 异帛吧! 互阴父分l 口j 趑 构造泛函 m ) = 她( v “) 2 + o , v u o v u q = 丢q ( v ) 2 + 一v u o v u 。 q + 吉吒( v 甜：) 2 + 一v u 0 v u 2 p q 其变分为 6 i ( “) = l ( q v u i + c r ；v ) v 艿d q + l ( o - 2 v u 2 + c r 2 v “。1 v 万“z d q 对于区域q ，有 l o ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 中南大学硕 学位论文 第二章，l ：间电阻串成像的正演理论 同理， l ( o - 。v “，+ 一v “。) v 万d q 2 l v ( q v u i + 一v ) 万p q l v ，( q v “。) + v ( 仃砜) h d q = 啦厂一等+ 咯卜d 厂 l ( 0 2 、7 u 2 + 吐v v 如：d q = 尊卜差+ 吐薏卜：盯 ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) 由于在边界厂上，= 掰：，所以8 u 。= 万“：。于是根据异常电位的边界条件 ( 2 2 1 ) 式有 j r ( c a u , 一“鬻卜d 厂+ l 卜薏+ t 薏卜：d 厂 = l 一盖+ q 丝a n 2 + q 鬻+ 0 2 薏卜d 厂 = 0 州炉只+ l ( 嗉“等卜厂 将边界条件( 2 2 0 ) 式和( 2 2 1 ) 式代入得 乒( 盯丝3 n “鲁卜 小丝o n 材鲁) 删厂 = 一t ( 仃_ c o s ( _ r , n ) 材_ c o s ( _ r , r ) 卜d 厂 cff 1 一d 址i 三 l 盯c o s ( r ，刀)2 盯c o s ( r ，”) “+ _ rr 上式代入( 2 3 3 ) 式，移项可得 u 0 “i d f j ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) 中南人学顾。l ：学位论文 第二章) 问电阻率成像的j 下演理论 万+ 啦掣 掣彬h = 万1 巾“) 2 + c r v u 。v u q q 3 6 ， + 啦掣“掣咄h = 0 因此，异常电位的边值问题与下列变分问题等价 f ( “) = 上 圭仃( v “) 2 + o , v u o v u p q + 叱掣 掣州卜 包3 7 ， 8 r ( u ) - - 0 2 2 有限单元法3 9 3 采用六面体单元将整个区域q 剖分，每个六面体单元的八个角点为节点， 八个顶点的编号及坐标见图2 - 5 ( a ) 所示的母单元，( b ) 为子单元，两者的坐标关 系为 石= + 三af ，y = + 鲁7 7 ，z = 气+ 互c f 石2 + 三善y2 + 互7 7 z2 气+ 互 其中，z o 是子单元的中点，a ，b ，c 是子单元的三个边长，两个单元的 微分关系为 出= 兰d 孝，砂= 兰d 刁，出= 三d f ，d x d y d z = 警d 孝d 刁d f 图2 - 5 剖分单元示意图 ( a ) 边长为2 的立方体( b ) 六面体 1 2 中南人学硕j ：学位论文第二章j f 间i 乜阻帛成像的正演理论 构造形函数 i 3 5 = n ，= + ) ( 1 7 7 ) ( 1 + f ) + f ) ( 1 + ，7 ) ( 1 一f ) 一手) ( 1 7 7 ) ( 1 + f ) 一孝) ( 1 + ，7 ) ( 1 一f ) 可以统一写为 f = 吉( 1 + 缶f ) ( 1 + 仇7 7 ) ( 1 + 缶f ) ( 2 3 8 ) 其中姜、研、毒是点i ( i = l ，2 ，8 ) 的坐标。 易知，形函数满足 帅) = 协曷 ( 2 3 9 ) 其中m 是f 点的形函数，j 是_ ，点的坐标。 将( 2 3 8 ) 式展开，得 n = a i 芎? + n 蠢q 七a 3 r l ( + a 4 专+ n 5 专+ n 羽+ n 1 = 2 0 ) 时，高阻异常体的等值线呈不闭合状 态，这是因为如果横向网格剖分太稀疏的话，落在图4 1 中阴影区域内的网格 节点数太少，这样将会对计算结果带来较大误差。 上述研究表明，井间视电阻率网格化交汇成像方法能够大致确定井间异常 体的横向位置，而且网格疏密和邻域半径大小会影响异常的形态。 3 8 中南人学硕一 ：学位论文第五章j 间电磁成像方法 第五章井间电磁成像方法 井间电磁成像技术是研究井问精细结构的重要手段之一。它是在一口井中 放置低频发射源，在另一口或多口邻近的接收井中测量磁场的垂直和水平分量， 然后对测量结果进行反演从而得到反映井间地下结构的电导率分布图像。井问 电磁成像技术与单井测井技术相比，它的横向探测范围更大，从而会大大提高 油气藏的描述能力。 1 9 9 7 年，胜利油田与美国e m i 公司合作，开展了井问电磁成像技术的应用 与研究。曾文冲等【4 l 4 2 】( 2 0 0 1 ) 通过现场试验，在大井间距下验证仪器的性能， 从而进行油藏研究的适用性和可行性分析。近几年来，一些国内学者对裸眼井 的井间电磁成像技术也展开了一系列研究，他们己在其基础理论、模型算法和 成像反演方法等方面的研究取得了一些有价值的研究成果。魏宝君等人 4 3 - 4 5 j ( 1 9 9 9 ) 提出一种基于逐次逼近解法的迭代反演算法，对井问地层电导率的构 造进行成像。应用该方法还可以对井间电导率分布进行二次成像，从而使成像 更为准确。魏宝君等【4 6 , 4 7 】( 2 0 0 4 ) 又采用高精度的非线性反演方法，对轴对称 的二维井问模型的电导率分布进行了成像。该方法同时考虑了雅可比矩阵的线 性项以及偏微分项，因而反演精度较高且稳定性强。栗建军 4 8 , 4 9 】( 2 0 0 4 ) 对普 通井及套管井井间电磁测井原理、金属套管对井问电磁测井的影响规律等进行 了系统研究。沈金松等【5 0 , 5 q ( 2 0 0 7 ) 用有限单元法对偶极子源在二维介质中的 频率域井间电磁响应进行了模拟。他将全三维电磁场问题转化为一系列二维问 题在波数域求解，极大地减小了计算量。 5 1 井间电磁成像的有限元正演理论瞄卜5 3 1 我们假设介质是关于发射器所在的井轴对称的，发射源为处于井轴的垂直 方向的磁偶极子。模型总场可分为背景场和散射场，前者可由解析公式求得， 后者用有限单元法来计算。在上述假设条件下，垂直磁偶极子产生的电磁场中 不为零的只有乞、皿、以几个分量。对于谐变场源，时间因子为e 泐，乓满 足 堕o z 2 + 驰昙( 心) 卜易= 卸厶 ( 5 ，) 3 9 中南人学硕十学位论文第五章， 问电磁成像方法 其中，七2 = 缈2 ( 一z 昙) 是复波数。 磁场的垂直分量皿司由电场的角向分量包来求取，即 以= 一壶瞄( 哆) 2 ， 其中缈= 2 万厂是圆频率；f 是源工作频率；为真空中的介电常数；q 为介质 的相对介质电常数；盯为介质的电导率；为介质的磁导率。 为了提高计算效率和精度，我们在数值计算中将总场巴分成一次场廓和二 次散射场b ，即 e 。= e p + e s ( 5 3 ) 相应地，磁场的二次散射场硪为 彬= 一面1 l ，1 a ( r y e s ) ( 5 4 ) 我们假设孔内一次场是由无限均匀各向同性介质中( 其电性等同于孔内介 质电性) 的垂直磁偶极子产生的。因此在均匀全空间，一次电场廓和一次垂直 磁场娥可分别表示为 b = 一f 掣丽m t ，( 1 + i k o r ) p 一蚶 ( 5 5 ) 怫= 熹| - 2 ( 1 + 砂3 i l + 氐咖户碍卜 ( 5 6 ) 其中m r 是发射线圈的矩；r = ( ，一) 2 + ( z 一乙) 2 是发射线圈和接收线圈之间的 距离；( ，z 1 ) 和( ，z ) 分别是发射线圈和接收线圈所在的位置；i , o 为均匀背景介 质的复波数。 至此，为了得到总场，只需用有限单元法求取散射场b 。散射场b 满足 等+ 瓦a 旧1a r e , 1 1 w 乓+ ( n ) 廓= 。 ( 5 7 ) 易知上述微分方程满足的变分方程，即所需计算的泛函是 糌难l at e ， 2 + 针搿即( 肛菇) 骗卜 8 ) 由变分原理，电场乓即是微分方程式( 5 8 ) 的解。利用二维有限元的基函 中南人学硕l j 学位论文第五章j l ：问i 乜磁成像方法 ( 5 9 ) 除酬淞掣卜 搿睡4 皤j - 2 ( 2 肚鬈) 陲皤) 砒 是二维有限元基函数，对于长方形单元，其可由下式来表示 毗斗( - 1 ) i l l t ( 孚) 种+ ( _ 矿石2 z e 式中，= ，一，z e = z z c ，i i - t ( t j + l j 厄e i ( 丁j + l j 、的取整；和垃。分别是单元f 的边 长；( ，z ) 是计算点的坐标；( 名，乙) 和( ，z 。) 分别是计算中的相对坐标和单元的 中心坐标。 其中 将方程( 5 1 0 ) 表示成离散形式为 铲辱a r 慝) 警警地22v - pv-p a ( r + ) a ( + ) m ， 钆钆 = 匿压k 2 ( + 儿虬兜噍 将( 5 1 2 ) 式写成矩阵形式为 以( 剐= ( e ：) t 【k 。】e ；【r 。心 4 1 ( 5 1 2 ) ( 5 1 3 a ) 止出。 ( 5 1 3 b ) ( 5 1 3 c ) ( 5 1 3 d ) ( 5 1 4 ) iil差d 莉 小 惰 桶 啦 眦 积 渺 钥 元 竞 惮 避 肭 廿压：止匿： = - ，b 以 乃爵 。一 2一 、l_，如 一 办 + ，j-l、爵皤 。渊 。川 = 、l ，b，j以 南廿压：廿匿： = 鲧 出 m 心 + 名 k 一 廿匿：廿匿： = 中南大学硕士学位论文第五章井问i 乜磁成像方法 其中 其中 ( 聪) t = ( 乓。，乓：，乓，乓。) ， 【k 。】- - a 。+ p 】。【丫】。 【r p 】= 【7 7 】舨。 将方程( 5 1 4 ) 代入( 5 9 ) 式，可得到 j ( e s ) = ( e 。) tf k 】e 。一【r 】e 。 e 。= ( 甚，乓，掣) m k = 【e 。】 m r = 【r 。】 e = l 其中m 是离散单元的总数。 要求j ( b ) 的极小值，即令其偏导数等于零 业：o a e 惫 ( 5 1 5 ) ( 5 1 6 ) 就可得到矩阵方程 【k i e 。】= 【r 】 ( 5 1 7 ) 对此矩阵方程进行求解，空间任意点散射场乓就求出来了。 5 2 井间电磁成像的反演方法嵋 剐 反演方法是跨井电磁成像研究的核心内容，重点是研究如何根据测量信号 来获得井间电导率的分布状况，其所研究的目标是解决成像过程中的不适定性、 强烈的非线性以及极大的计算量和存储量。 ( 1 ) b o r n 迭代方法 该方法是一种常用的求解电磁场逆散射问题的迭代算法。接收点散射电场 的积分方程为 b ( ，) = 膀( ，厂) ( 仃( r ) 一吒( r ) ) e ( 厂) 咖 ( 5 1