第二册(下) 第九章直线、平面、简单几何体A版 单元测评：简单多面体与球.doc

或单元检测（四） 简单多面体与球（时间90分钟，赋分100分）第卷（选择题 共36分）一、选择题（本大题共12小题,每小题3分,共36分）1.下面命题中正确的是( )A.有一条侧棱与底面两边垂直的棱柱是直棱柱B.有两个侧面是正方形的棱柱是正棱柱C.有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱D.如果四棱柱的四个对角面都垂直于底面,那么这个四棱柱为直棱柱答案:D解析:选项D中,因为两个对角面都垂直于底面,所以它们的交线垂直于底面,而交线和棱柱的侧棱平行.所以侧棱和底面垂直.故四棱柱为直棱柱.2.下列说法正确的是( )A.所有的棱柱都有对角线 B.棱柱的顶点最少有六个C.棱柱的侧棱最少有4条 D.棱柱的棱最少有4条答案:B解析:三棱柱没有对角线,它是棱数最少的棱柱,也是顶点数最少的棱柱,它有六个顶点.3.下列说法不正确的是( )A.如果棱柱的侧棱长是定值,那么它的高是定值B.在一个棱柱中,如果它的侧棱长是定值,并且侧棱与底面所成的角是定值,那么它的高是定值C.如果棱柱的相邻两侧面都是矩形,那么棱柱是直棱柱D.直棱柱的各侧面都是矩形答案:A解析:设棱柱的侧棱与底面所成的角为,侧棱长为l,高为h,则h=lsin.当l是定值时,h随的值变化.4.四棱锥的各侧面与底面所成的二面角的大小都相同,则这个棱锥的底面是( )A.菱形 B.正方形 C.圆内接四边形 D.圆外切四边形答案:D解析:由已知四棱锥与底面所成的二面角的大小都相等可得:顶点在底面上的射影到底面四边形各边的距离都相等,此四边形外切于一圆.5.(2006高考福建卷,理5文7)已知正方体外接球的体积是,那么正方体的棱长等于( )A. B. C. D.答案:D解析:设球半径为R,立方体棱长为a,则r=R3=.R=2.又球的直径即为内接正方体的体对角线,3a2=42,a=.6.正三棱锥的侧面积是底面积的2倍,那么侧面与底面所成角( )A.为 B.为 C.余弦值为 D.余弦值为答案:B解析:设三棱锥的底面边长为a,斜高为h,S侧S底=3ah=2.h=,即cos=,=.为侧面和底面所成角.7.右图是一个正方体的表面展开图,A、B、C均为棱的中点,D是顶点,则在正方体中,异面直线AB和CD的夹角的余弦值为( )A. B. C. D.答案:C解析:把展开图复原为正方体后如图所示,则EGF为AB和CD所成的角,F为正方体一边的中点,EF=GF=,EG=.cosEGF=.8.(2006甘肃一模,文12)已知球面上的四点P、A、B、C,且PA、PB、PC两两互相垂直,PA=PB=PC=2,则此球的体积为( )A. B. C. D. 答案:A解析:球的直径为,半径为.V球=,选A.9.四面体ABCD中,以A为顶点的三条棱两两互相垂直,那么A在底面BCD内的射影是这个三角形的( )A.外心 B.垂心 C.内心 D.重心答案:B解析:设A在底面上的射影为O,则BC平面AOD,BCOD,同理BDOC.O为BCD的垂心.10.长方体的三个面的面积分别为、,则它的外接球的半径是( )A. B. C. D.答案:A解析:设长方体的长、宽、高分别为x、y、z,则即x=,y=1,z=,4r2=()2+12+()2=6,r=.11.正三棱锥SABC的侧棱与底面边长相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于( )A.90 B.60 C.45 D.30答案:C解析:如图,取SB、BC中点分别为G、H,连结GF、GE、SH、AH,设正三棱锥的棱长为1,则GFSA且GF=SA=,GEBC,GE=BC=.EF与SA所成的角为GFE.又BC平面SAH,BCSA.GEGF.在GEF中,GE=GF=,FGE=90,GFE=45.故选C.12.(2006高考浙江卷,理9)如图,O是半径为1的球心,点A、B、C在球面上, OA、OB、OC两两垂直,E、F分别是大圆弧的中点,则点E、F在该球面上的球面距离是( )A. B. C. D.答案:B解析:如图，AOE=45.取AO中点M，连结EM、FM、EF,则EMF=90.EF=.EFO为等边三角形，EOF=.E、F两点的球面距离为l=1=.第卷（非选择题 共64分）二、填空题（本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上）13.长方体的表面积为32 cm2,体积为8 cm3,长、宽、高成等比数列,则长方体所有棱长之和为_.答案:32 cm解析:设长方体长、宽、高分别为a、b、c,则所有棱长之和为84=32 cm.14.正三棱锥PABC中,侧棱长为3 cm,底面边长为2 cm,E是BC的中点, PA于F,则异面直线PA与BC间的距离为_cm.答案: 解析:三棱锥PABC为正三棱锥,BF=CF.又E为BC的中点,BCEF.EF为异面直线PA与BC的公垂线段.在PAE中,可解得EF=cm.15.(2006四川成都一模,16)如下图,棱长为3的正三棱柱内接于球O中,则球O的表面积为_.答案:21解析:可求得AO1=3=,OO1=.设该球的半径为R,则AO=R.由AO2=OO12+AO12,得R2=()2+()2=,S球=4R2=21.16.已知棱柱如图所示,今用两个平行截面将棱柱分成体积相等的三部分,E、F分别为两个截面与棱柱侧棱AB的交点.当截面与棱柱的侧棱都相交时,给出如下命题:AE=EF=FB;线段EF的长是定值;截面面积是定值;AE+FB是定值.其中真命题的序号是_.(写出所有真命题的序号)答案:解析:当两个截面与棱柱的底面平行时,AE=EF=FB.而当两个截面与棱柱的底面不平行时,则AE、EF、FB不一定相等.作棱柱的直截面,设直截面面积为S,又棱柱被截后中间一部分为一棱柱,其体积为S与EF长的乘积.因为S为定值且体积为定值,因此EF长为定值.满足条件的截面面积与两平行截面的倾斜角度有关.因为EF、AB为定值,所以AE+FB=AB-EF为定值.综上所述,真命题为.三、解答题（本大题共4小题,共48分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.(本小题满分10分)在如图所示的四棱锥ABCDE中,AD底面BCDE,ACBC,AEBE.(1)求证:A、B、C、D、E五点都在以AB为直径的同一球面上.(2)若CBE=90,CE=,AD=1,求B、D两点的球面距离.(1)证明:取AB中点P,由题设条件知AEB、ADB、ABC都是直角三角形,故PE=PD=PC=AB=PA=PB,所以A、B、C、D、E五点在同一球面上.(2)解析:由题意知BCDE是矩形,所以BD=CE=.在RtADB中,AB=2,AD=1,所以DPB=120,D、B的球面距离为.18.(本小题满分12分)在如图所示的直三棱柱ABCA1B1C1中,ACBC,|AA1|=|BC|=1,|AC|=2,点M是B1B的中点,Q是AB的中点.(1)若P是A1C1上的一动点,求;(2)求二面角A-A1B-C的大小.(1)解法一:取BC的中点N，连结QN、C1N.ACBC,ACC1C,AC平面B1BCC1.又Q、N分别是AB、CB的中点,QNAC.QN平面B1BCC1.平面PQNC1平面B1BCC1.C1N是PQ在平面B1BCC1上的射影.|C1C|=|BC|,由平面知识知CMC1N,PQCM.=0.解法二:建立如图空间直角坐标系，则A(0,0,0),A1(0,0,1),C(0,0),B(1, ,0),C1(0,1),M(1,),Q(,0).设P点坐标为(0,x,1),=(,-x,-1), =(1,0, )，则=1+(-1)=0，即=0.(2)解:作CHAB于H,A1A平面ABC,CHA1A.CH平面A1AB.作HDA1B于D,连结CD,由三垂线定理得CDA1B.CDH为二面角A-A1B-C的平面角.在RtACB中，CH=.又A1A平面ABC，A1ABC.又BCAC,BC平面A1AC.BCA1C.易求得A1B=2,A1C=,在RtA1CB中，CD=.又在RtCHD中，sinCDH=,故二面角A-A1B-C的大小为arcsin.19.(本小题满分12分)如图，在长方体OABCO1A1B1C1中，OA=2，AB=3，AA1=2，E是BC的中点.（1）求O1E的长;（2）求直线AO1与B1E所成的角.解法一:(1)= +=.|2=(+)2=|2+|2+|2=4+9+1=14.|=14.(2) =-+,=+=-.=(-+)(-)= |2-|2=-2.|=.|=.cos,=.,=arccos(-)=-arccos.故与所成的角为arccos.解法二:以OA作为x轴正轴，OC作为y轴正轴，OO1作为z轴正轴,建立空间直角坐标系. (1)O1(0,0,2),E(1,3,0),|=.(2)A(2,0,0),B1(2,3,2),则=(-2,0,2),=(-1,0,-2).=(-2)(-1)+2(-2)=-2,|=,| |=.cos, =.故AO1与B1E1所成的角为arccos.解法三:(1)连结OE，在RtOEC中,OE=.又由O1O平面OABC知O1OOE,在RtO1OE中，O1E=.(2)连结BC1,交B1E于F，则BC1AO1.设BFE=,BEF=,则即为直线AO1与B1E所成的角.依题意，侧面B1BCC1为正方形,在RtB1BE中，tan=2,B1E=,sin=,cos=.=arcsin或arccos或arctan2.=-=-arcsin(或=-arccos或=-arctan2).20.(本小题满分14分) (2006高考北京卷,理17)如图,在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中,ABAC,PA平面ABCD,且PA=AB,点E是PD的中点.(1)求证:ACPB;(2)求证:PB平面AEC;(3)求二面角E-AC-B的大小.解法一:(1)证明:PA平面ABCD,AB是PB在平面ABCD上的射影.又ABAC,AC平面ABCD,ACPB.(2)证明:连结BD,与AC相交于O,连结EO.ABCD是平行四边形,O是BD的中点.又E是PD的中点,EOPB.又PB平面AEC,EO平面AEC,PB平面AEC.(3)解:过O作FGAB,交AD于F,交BC于G,则F为AD的中点.ABAC,OGAC.又由(1)(2)知ACPB,EOPB,ACEO.EOG是二面角EACB的平面角.连结EF,在EFO中,EF=PA,FO=AB,又PA=AB,EFFO,EOF=45,EOG=135.二面角EACB的大小为135.解法二:(1)证明:建立空间直角坐标系Axyz,如图.设AC=a,PA=b,则有A(0,0,0),B(0,b,0),C(a,0,0),P(0,0,b),=(a,0,0),=(0,b,-b),从而=0,ACPB.(2)证明