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从算法教学管窥中国古代数学史 俞 昕 浙江湖州市第二中学 313000 关于算法的涵义 人们有着不同的界定 普 通高中数学课程标准 实验 在学生算法目标达 成度上 重在算法思想的理解与应用 界定现代算 法的意义就是解决某一类问题的办法 确切地说 就是对于某一类特定的问题 算法给出了解决问 题的一系列 有穷 操作 即每一操作都有它的确 定性的意义 使计算机能够按照它的指令工作 并在有限时间 有穷步骤 内计算出结果 普通高中数学课程标准 实验 对 算法部 分 进行说明时 突出强调 需要特别指出的是 中 国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想 吴文俊 先生曾经说过 我们崇拜中国传统数学 决非泥古 迷古 为古而古 复古是没有出路的 我们的目的 不仅是要显示中国古算的真实面貌 也不仅是为 了破除对西算的盲从 端正对中算的认识 我们主 要的也是真正的目的 是在于古为今用 算法教 学中蕴涵着丰富的数学史教育价值 作为新时代 的高中数学教师是有必要了解这一点的 1 中国古代数学的特点 古代数学思想分为两大体系 一个是以欧几 里得的几何 原本 为代表的西方数学思想体系 这个体系以公理化的思想 抽象化的方法 封闭的 演绎体系为特色 另一个则是以我国的 九章算 术 为代表的东方数学思想体系 这个体系以算法 化的思想 构造性的方法 开放的归纳体系为特 色 我国传统数学在从问题出发 以解决问题为主 旨的发展过程中 建立了以构造性与机械化为其 特色的算法体系 这与西方数学以欧几里得几何 原本 为代表的所谓公理化演绎体系正好遥遥 相对 中国古代数学中的 术 相当于现代数学术语 中的 公式 两者虽有相同点 都可以用来解决一 类有关问题 其差异也非常之大 主要表现在 公式 只提供了几个有关的量之间的关系 指明 通过哪些运算可由已知量求出未知量 但并没有 列出具体的运算程序 一般地 认为这种程序是已 知的了 但 术 则由怎样运算的详细程序构成的 可以说它是为完成公式所指出的各种运算的具体 程序 即把 公式 展开为使用某种计算工具的具 体操作步骤 从这点看 术 正是现代意义上的算 法 是用一套 程序语言 所描写的程序化算法 可 以照搬到现代计算机上去 我国古代数学包括了 今天初等数学中的算术 代数 集合和三角等多方 面的内容 由于受实用价值观的影响 中国传统数 学的研究遵循着一种算法化思想 这种思想从 九 章算术 开始一直是中国古代数学著作大都沿袭 的模式 实际问题 归类 筹式模型化 程序化算法 即将社会生产生活中的问题 先编成应用问题 按 问题性质分类 然后概括地近似地表述出一种数 学模型 借助于算筹 得到这一类问题的一般解 法 把算法综合起来 得到一般原理 分别隶属于 各章 人们按照书中的方法 原理和实例来解决各 种实际问题 可以说 中国传统数学以确定算法为 基本内容 又以创造和改进算法为其发展的方向 受 九章算术 的影响 在之后的几个世纪 一 些数学家的著作都以算法为主要特点 包括王孝 通的 辑古算经 贾宪的 黄帝九章算法细草 刘 益的 议古根源 秦九韶的 数书九章 李冶的 测圆海镜 和 益古演段 杨辉的 详解九章算 法 日用算法 和 杨辉算法 这些著作中包括 了增乘开方术 贾宪三角 高次方程数值解法 内 插法 一次同余式组解法等一些著名的算法 进一 步发展了中国古代数学算法化的特点 使得算法 的特点得到了进一步的强化和发展 1 1 中国古代数学的算法化思想 算法化的思想是中国古代数学的重要特点 并贯穿于中国古算整个发展过程之中 即使是与 24数学通报 2010 年 第 49 卷 第 2 期 图形有关的几何问题也不例外 中算家们将几何 方法与算法有机地结合起来 实现了几何问题的 算法化 这样 从问题出发建立程序化的算法一直 是古代中国数学研究的传统 也是中算家们努力 的方向 这种算法化的思想着重构造实践 更强调 经验 发现 和构造性思维方式下从无到有的 发明 对今天的算法教学与研究具有重要的启迪 作用 中国古代数学算法化的思想具体表现如下 第一步 把实际中提出的各种问题转化为数学模 型 第二步 把各种数学模型转化为代数方程 第 三步 把代数方程转化为一种程序化的算法 第四 步 设计 并逐步改进 归纳 推导 寓推理于算法 之中 出各种算法 第五步 通过计算回溯逐步达 到解决原来的问题 1 2 中国古代数学的构造性方法 所谓构造性方法是解决数学问题的一种方 法 是创造性思维方式直接作用的结果 按照现代 直觉主义者 特别是构造主义者的观点 对于一个 数学对象 只有当它可以通过有限次的操作而获 得 并且在每步操作之后都能有效地确定下一步 所需要采取的操作 才能说它是存在的 按照这种 思维方式 可以使概念和方法按固定的方式在有 限步骤内进行定义或得以实施 或给出一个行之 有效的过程使之在有限步骤内将结果确定地构造 出来 换言之 就是能用有限的手段刻画数学对象 并针对问题提出具体的解法 中国古代数学的算法化思想与构造性的方法 紧密相连 由于古代中算家所关心的大多是较为 实用的问题 他们在解决问题时首先考虑是如何 得到可以直接应用的 可以方便操作的解 而不会 满足于仅仅知道解在理论上的存在性 因为这种 纯粹的理论解对于受实用价值观影响的中算家来 说是没有多大意义的 从而我们推断 构造性方法 的产生是算法化思想直接作用的结果 从我国许多经典算书中可以发现 数学构造 性方法在算法中有许多精彩的体现 例如就 方 程 的筹算图阵及其程序设计而言 首先 群物总 杂 各列有数 总言其实 这是对每行中未知数的 系数和常数项的安排 其次 令每行为率 二物者 再程 三物者三程 皆如物数程之 这是对诸行关 系的安排 并列为行 又说明了什么叫 方程 这 为中国古代数学的构造性方法提供了一个具有说 服力的样板 由于构造性的方法特别强调运算的可操作程 度 所以构造出的 术 可以通过一系列有限的运 算求出解来 具有一般性 时至今日我国古算家所 设计的许多算法几乎都可以整套照搬到现代的电 子计算机上实现 这也是我国古算在算法上长期 居于领先地位的一个重要原因 2 中国古代数学中的优秀算法案例 2 1 中国古代的代数学 代数学是中国传统数学中一个值得骄傲和自 豪的领域 中小学数学中的算术 代数内容 从记 数以至解联立的线性方程组 实质上都是中国古 代数学家的发明创造 结合新课程的算法教学 笔 者选取我国古代著名算法进行分析 2 1 1 求最大公约数的算法 更相减损术 中国古代数学中 未曾出现素数 因数分解等 概念 但是发明了求两整数的最大公约数的方 法 更相减损术 可半者半之 不可半者 副置 分母子之数 以少减多 更相减损 求其等也 以等 数约之 事实上此术中包含了三个步骤 第一步 可半者半之 即进行观察 若分子 分母都是偶数 可先取其半 第二步 不可半者 副置分母 子之数 以少 减多 更相减损 求其等也 第三步 以等数约之 其中第二步 以少减多 更相减损 是关键 又 是典型的机械化程序 在中国古代数学中 将最大 公约数称作 等 由于 更相减损 过程终可以在 有限步骤内实现 所以它是一种构造性的方法 若 用现代语言翻译即为 第一步 任意给定两个正整 数 判断它们是否都是偶数 若是 用 2 约减 若不 是 执行第二步 第二步 以较大的数减去较小的 数 接着把所得的差与较小的数比较 并以大数减 小数 继续这个操作 直到所得的数相等为止 则 这个数 等数 或这个数与约简的数的乘积就是所 求的最大公约数 下面运用 QBASIC 语言来编写 相应的程序 见程序 1 252010 年 第 49 卷 第 2 期 数学通报 程序 1 INPUT m n m n IF m n T HEN a m m n n a END IF k 0 WHILE m MOD 2 0 AND n MOD2 0 m m 2 n n 2 k k 1 WEND d m n WHILE d n IF d n THEN m d ELSE m n n d END IF d m n WEND d 2 k d PRINT d END 程序 2 INPUT A B WHILE A B IF A B T HEN A A B ELSE B B A END IF WEND PRINT B END 程序 3 INPUT M N M N M N DO R M N IF R N THEN M R ELSE M N N R END IF LOOP UNTIL R 0 PRINT M END 程序 4 INPUT n n INPUT an a INPUT x x v a i n 1 WHILE i 0 PRINT i i INPUT ai a v v x a i i 1 WEND PRINT v END 程序 2和 3 是两个简化的参考程序 是从不 同的角度来实现更相减损的过程 更相减损术 提供了一种求两数最大公约数 的算法 这是 九章算术 的一个重要成就 与古希 腊欧几里得的几何 原本 中用来求最大公约数的 欧几里得算法 即辗转相除法 有异曲同工之 妙 欧几里得在几何 原本 中针对这个问题引入 了许多概念 给出了冗长的逻辑证明 尽管如此 他还是暗用了一条未加说明的公理 即如果 a b 都被 c 整除 则 a mb 也能被c 整除 中国古算采 用的 更相减损 方法 实际上也暗用了一条未加 说明的公理 即若 a b 可以被 c 整除 则 a b 都 能被 c 整除 正如刘徽在 九章算术注 中 其所以 相减者 皆等数之重叠 从形式上看 更相减损 术 比 辗转相除法 更复杂 循环次数要比辗转相 除法多 但对于计算机来说 作乘除运算要比作加 减运算慢得多 因此更相减损术在计算机上更为 好用 26数学通报 2010 年 第 49 卷 第 2 期 2 1 2 求一元 n 次多项式值的算法 秦九韶算 法 秦九韶 南宋著名数学家 其学术思想充分体 现在 数书九章 这一光辉名著中 该著作不仅继 承了 九章算术 的传统模式 对中算的固有特点 发扬光大 而且完全符合宋元社会的历史背景 是 中世纪世界数学史上的光辉篇章 书中记载了 正 负开方术 大衍求一术 等著名算法 在 数书九章 卷五第 17 个问题以 尖田求 积 为例的算法程序中 可以看出秦九韶对于求一 元 n 次多项式f x anx n an 1x n 1 a1x a0的值所提出的算法 秦九韶算法的特点在于 通过反复计算 n 个一次多项式 逐步得到原多项 式的值 在欧洲 英国数学家霍纳 Horner 在 1819 年才创造了类似的方法 比秦九韶晚了 572 年 秦九韶算法把求 f x anx n an 1 x n 1 a1x a0的 值 转 化 为 求 递 推 公 式 v0 an vk vk 1x an kk 1 2 n 中 vn的 值 通 过这种转化 把运算的次数由至多 1 n n 2 次乘 法运算和 n 次加法运算 减少为至多 n 次乘法运 算和n 次加法运算 大大提高了运算效率 这种算 法的 QBASIC 语言程序如程序 4 所示 算法步骤 是如下的五步 第一步 输入多项式次数 n 最高 次项的系数 an和 x 的值 第二步 将 v 的值初始 化为av 将 i 的值初始化为 n 1 第三步 输入 i 次项的系数ai 第四步 v vx ai i i 1 第五 步 判断 i 是否大于或等于 0 若是 则返回第三 步 否则输出多项式的值 v 2 2 中国古代的几何学 中国古代的几何学从田亩丈量等生产生活中 的一些实际问题中产生 并为生产生活服务 基于 传统实用价值观的影响 中国古代的几何学并没 有发展成为像欧氏几何那样严密的公理化演绎体 系 所以中国古代几何学在整个数学史上的地位 并不突出 但在许多几何问题的处理上也突出了 算法化这一特色 下面以 割圆术 为例作简要 分析 中国古代数学家刘徽创立 割圆术 来求圆的 面积及其相关问题 刘徽 瓤而裁之 即对与圆周 合体的正多边形进行无穷小分割 分成无穷多个 以正多边形每边为底 圆心为顶点的小等腰三角 形 这无穷多个小三角形的面积之和就是圆的面 积 这样通过对直线形的无穷小分割 然后求其极 限状态的和的方式证明了圆的面积公式 刘徽的 算法 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可 割 则与圆合体而无所失矣 体现出程序化的过 程 可以看出圆内接正多边形逐渐逼近圆的变化 趋势 并且刘徽依此开创了求圆周率精确近似值 的方法 将这种极限思想用于近似计算 其中包含 有迭代过程和子程序 是一种典型的循环算法 充 分体现了程序化的特点 中算家的几何学 并不追求逻辑论证的完美 而是着重于实际计算问题的解决 析理以辞 解 体用图 以建立解决问题的一般方法和一般原 则 但另一方面 这种几何学又是以面积 体积 勾 股相似等为基本概念 以长方形面积算法 长方形 体积算法 相似勾股形的性质为出发点的 整个几 何理论建立在 出入相补原理 等基本原理之上 例如 由勾股定理自然地引起平方根的计算问题 而求平方根和立方根的方法 其步骤就是以出入 相补原理为几何背景逐步索骥而得 这方面内容 的介绍 不仅可以丰富学生的算法知识 而且可以 通过揭示蕴藏其中的数学背景和文化内涵 激发 学生学习算法的兴趣 体会算法在人类发展史中 的作用 3 中国古代数学算法的教学价值 3 1 培养正确数学观的良好平台 中国传统算法尽管与现代算法在具体形式上 差别很大 但是重要的是形式后面的认识论发展 线索可以为现代算法教学的体系 教学层次提供 依据 它的具体数学知识载体也是现代算法教学 的重要源泉 各种算法的创立就是创造性劳动的 产物 即是创造思维的一种 凝固 和 外化 其 次 通过把一部分问题的求解归结为对于现成算 法的 机械应用 这就为人们积极地去从事新的 创造性劳动提供了更大的可能性 从而算法化也 就意味着由一个平台向更高点的跳跃 吴文俊先生的研究使中国传统数学的算法重 见天日 开拓了数学机械化的新领域 吴先生提出 数学教育的现代化就是机械化 他在研究中这 样写道 数学问题的机械化 就要求在运算和证明 过程中 每前进一步之后 都有一个确定的必须选 272010 年 第 49 卷 第 2 期 数学通报 择的下一步 这样沿着一条有规律的 刻板的道 路 一直达到结论 证明机械化的实质在于 把通 常数学证明中所固有的质的困难 转化为计算的 量的复杂性 计算的量的复杂性在过去是人力不 可能解决的 而计算机的出现解决了这种复杂性 吴先生的理论和实践已经表明 证明和计算是数 学的两个方面 且又是统一的 这在数学教育中具 有重要意义 我们应当引导学生了解古人对问题 思考的角度 学会站在巨人的肩膀上 比如按照中 国古代开方术的思路就可以编造程序在现代计算 机上实现开方 培养学生在学习数学知识的同时更多地关心 所学知识的社会意义和历史意义 力图在面向未 来的同时 通过同传统上的哲学 历史和社会学的 思想结合起来 形成正确的数学观 算法教学就为 此搭建了一个良好的平台 并且承载丰富的历史 底蕴 3 2 渗透爱国主义教育的最佳契机 与西方相比 中算理论具有高度概括与精练 的特征 中算家经常将其依据的算理蕴涵于演算 的步骤之中 起到 不言而喻 不证自明 的作用 可以认为中国传统数学乃是为建立那些在实际中 有直接应用的数学方法而构造的最为简单 精巧 的理论建筑物 因此 中算理论可以说是一种 纲 目结构 目是组成理论之网的眼孔 纲是联结细 目的总绳 以术为目 以率为纲 即是依算法划分 理论单元 而用基本的数量关系把它们连结成一 个整体 纲举目张 只有抓住贯串其中的基本理论 与原理 才能看清算法的来龙去脉 下面是吴文俊 先生总结的 关于算术代数部分发明创造的一张 中外对照表 从算法教学管窥中国古代数学史 中国外国 位值制十进位记最迟在 九章算术 成书时已十分成熟印度最早在 6 世纪末才出现 分数运算 周髀算经 中已有 在 九章算术 成 书时已成熟 印度最早在 7 世纪才出现 十进位小数 刘徽注中引入 宋秦九韶 1247年时已 通行 西欧 16 世纪时始有之 印度无 开平方 立方 周髀算经 中已有开平方 九章算 术 中开平 立方已成熟 西方在 4 世纪末始有开平方 但还无开立方 印度 最早在 7 世纪 算术应用 九章算术 中有各种类型的应用问题 印度 7 世纪后的数学书中有某些与中国类似的问 题与方法 正负数 九章算术 中已成熟印度最早见于 7 世纪 西欧至 16 世纪始有之 联立一次方程组 九章算术 中已成熟 印度 7 世纪后开始有一些特殊类型的方程组 西 方迟至 16 世纪始有之 二次方程 九章算术 中已隐含了求数值解法 三国时有一般解求法 印度在 7 世纪后 阿拉伯在 9世纪有一般解求法 三次方程 唐初 公元 7 世纪初 有列方程法 求 数值解已成熟 西欧至 16 世纪有一般解求法 阿拉伯 10 世纪有 几何解 高次方程宋时 12 13 世纪 已有数值解法西欧至 19 世纪初始有同样方法 联立高次方程组与消元法元时 14 世纪初 已有之西欧甚迟 估计在 19 世纪 28数学通报 2010 年 第 49 卷 第 2 期 3 3 品位数学美学思想的美妙境界 中国古代数学不但具有实用性特征 还蕴涵 着丰富的美学思想 比如 九章算术 中列方程的 方式 相当于列出其增广矩阵 其消元过程相当于 矩阵变换 而矩阵是数学美学方法中对称最典型 的表现形式之一 九章算术 中用几何方法巧妙 地解决了很多代数问题 这是数形结合的统一 把 数学问题改编成歌诀 以便于掌握和传授 这是文 学艺术与数学的统一 总之 在算法教学中 应努 力把握和利用自己文化传统中的积极因素进行教 学 这对数学教育的发展具有重要的意义 参考文献 1 中学数学课程教材研究开发中心 普通高中课程标准实验教 材书 数学 M 北京 人民教育出版社 2007 2 中华人民共和国教育部 普通高中数学课程标准 实验 M 北京 人民教育出版社 2003 3 李文林 数学史概论 第二版 M 北京 高等教育出版 社 2002 4 王鸿钧 孙宏安 中国古代数学思想方法 M 南京 江苏教育 出版社 1988 5 张维忠 数学 文化与数学课程 M 上海 上海教育出版 社 1999 6 吴文俊 吴文俊论数学机械化 M 济南 山东教育出版 社 1995 7 代钦 儒家思想与中国传统数学 M 北京 商务印书馆 2003 8 费泰生 算法及其特征 J 数学通讯 2004 7 9 张奠宙 算法 J 科学 2003 55 2 10 李建华 算法及其教育价值 J 数学教育学报 2004 3 11 李亚玲 算法及其学习的意义 J 数学通报 2004 2 上接第 23 页 实验教师对课改实验进行探索 总 结 反思 调整 推广比较成熟的经验 同时纠正实 验过程中的偏颇与极端行为 教学过程逐步进入 新的稳定阶段 教学过程逐步过渡到以问题为主 线 以活动为主线的 无环节 模式 2 受不同的教