9 一道“教师基本功大赛试题”的探索历程.pdf

解 题 2 2一 璺 节 事 一 j 一 尽 每 方 港 0 j 2 2 一 一 一 一 一 一 一 一 1 萼 2 o 09 年 第 4 期 l 上 旬 I 磷 蒸 赫 黎 汪贵平 云南省兰坪县第一中学 1 问题的提出 2 0 0 8 年 第 6 期 中学 数 学教 学 参考 上 半 月 刊 登的高中数学教师解题基本功技能大赛试题 中有这 2 2 样一道 题n 已知椭 圆 一1 n 6 o 面积 为 2 a b的椭圆 内接 四边 形有 A 1 个 B 2 个 C 3个 D 无数个 2 拿 不定主 意 符合 条件 的椭 圆内接 四边 形 有几个 2 1 第一次试 探 找到第 1个 第 2个容易 找到第 3 个 第 4个直 到无数 个则很 难 第 1 个是 以椭圆的四个顶 点 围成 的 四边 形 第 2 个 是过点 A 磊2 分 别 作 轴 和 轴 的平 行 线 交椭 圆 于 点 B 和 点 D 以 AB和AD 为邻边画一 V 一 L J D 图 1 试 题 的 个平行 四边形 交椭 圆于 点 C 即 得 到第 2个 满 足条 件 的椭 圆内接 四边形 图 1 第 3个会 是什 么样 的一 个 四边 形 呢 笔 者 绞 尽 脑汁 仍找不出一个符合条件的 难道只有 以上两个 吗 或是还有其他的呢 拿不定主意 了 于是笔者决 定 以此作 为问题来 探究 2 2 第二次 探究 有没有 第 3个呢 按试 题设 计 笔 者先 取椭 圆方 程 为 z 1 然 后 在 其 上 取 两 个 点A 7 6 百 1 和 厶 B x 满足 s A o B 一 求点 B的坐标 结 果 算 得 B 譬 考 虑点 B在椭 圆上哪些位 置才满足 呢 图2 以A B 1 一 譬 譬 A 一 譬 一 丢 上接第 2 1 页 D G四点 的 曲线 系 含直 线 C H G D 的 方 程 为 口 6 z c P y k l z 一是 2 z 一0 该 曲 线系与直线 AB 即与 轴的交点 P Q的横坐标满足 方程 口 足 一0 故 由根 与 系数 的关 系可知 z z Q 0 即 I OPl I oQI 显 然 这是 一 个 更具 一般 性 的证 明 它有 更 广泛 的适 用范 围 过 C D G H 的任意 一 条二 次 曲线 n 6 c e 厂 一是 1 一是 2 一0在 直 线 AB上截得 的线段 P Q 被 O 平 分 特 别地 直线 C H G D 可 看作 是 一 条 退 化 的二 次 曲 线 所 以 直 线 C H G D若 与 AB 分别交于 P Q两点 则有 I OP 1 j 0Q1 若直线 C G HD与AB分别交于 E F两点 则 亦有 l oEI l 0 FI 证明 2 若利用射影几何 的知识 则有如下更为 V 召 图 2 简捷 的证 明 对 于 四边形 C G DH 和它 的对角 线 C D GH 根 据 射影几何中的笛沙格对合定理 任意一条直线 不是 切线 与一条 二次 曲线 及其 内接 四边形 的对 边相 交所 得 各 点 在 同 一 对 合中 得 一 篙 所 以 l A Q l l A P I B Q I B P I 即 一 一 因此 得 I AP IAP I B Pl I l 1 BP I I AP I 寸 一 I B Q1 又 0 是 AB 的 中点 所 以 l OPl l o QI 参考文献 I 英国 A 科克 肖特 F B 沃尔特 斯 圆锥 曲线 的几何性 质 M 上海 上海教育出版社 2 0 0 2 2 冯 克勤 射影 几何趣谈 M 上海 上海教育出版社 1 9 8 7 3 单鳟 解 析 几何技 巧 M 合 肥 中国科学 技 术大 学 出版 社 2 0 0 1 萋 一 一 一 一 一 零 布漳 一 一 一 一 一 妻 23 B 2 一 譬 围 成 的 椭 圆 内 接 四 边 形 A 1 B 2 的 面 积 为 2 满足条件 如图3 以A 丢 B 一 2 一 A 一 一 号 B 围 成 的椭 圆内接 四边 形 AB A B 的面积不 为 2 不满 足条件 这样 找到 了第 3个 还 可以 找 到 第4 个 吗 重 新 取 点 A 依 此 寻 找 结 果 找 B 图 3 到了第 4 个 照这样 找下 去 可 以找到无 数个 2 3 第三次 试探 将 以上 椭 圆的特殊方 程换 成一般 方 程 也 可 以找 到无数个 吗 还 是 拿 不 定 主 意 于是 再 用 一 般 方 法 寻找 已知椭 圆方程 为 一1 口 6 o 其 上 有两 个点A x j o 和点 B z 满足 S 枷 n 6 求点 B的坐标 解 设直线 O B的方程 为 y k x k fiO 则点 A 到 戡 B腿剐一 1 0 BI 一 I 惫 s 枷 1 l o B d 走 一3 1 zl 2 x l I 寺I y x 一 x y f 而 S 一 a b I y x 0 xy 0 I a b i 若 y x o x y o 一口 6 则 一 x y o a b y 2 一 一 薯 即 a f 2 a b x y 0 口 b 一 b 口 一z 舒口 Y 2 a b x y o 口 b 一日 b z b 以 6 2 a b x y o 口 b a b z j 0 臼z n Y 6 z 5 2 a b x y o n b 以 一 一0 臼口 b j r 2 2 a b x y 0 口 Y 一0 6 z 2 a b xy o 口 Y O 臼 缸 口 一 0 一 事 6 2 一 6 y oz 一 一 鲁 i i 若 z 一 一一n 6 则 一 同 理 得 詈 一 从 而得B 詈 詈 以A 3 b B 一 c c 一 一 弘 D 一 b 为 端 点的椭圆内接四边形A B C D的面积为 2 a b 符合条件 以 A z B 一 b y o b 一 一 D 詈 詈 为 端 点 的 椭 圆 内 接 四 边 形 A B C D 的 面 积不为 2 a b 不符合条件 照此 推理 点 A 的 坐标 换 了 相 应 地 点 B 的坐 标也就变了 紧跟着椭圆内接四边形 AB C D也在变 因此 满 足题意 的 椭 圆 内接 四 边形 有 无 数 个 如此 费 力 的方法 似乎让 人觉 得心里 不踏实 3 拿定丰意 有 无数个 3 1第 四次试探 以上 四边形 ABC D 为什 么满 足条 件 而 四边 形 A B C D 为 什 么 不满 足 条 件 呢 原 因是 AC 和 BD 是椭圆的两条共轭直径 而 A c 和 B D 不是椭 圆的 两条共轭直径 说到椭 圆的共轭直径 它的定义是什 么 呢 若 AB 和 C D 是椭 圆的 两条 直径 AB 平分 平 行 于 C D 的弦 C D 平 分平行 于 AB 的弦 则这 两条 直 径 叫做 共 轭 直 径I 2 应 用 椭 圆 的共 轭 直 径 笔 者又做 了如下 的理论 求证 如图 4所 示 已知椭 圆 的共 轭直径 的 长 分 别 为 2 日 和 2 6 一 一 P 4 为这两条共轭直径的夹角 求证 s i n 一 n D 证 明 设椭 圆 的方程为X 2 T yZ 一1 口 6 0 即 6 口 口 b PP 与 QQ 为 已知 的两条 共轭 直径 设点 P的坐 标 为 则直 径 P P 的斜率 为 因此 共轭 直径 Z 1 Q Q 的 方 程 是 6 n 一 0 为 了求 盲 径 QQ 的端 点坐标 联 奇方 程 和 2 4 节 謦学 生节 奎 孝 2 OD 9 年 舞 目U 旬 解 冀 一 一 一 思 想 方 法 一 n 一 晤 解 得 点Q 的 坐 标 为 一 詈 b 设 直 径P P 与 Q Q 的倾斜 角分 别为 a 因为 I OPI a I O Q 一b b 所 以 s i n a 一 c s a 一 n 一 一 7b X l 0 a O c s p 日 一 一 a ya 而 一J 8 a s i n 一s i n f l a 一s i n o s a C O S i n O t 一 b x a x 一 相等 图 5 3 2第五次试 探 正当问题快要解决的时候 受一个特例的影响 使笔者又突然想到用投影方法来解答这个问题 先 看 特 例 嘲 已 知 椭 圆 等 一 1 则 其 内 接 三 角 形 面积 的最大值 为 A 6 B 9 C 1 2 D 1 2 投影 到 平 面 M 得到 半 径 为 R 3的 Oo t 圆 内接 正 Ac E F 的面积最 大 即 s 一 3 z 一 27 所以椭圆内接三角形面积最大值为 s 一 一 接四耋 BC 接 四 边 形 的 面 积 也 可 以 这 j 篓 勘 C1 虑 如 图 7 椭 圆 的长 轴 短 轴 之 比为 口 6 L L 将椭 圆按 c 一 一