自然数的平方和.doc

1. 1+2+.+n=n(n+1)(2n+1)/6用数学归纳法：n=1时，1=1*2*3/6=1成立假设n=k时也成立，那么k(k+1)(2k+1)/6=1+2+.+k那么n=k+11+2+.+k+(k+1)=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)/6k(k+1)(2k+1)+6(k+1)=(k+1)(2k+k+6k+6)=(k+1)*(2k+7k+6)=(k+1)(k+2)(2k+3)=(k+1)(k+1)+1)(2(k+1)+1)所以1+2+.+k+(k+1)=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)/6=（k+1)(k+1)+1)(2(k+1)+1)/6即n=k+1时，也成立所以 1+2+.+n=n(n+1)(2n+1)/62. 前面在“求连续自然数立方和的公式”一文中，介绍了用列表法推导 公式的过程。这种方法浅显易懂，的确有它的优越性。在“有趣的图形数”中，也曾经用图形法推出过求连续自然数平方和的公式这里用列表法再来推导一下这个公式，进一步体会列表法的优点。首先，算出从1开始的一些连续自然数的和与平方和，列出下表：用数学归纳法很容易证明等式的正确性，这样就轻而易举地推出了求连续自然数平方和的公式。这个妙不可言的推导过程是数学家波利亚的杰作，关键之处是他运用了“猜想证明”的思路。联想到当年著名文学家胡适也曾经有过“大胆假设，小心求证”的名言。看来，无论数学也好，文学也好，追求真理的道路是相通的。这件事对我们教师有什么启示吗？有的，那就是：切莫轻视了对学生观察、类比和猜想能力的培养！这往往是培育创新思维的有效途径。3. 在前面“有趣的图形数”中，曾经用图形法推出了求连续自然数立方和的公式：这里再介绍一种列表法，同样可以推出这个公式，并且更简单，更好理解。第一步：列一个表，在第一行填入一个因数1、2、3、4、5，在第一列填入另一个因数1、2、3、4、5。1234512345第二步：在右下方的空格里分别填入对应的两个因数的积。123451123452246810336912154481216205510152025显然，所有乘积的和等于第三步：把所有乘积的和分成5块。这5块依次是：113，242823，369632733，48121612846443，510152025201510512553。于是，所有乘积的和又等于1323334353。这样，对比所有乘积和的两种表示法得到：推而广之，就得到： 是不是比图形法更简单，更好理解？如果你对列表法有兴趣的话，请再看一下拙文“求连续自然数平方和的公式”与“求连续三角形数和的公式”，一定会有新的感触的。谢谢！4. 一个自然数可以分解为3个质数的积,如果这3个质数的平方和是39630,求这个自然数? 这个自然数是1990它的3个质因数是2,5,199思考分析:质因数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37.将所有的质因数平方后观察得4,9,25,49,121,169,289,361.除了2同5的平方外其它的质因数的平方后的个位数都是1和9这三个质因数的平方和是39630(个位数是0)因此可知只有2同5的平方再同其它的平方相加才能得到一个个位数是0的数因此2同5是它的两个质因数那4+25+X2=39630解得X=199所以这个自然数是1990(2*5*199)在一个繁体网站看到一篇文章讲据说下面是当初欧拉的解法：