四年级秋季第六讲周期问题_101102.doc

四年级 秋季 第六讲 周艳丽周期问题周期问题：总数循环节长度 没余数 最后一个数是循环节中的最后一个数 有余数 最后一个数余几就是循环节中的第几个数寻找循环节：枚举、推算重复数字，奇偶性 题目类型 1数字串：重复数字，奇偶性2日期问题：一周七天，闰年3末位数字：an 0、1、5、6 个位是本身4、9 2个一循环2、3、7、8 4个一循环客观世界中存在一些数、图形和事物，它们的变化是具有周而复始循环出现的，我们把具有这种规律性的问题称为周期问题。我们把连续两次出现所经过的时间叫做周期，研究周期问题，就要发现问题的周期性和确定周期，从而解决有关问题。确定周期有时可采用枚举法，将某一变化过程按要求一直进行下去，从而找到变化的周期；有时还可采用图表法，通过画图来确定周期。周期问题，主要是通过探索规律，寻找周期，以此培养学生的探索能力、观察能力、总结归纳能力。课前回顾在图所示的表中，将每列上、下两个字组成一组，例如第一组为“共社”第二组为“产会”，那么第340组是什么？共产党好共产党好共产党好社会主义好社会主义好社会分析：方法一 每一列 20组一循环，34020=17，没余数，循环中的最后一个“好好”共产党好共产党好共产党好共产党好共产党好共产党好共产党好共产党好社会主义好社会主义好社会主义好社会主义好社会主义好社会主义好社会 方法二 第一列，4个一循环，3404=85，是循环中的最后一个数“好” 第一列，5个一循环，3405=68，是循环中的最后一个数“好”1 数字串问题重复数字奇偶性：奇数+奇数=偶数 偶数+偶数=偶数 奇数+偶数=奇数铺垫：在下面的一串数：8、7、4、9、0、3、2、5、0、7、2、9中，从第四个数起，每个数都是它前面三个数之和的个位数字，那么在这串数中，能否出现相邻的四个数依次是2、5、9、8？分析：观察数字串奇偶性：偶奇偶奇偶奇偶奇偶奇偶奇，2、5、9、8的奇偶性为偶奇奇偶，不可能出现。思考：为什么会出现这串数字的奇偶性特征呢？ 从第四个数起，每个数都是它前面三个数之和的个位数字则第四个数为 偶+奇+偶 偶数 第五个数为 奇+偶+偶 奇数 第六个数为 偶+奇+偶 偶数我们发现出现这样的奇偶性特征是必然的，原因就是因为题目所给的要求和起始数字共同决定的。例1 在下面的一串数1、9、9、9、8、5、1、3、7、6、7、3、3、9、2、7、1、9、9、6中，从第五个数都是它前面四个数字之和的个位数字。那么在这串数中，能否出现相邻的四个数依次是2、5、9、8？分析：观察数字串奇偶性：奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶，奇偶性四奇一偶五个一循环，2、5、9、8的奇偶性为偶奇奇偶，不可能出现。思考：为什么会出现这串数字的奇偶性特征呢？ 从第五个数起，每个数都是它前面四个数之和的个位数字则第五个数为 4奇 偶数 第六个数为 3奇+偶 奇数 第七个数为 3奇+偶 奇数 第八个数为 3奇+偶 奇数 第八个数为 3奇+偶 奇数 第九个数为 4奇 偶数我们发现出现这样的奇偶性特征是必然的，原因就是因为题目所给的要求和起始数字共同决定的例2 如图，用红、橙、黄、绿、青、蓝、紫7种彩笔，在一张方格纸中自左上到右下的斜行里按顺序循环涂色，求第20行30列交叉处所涂得颜色？红橙黄绿 橙黄绿黄绿绿分析：方法一：第一行的循环节：红橙黄绿青蓝紫 第二行的循环节：橙黄绿青蓝紫红 第三行的循环节：黄绿青蓝紫红橙 列也又这样的循环节：第一行的循环节：红橙黄绿青蓝紫 第二行的循环节：橙黄绿青蓝紫红 第三行的循环节：黄绿青蓝紫红橙 第一行的第三十个格子：307=42 循环节中的第2个 橙色 第三十列的第一个是橙色的，则第三十列的循环节：橙黄绿青蓝紫红 第三十列的第20个：207=26 循环节中的第6个数，为紫色 方法二：观察发现：第1行，第5列 青色第2行，第4列 青色第3行，第3列 青色第4行，第2列 青色第5行，第1列 青色 如果两个方格行号与列号的和相同，涂的颜色也相同。 比较好找的是第一行的颜色，20+30=1+49 第20行第30列的颜色，应该和第1行第49列颜色相同 497=7 循环节中的最后一个 紫色学案1（尖） 请在下图中每个方格中填一个数，使横行任意三个相邻方格内的数字之和都是15，数列在意三个相邻方格内的数字之和都是18分析：已给出数字的格子就是我们的线索要对已给数字的格子周围利用每3个相邻数字之和是15和18，进行分析。横行最左端给出了5，那么和它挨着的两个格子的和是10，接着的格子就应该是5，我们发现隔两个应该填的是5。同理，竖着的格子中隔两个就有一个3，再看最底下的8和3可以导出倒数第三个位7，以此类推往上推倒，再横着推倒即可导出所有格子。（提）请在下图中每个方格中填一个数，使横行任意三个相邻方格内的数字之和都是10，数列在意三个相邻方格内的数字之和都是10分析：已给出数字的格子就是我们的线索要对已给数字的格子周围利用每3个相邻数字之和都是10，进行分析。横行最左端给出了3，那么和它挨着的两个格子的和是7，接着的格子就应该是3，我们发现隔两个应该填的是3。同理，竖着的格子中隔两个就有一个2，再看最底下的6和2可以导出倒数第三个位2，以此类推往上推倒，再横着推倒即可导出所有格子。（基）如图，有一个11位数，它的每3个相邻数字之和都是20。问标有*的那个数位上的数字应该是几？分析：已给出数字的格子就是我们的线索要对已给数字的格子周围利用每3个相邻数字之和都是20，进行分析。我们发现隔两个应该填的是9最后看9和7可以依次往前导出4例3 甲、乙、丙、丁四个停车场放着10、7、5、4辆车。从停放汽车最多的车厂中往另外三个车场个开去一辆汽车，称为一次调整，那么经过1998这样的调整后，甲场中停放着多少辆汽车？分析：题目并没有给出明显的数字串或者图形，但给了我们每一次调整的规则：从停放汽车最多的车厂中往另外三个车场个开去一辆汽车。那么我们需要通过推算的方式，观察是否有规律：我们发现，从第5次调整开始又回到了第一次调整后的状态，即，四次一循环。19984=4992，第1998次调整和第二次的状态一样，则，甲场中停放车辆为8台调整次数12345甲：1078567乙：785678丙：567856丁：456785 2 日期问题 头尾一周7天闰年：四年一闰，百年不闰，四百年再闰；即被4整出，整百被400整除的是闰年 关于公历闰年是这样规定的：地球绕太阳公转一周叫做一回归年，一回归年长365日5时48分46秒。因此，公历规定有平年和闰年，平年一年有365日，比回归年短0.2422日，四年共短0.9688 日，故每四年增加一日，这一年有366日，就是闰年。但四年增加一日比四个回归年又多0.0312日,400年后将多3.12日,故在400年中少设3个闰年,也就是在400年中只设97个闰年，这样公历年的平均长度与回归年就相近似了。由此规定：年份是整百数的必须是400的倍数才是闰年。四年一闰，百年不闰，四百年再闰。所以2000年是闰年,2100年不是闰年。例4 已知1989年4月8日是星期五，之后的哪一年，4月8日才首次又是星期五？（讲义中有误，若是1998年则应为2005年4月8日又是星期五）分析：一个循环节为六、日、一、二、三、四、五（注意，不算开头的4月8日，从4月9日开始算）平年1年365天，3657=521，每年星期往后错一个，即1990年4月8日为星期六，1990年为星期日。闰年1年366天3667=522，往后错2天。1990、1991年均是平年，1992年闰年，1+1+2+1+1=7，所以需要再过5年，1989+5=1994，即1994年4月8日首次又是星期五。学案2（基）甲、乙、丙三名同学每天早晨轮流为李奶奶取牛奶，甲第一次取奶是星期一，那么甲第100次取奶是星期_。分析：甲取奶的星期为（一、四、日、三、六、二、五、）一、四，7次一循环。1007=142，即循环节中的第二个为星期四。（提）奶奶告诉小明：“2006年共有53个星期日。”聪明的小明立即回答：“2007年元旦一定是星期（ ）”分析：2006年是平年一年有365天，3657=521，只有52个星期，题目说有53个周日，即余的一天为周日，即2006年12月31日为星期日，2007年元旦一定是星期一。（尖）我国1997年7月1日收回对香港的主权，这天正好是星期二，那么到2007年7月1日十周年庆祝时时星期几？分析：1998、1999、2001、2002、2003、2005、2006、2007为平年365天，3657=521星期后错一天。2000、2004为闰年, 3667=522星期后错2天。即共后错18+22=12天，一个循环为（三、四、五、六、日、一、二），127=15，即为周日。3 末位数字 积的个位数字为乘数的个位的积的个位。从表看出，an的个位数字的变化规律可分为三类：（1）当a的个位数是0，1，5，6时，an的个位数仍然是0，1，5，6。（2）当a的个位数是4，9时， an的个位数按每两个数为一周期循环出现。其中a的个位数是4时，按4，6的顺序循环出现；a的个位数是9时，按9，1的顺序循环出现。（3）当a的个位数是2，3，7，8时，随着n的增大，an的个位数按每四个数为一周期循环出现。其中a的个位数是2时，按2，4，8，6的顺序循环出现；a的个位数是3时，按3，9，7，1的顺序循环出现；当a的个位数是7时，按7，9，3，1的顺序循环出现；当a的个位数是8时，按8，4，2，6的顺序循环出现。an的个位数字的变化规律，如下表：例5 2007个2连乘222，乘积的末位数是几？分析：1个2的个位是2，2个2的积的个位是4，3个2的积的个位是8，4个2的积的个位是65个2的积的个位是2，即2n的个位是（2、4、8、6）4个一循环20074=5013，即2007个2连乘222，乘积的末位数是8。学案3 （基）（2007年湖北省“创新杯”改编试题）21222324220082乘积的末两位数是几？分析：积的末2位数字为乘数的末2位的积的末2位。21222324220082共（20082-2）10+1=2009个数 积的末2位分别是：02、（04、08、16、32、64、28、56、12、24、48、96、92、84、68、36、72、44、88、76、52、）04、08除“02”外20个一循环。（2009-1）20=1008，即21222324220082乘积的末两位数是12。（提）2006个123连乘的积的末位数字是几？分析：积的个位数字为乘数的个位的积的个位。2006个123连乘的积的末位数字是2006个3连乘的末尾数字 1个3的个位是3，2个3的积的个位是9，3个3的积的个位是7，4个3的积的个位是1，5个3的积的个位是3，即3n的个位是（3、9、7、1）4个一循环20064=5012，即2006个123连乘的积的末位数字是9。（尖）（2007年湖北省“创新杯”改编试题）2011个2连乘，222乘积的末两位数是几？分析：积的末2位数字为乘数的末2位的积的末2位。 积的末2位分别是：02、（04、08、16、32、64、28、56、12、24、48、96、92、84、68、36、72、44、88、76、52、）04、08除“02”外20个一循环。（2011-1）20=10010，即2011个2连乘乘积的末2位数是48。例6 2008年第29届奥运会将在北京举办，则20082009的个位数字是多少？分析：即求2009个2008连乘的个位数字，即求2009个8连乘的个位数字。1个8的个位是8，2个8的积的个位是4，3个8的积的个位是2，4个8的积的个位是65个8的积的个位是8，即8n的个位是（8、4、2、6）4个一循环20094=5021，即2009个8连乘乘积的末位数是8。学案4（基）求67999的个位数字。分析：67999的个位数与7999的个位数相同。7999的个位是（7、9、3、1）4个一循环。99942491知，67999的个位7。（提）求291+3291的个位数字分析：291的个位数是（2、4、8、6）4个一循环。914223知，291的个位8。3291的个位数是（3、9、7、1）4个一循环。2914723，3291的个位为7。8+715。291+3291个位数字为5。（尖）求28128-2929的个位数字。分析：28128的个位数与8128的个位数相同。8128的个位是（8、4、2、6）4个一循环。128432知，28128的个位6。2929的个位数与929的个位数相同。929的个位是（9、1）2个一循环。292141，2929的个位为9。因为69，在减法中需向十位借位，所以所求个位数字为1697。28128-2929的个位数字为7。家庭作业1 已知一列数：5、4、7、1、2、5、4、3、7、1、2、5、4、3、7、1、2、5、4、3、，由此可推出第2008个数是_.分析：观察数列发现，除前两个数字之外，7、1、2、5、4、3、六个数一循环，（2008-2）6=3342，所以第2008个数是1.2 在下面的一串数5、2、7、9、6、5、1、6、7、3、0、3、中，从第三个数气，每个数都是前面二个数之和的个位数字。那么在这串数中，能否出现相邻的五个数一次为2、3、5、9、8？分析：观察发现这串数的奇偶性为奇、偶、奇、奇、偶、奇、奇、偶、奇、奇、偶、，除前2项外，即以3为周期，按两奇一偶循环出现，2、3、5、9、8的奇偶性为偶、奇、奇、奇、偶，所以不能出现。3请在下图中每个方格中填一个数，使横行任意三个相邻方格内的数字之和都为8，竖列任意三个相邻方格内的数字之和都是10.分析：同学案1，以已给数字为突破口，利用相邻三个数和为8或10推导。4 求799的个位数字。分析： 799的个位数是（7、9、3、1）4个一循环。994243知，799的个位是3。5 求29+1329的个位数字分析：29的个位数是（2、4、8、6）4个一循环。9421知，29的个位2。1329的个位数是329的个位数，（3、9、7、1）4个一循环。29471，1329的个位为3。2+3=5，29+1329数字为5。拓展题目1 王师傅在某个特殊岗位上工作，他每上8天班后，就连续休息2天。如果这个星期六和星期天他休息，那么，至少再过几周后他才能又在星期天休息？分析：王师傅再休息就是（+6+二三+6+五六+6+一二+6+四五+6+日一+6+三四+6+六日）这样的循环，10天一循环，第5个循环的倒数第二天为周日休息，即49天，7个星期后，王师傅又再周日休息。2小学生数学报每星期五出版一期，已知1994年10月份第一期是10月7日出版的，那么1995年1月份第一期应该在哪一天出版？分析：从1994年10月7日到1994年12月31日共(31-7)+30+31=85天， 一个循环节（六日一二三四五）857=121，即1994年12月31日周六 1月份的第一个星期五是1月6日。3 有一个一千位数，他的各个数位数字都是1，问这个数被7除的余数是几？分析：推算，找出循环节17=01117=141117=15611117=1585111117=158721111117=15873011111117=1587301余数（1、4、6、5、2、0）6个一循环10006=1664，即余数为54 若20082009表示2009个2008连续相乘，20092008表示2008个2009连乘，则2008200920092008的个位数是_。分析：20082009的个位数字为2009个8连乘的个位数字。8n的个位是（8、4、2、6）4个一循环20094=5021，即2009个8连乘乘积的末位数是8。20092008的个位数字为2008个9连乘的个位数字。9n的个位是（9、