三角函数学生5份.doc

三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1任意角(1)角的概念的推广按旋转方向不同分为按终边位置不同分为(2)终边相同的角 终边与角相同的角可写成k360(kZ)(3)弧度制1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|，l是以角作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制，比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关弧度与角度的换算：3602弧度；180弧度弧长公式： ， 扇形面积公式：S扇形 .2任意角的三角函数定义设是一个任意角，角的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r(r0)，那么角的正弦、余弦、正切分别是：sin ，cos ，tan ，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数3三角函数线设角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则点M是点P在x轴上的正射影由三角函数的定义知，点P的坐标为(cos_，sin_)，即P(cos_，sin_)，其中cos OM，sin MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与的终边或其反向延长线相交于点T，则tan AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做的余弦线、正弦线、正切线三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(2) 终边落在x轴上的角的集合|k，kZ；终边落在y轴上的角的集合；终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为.两个技巧(1)在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP|r一定是正值(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧三个注意(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角(2)角度制与弧度制可利用180 rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用(3)注意熟记0360间特殊角的弧度表示，以方便解题【例1】(1)写出终边在直线yx上的角的集合；(2)若角的终边与角的终边相同，求在0,2)内终边与角的终边相同的角；(3)已知角是第二象限角，试确定2、所在的象限【例2】已知角的终边经过点P(，m)(m0)且sin m，试判断角所在的象限，并求cos 和tan 的值【例3】已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.(1)求弦AB所对的圆心角的大小；(2)求所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.【例4】在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围并由此写出角的集合： (1)sin ；(2)cos .【例5】已知角终边经过点P(x，)(x0)，且cos x，求sin 、tan 的值 二、同角三角函数的基本关系与诱导公式1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21； (2)商数关系：tan .2诱导公式公式一：sin(2k)sin ，cos(2k)cos_，其中kZ.公式二：sin()sin_，cos()cos_， tan()tan .公式三：sin()sin_，cos()cos_.公式四：sin()sin ，cos()cos_.公式五：sincos_，cossin .公式六：sincos_，cossin_.诱导公式可概括为k的各三角函数值的化简公式记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化若是奇数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号一个口诀诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限三种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan 化成正、余弦(2)和积转换法：利用(sin cos )212sin cos 的关系进行变形、转化(3)巧用“1”的变换：1sin2cos2cos2(1tan2)tan.三个防范(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负脱周化锐特别注意函数名称和符号的确定(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号(3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化【例1】已知f()，求f.【训练1】 已知角终边上一点P(4,3)，则的值为_【例2】已知tan 2.求：(1)； (2)4sin23sin cos 5cos2.【训练2】 已知5.则sin2sin cos _.【例3】在ABC中，sin Acos A，cos Acos(B)，求ABC的三个内角【例4】若sin ，cos 是关于x的方程5x2xa0(a是常数)的两根，(0，)，求cos 2的值【试一试】 已知sin cos ，(0，)，求tan .三、两角和与差的正弦、余弦和正切1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C()：cos()cos_cos_sin_sin_；(2)C()：cos()cos_cos_sin_sin_；(3)S()：sin()sin_cos_cos_sin_；(4)S()：sin()sin_cos_cos_sin_；(5)T()：tan()；(6)T()：tan().2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)S2：sin 22sin_cos_；(2)C2：cos 2cos2sin22cos2112sin2；(3)T2：tan 2.3有关公式的逆用、变形等(1)tan tan tan()(1tan_tan_)；(2)cos2，sin2；(3)1sin 2(sin cos )2,1sin 2(sin cos )2，sin cos sin.4函数f()acos bsin (a，b为常数)，可以化为f()sin()或f()cos()，其中可由a，b的值唯一确定两个技巧(1)拆角、拼角技巧：2()()；()；. (2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等【例1】化简.【训练1】 化简：.【例2】已知0，且cos，sin，求cos()的值【训练2】 已知，sin ，tan()，求cos 的值【例3】已知cos ，cos()，且0，求.【训练3】 已知，且tan ，tan 是方程x23x40的两个根，求的值【例4】已知函数f(x)2cos 2xsin2x.(1)求f的值； (2)求f(x)的最大值和最小值【训练4】 已知函数f(x)2sin(x)cos x.(1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间上的最大值和最小值5、三角函数求值、求角问题策略面对有关三角函数的求值、化简和证明，许多考生一筹莫展，而三角恒等变换更是三角函数的求值、求角问题中的难点和重点，其难点在于：其一，如何牢固记忆众多公式，其二，如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、求角方法（1）、给值求值一般是给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如()，2()()等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论【示例】已知tan 2，则的值为_（2）、给值求角“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角【示例】已知tan()，tan ，且，(0，)，求2的值四、三角函数的图象与性质1“五点法”描图(1)ysin x的图象在0,2上的五个关键点的坐标为(0,0)，(，0)，(2，0)(2)ycos x的图象在0,2上的五个关键点的坐标为(0,1)，(，1)，(2，1)2三角函数的图象和性质函数性质ysin xycos xytan x定义域RRx|xk，kZ图象值域1,11,1R对称性对称轴：xk(kZ)对称中心：(k，0)(kZ)对称轴：xk(kZ)对称中心：无对称轴对称中心：(kZ)周期22单调性单调增区间，2k(kZ)；单调减区间，2k(kZ)单调增区间2k，2k(kZ)；单调减区间2k，2k(kZ)单调增区间，k(kZ)奇偶性奇偶奇两条性质(1)周期性函数yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为.(2)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为yAsin x或yAtan x，而偶函数一般可化为yAcos xb的形式三种方法求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用sin x、cos x的有界性；(2)形式复杂的函数应化为yAsin(x)k的形式逐步分析x的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题【例1】(1)求函数ylg sin 2x的定义域(2)求函数ycos2xsin x的最大值与最小值 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：形如yasin xbcos xc的三角函数化为yAsin(x)k的形式，再求最值(值域)；形如yasin2xbsin xc的三角函数，可先设sin xt，化为关于t的二次函数求值域(最值)；形如yasin xcos xb(sin xcos x)c的三角函数，可先设tsin xcos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)【训练1】 (1)求函数y的定义域(2)已知函数f(x)cos2sinsin，求函数f(x)在区间上的最大值与最小值【例2】函数y2cos21是()A最小正周期为的奇函数 B最小正周期为的偶函数C最小正周期为的奇函数 D最小正周期为的偶函数【训练2】 已知函数f(x)(sin xcos x)sin x，xR，则f(x)的最小正周期是_【例3】已知f(x)sin xsin，x0，求f(x)的单调递增区间【训练3】 函数f(x)sin的单调减区间为_【例4】 (1)函数ycos图象的对称轴方程可能是()Ax Bx Cx Dx(2)若0，g(x)sin是偶函数，则的值为_【训练4】 (1)函数y2sin(3x)的一条对称轴为x，则_.(2)函数ycos(3x)的图象关于原点成中心对称图形则_.五、正弦型函数yAsin(x)的图象及应用1用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示xx02yAsin(x)0A0A02函数ysin x的图象变换得到yAsin(x)的图象的步骤3当函数yAsin(x)(A0，0，x0，)表示一个振动时，A叫做振幅，T叫做周期，f叫做频率，x叫做相位，叫做初相4图象的对称性函数yAsin(x)(A0，0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：(1)函数yAsin(x)的图象关于直线xxk(其中 xkk，kZ)成轴对称图形(2)函数yAsin(x)的图象关于点(xk,0)(其中xkk，kZ)成中心对称图形一种方法在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A，k，由周期T确定，即由T求出，由特殊点确定一个区别由ysin x的图象变换到yAsin (x)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(0)个单位原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于x加减多少值 两个注意作正弦型函数yAsin(x)的图象时应注意：(1)首先要确定函数的定义域；(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象【例1】设函数f(x)cos(x)的最小正周期为，且f. (1)求和的值；(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在0，上的图象【训练1】 已知函数f(x)3sin，xR.(1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数ysin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？【例2】函数f(x)Asin(x)(A，为常数，A0，0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是_【训练2】 已知函数yAsin(x)(A0，|，0)的图象的一部分如图所示(1)求f(x)的表达式；(2)试写出f(x)的对称轴方程【例3】已知函数f(x)Asin(x)，xR(其中A0，0,0)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上的一个最低点为M. (1)求f(x)的解析式； (2)当x时，求f(x)的值域【训练3】已知函数yAsin(x)(A0，0)的图象过点P，图象上与点P最近的一个最高点是Q. (1)求函数的解析式； (2)求函数f(x)的递增区间5、怎样求解三角函数的最值问题【问题研究】 (1)求三角函数的最值是高考的一个热点在求解中，一定要注意其定义域，否则容易产生错误 (2)主要题型：求已知三角函数的值域(或最值)；根据三角函数的值域(或最值)求相关的参数；三角函数的值域(或最值)作为工