（基础数学专业论文）若干组合恒等式证明及广义的bernoulli多项式、euler多项式探析.pdf

河南大学硕士学位论文 摘要 组合恒等式是组合数学的重要内容，本文主要讨论一些与f i b o n a c c i 数 和l u c a s 数有关的组合恒等式以及二元b e r n o u l l i 多项式和多元e u l e r 多项式的 相关性质 第一章介绍了f i b o n a c c i 数和l u c a s 数的定义以及相关的组合知识 第二章第一部分主要利用j a m e sm cl a u g h l i n 的文章：( r ，则 r r ( z ) r + r ( z ) 一霹( z ) = ( 一1 ) 俨卜1 砰( z ) 2 1 关：于二f i b o n a c c i 数$ 0 l u c a s 数矩阵的组合恒等式 定理2 1 1 篓( 铮：- 2 j ( _ 1 ) ( n + 1 ) j _ - - 扣珍 4 河南大学硕士学位论文 证明：引入一个2 2 阶矩阵a 们： f 一- 一 厶，2l r n - r 在引理2 0 2 中，令z = 1 ，有以下等式： r r + ， r 一，r 押一碟= ( 一1 ) 俨卜1 砰 运用式子2 1 ，得到a ，的行列式： l a n ，小= ( 一1 ) 俨砰 同时，也可以得到a n r 的迹： t r ( a n ，) = f 2 t l n 。：r ：r = 2 m 2 m 一1 能够证明，当r = 2 m 时， k = ( 臀k - 1 = k 戮- 1 仇) 根据引理2 0 1 ，当r = 2 m 时，如果 那么 ( 南了j ) ( 易 广2 ”咖碟 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) a n k ，z 仇= ( 纨二f j n k + 秒2 七m 一。y 一1 玑+ f j n k y k 。- m 1 到一。) c 2 4 ， 对比式子2 2 和式子2 4 ，则 讥= 去磁r ( m ) ( 2 5 ) 把式子2 5 中的虮带入式子2 3 中，化简后耳p , - i 得到定理2 1 1 证毕 5 倒 = 弧 河南大学硕士学位论文 推论2 1 2 r l n = f 2 n 萎( 6 七j 。) 肛。 薯( 6 七了。) 烀一1 薹( 6 七0 。) 烀1 ， 萎( 6 七? 。) 肛 蕃( 6 七芎。) 归。 证明： 设矩阵a 1 1 为： 气，= ( 二1 ) 并且矩阵a 1 1 的行列式和迹分别为： l a l ，1 i = 1t r ( a 1 ，1 ) = 1 仍然利用引理2 0 1 ，如果 弧= 篓( 协叫。 那么 伽( 譬1 篆1 ) 还可以得到另外一个结论： a ；，1 = 一ea ：，1 = e 6 ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) = v ， 1一 、， 一了 七6 3 一 1 七一 _ 札； ；触 理定 河南大学硕士学位论文 如果分别令庇= 0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，结合式子2 7 和2 8 ，那么 y o = 1 ，y l = 1 ，y 2 = 0 ，y 3 = 一1 ，y 4 = 一1 ，y 5 = 0 ( 2 9 ) 对比上面的式子，得到 y k = o ( m o d6 ) = y o = 1 y k 三1 ( m d d6 ) = y l = 1 ， y k - 2 ( m o d6 ) = y 2 = 0 y k 三3 ( m d d6 ) = y 3 = 一1 ， 纨三4 ( 仇d d6 ) = y 4 = 一1y k 三5 ( m d d6 ) = y 5 = 0 因此，对于所有的非负整数k ，定理2 1 3 成立 定理2 1 4 妾( 2 七玲h 驴牛1 肛和1 ， u 2 k 善- 1 ) 2 j ( 妣- 歹i 呼牛1 肛瓦5 f 证明： 弓i a - - 个2 2 阶矩阵g ： g = il n - 1 l n 矩阵g 的行列式和迹分别为： g i = ( 一1 ) 计1 5t r ( c n ) = 5 r 证毕 利用引理2 0 1 ，如果 = 警( m 玲卵气叫叼， 删 7 河南大学硕士学位论文 那么 四= ( - - l n + _ l y m1 。l n y m 舶- 1 一，) 而且，还可以证明：g 的2 尼次幂和g 的2 k 一1 次幂的表达式分别为： c 2 n k _ = 5 kif 2 k n - 1 乏。) ， c 。n k - 1 = 5 k - 1 l n ( 2 k - ) 1 1 ) 对比式子2 1 1 和2 1 2 ，有 妣= 瓦15 七吣 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) f 2 k - 1 ：1 5 七f 2 七n ，一1 4 ) y 2 ( 2 1 4 2 z n “枷 把式子2 1 3 ，式子2 1 4 代入式子2 1 0 中，可以得到定理2 1 4 证毕 推论2 1 5 妻( 2 尼厂歹) 5 _ i c 一，c 一1 ，= l z 七+ ，h 2 k - 1 ) 2 j ( 2 七- 歹1 一歹) 5 七一c 一1 ，歹= 5 毋七 2 2由某些特殊矩阵得到的组合恒等式 定理2 2 1 l n 2 j ( j 歹) 2 喇c 叫扎 8 、1、1 d 卜 肛 。 啦 l k 河南大学硕士学位论文 证明：定义一个2 2 阶矩阵玩： d n ：r 一( 扎一 f 一刀 矩阵仇的行列式和迹的值都是常数： 利用引理2 0 1 ，如果 1 ) 仃 、 礼+ 1 队i = 1t r ( d n ) = 2 = ，n 一2 。j z n 了歹) 2 n 一巧c 一1 ， 那么矩阵d n 的n 次幂为 磷= ( 驴= 1 胁一y k - t t 竺n1 、1 ) y k 一1 ) 一亿纨一 一 一 而且矩阵d 礼的佗次幂还有另外一种形式： 则 用n 替换k ，得到定理2 2 1 定理2 2 2 1 n kn k - n kn k + 1 y k = 七+ 1 h k 善- i ) 7 2 1 ( 七一三一j ) 2 c n 一1 ，南一2 ，一1 c 2 n 一1 ，+ 1 一篓( 2 ”圳蚴m 叫叫叫m 9 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 证毕 河南大学硕士学位论文 证明：引入2x2 阶矩阵g n ： g n = in - 1 一n ) 并且矩阵g 几的行列式和迹分别为： g n i = - 2 n + 1t r ( d n ) = 2 ( 佗一1 ) 依旧使用引理2 0 1 ，如果 ( 了歹) 2 七一勿( 礼一1 ) 七一巧( 2 n - 1 ) j ， ( 2 1 7 ) 能够得到矩阵g n 的n 次幂： g；：=(纨一(n-一1玑一1一(n佗yk一-1nyk 1 y k1 ) y k 一1 ) ( 2 1 8 ) 一 一【佗一lj一 假设g ：的表达式为 仃七一厂n 嚣 一。龆 运用数学归纳法，可以得到g n 中的元素有以下关系： 则 n 嚣一n 嚣= ( 一1 ) 南 玑一( 2 n 一1 ) y k 一1 = ( 一1 ) 七 把式子2 1 7 带入式子2 1 9 ，就得到定理2 2 2 推论2 2 3 警j = o ( j ) 2 k - 2 j 3 j 一互3k 乳黔啪蚓叫七 ( 2 1 9 ) 证毕 蜊：豆 = 虮 、l - 、 )2)1 m 0 0 河南大学硕士学位论文 ( r j - j ) l e + 1 ) r 一句( 一e ) + 吾1 证明：定义一个2 2 阶矩阵m ： m = ) 矩阵m 的行列式为：i m l = e ，且矩阵m 的迹为t 7 ( m ) = e + 1 据引理2 0 1 ， 如果 ( 扎了j ) ( e + 1 ) n 一勿( 一e ) ， ( 2 2 0 ) 一( 鲰? 一乞) 2 ， 又因为 一( ：) 江2 2 ， 从式子2 2 1 和式子2 2 2 0 0 ，f l 匕够n n e n 的表达式如下： 拈( 1 - 知+ ( 2 2 3 ) 再用r 替换式子2 2 3 的佗，把式子2 2 0 中的蜘也带入式子2 2 3 ，即可得证 证毕 定理2 2 5 薹( 4 尼玲叫j 2 4 k - j _ _ 心妣， 薹( 4 忌一1 ) 心4 卟旷2 妣， 胆，、m 舭触 、l， 1 一e 一 0 4 = 互 理定 州瑚 = 骱 么 那 河南大学硕士学位论文 2 七+ 1 j = o( 4 七了。) ( 一1 ) j 2 4 k - j = ( 舭2 ， 萎( 4 七芎。) 凇舭锄 证明：引入2 2 阶矩阵日。 日= ( 二1a 矩阵日的行列式和迹分别为： 并且有： h l = 2t r ( h ) = 2 日驰= ( 一1 ) 七2 2 七eh 4 m = ( 一1 ) 七2 驰h ，( 2 2 4 ) h 4 矗+ 2 = ( 一1 ) 七2 2 k + 1 ( 日一e ) h 4 七+ 3 = ( 一1 ) 七2 2 k + 1 ( 一日) t ( 2 2 5 ) 利用引理2 0 1 ，若 则 = 警( 聃呐n 肚( y n - y n _ 1 y n - 1 。) 一蜘一1 从式子2 2 4 ，2 2 5 和2 2 7 ，得到 蛳= ( 一1 ) 七2 妣y 4 七+ 1 = ( 一1 ) 七2 2 知+ 1 ， y 4 七+ 2 = ( 一1 ) 七2 2 七十1 y 4 七+ 3 = 0 ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 河南大学硕士学位论文 把式子2 2 6 带入以上的四个式子中，有 薹( 4 尼，j ) 2 4 七一巧c 一2 ，j = c 一1 ，七2 2 七， 薹( 4 忌2 4 k + l - 2 j ( _ 2 ) j - - - 归料1 ， 蕃( 4 ；_ ) 2 4 m 捌弘心2 m ， 萎( 4 七2 4 k + z - 2 j 肛。 化简它们，得到定理2 2 5 定理2 2 6t 为虚数单位，i 2 = 1 ， “n - i ) 纠( 几一斗习1 如= 嘉 证明：取定一矩阵为： 影：f ，圳、 1 i 显然：l 彤l = - i ，且n ( 影) = 2 i 由引理2 o 1 可知，如果 那么 = l 篆n 2 j ( 一k ) 协广驰， 形n = ( ：蜘一艺鲰一，) 1 3 证毕 ( 2 2 8 ) 河南大学硕士学位论文 而且，矩阵彤n 又有以下表达式： 3 2 n = 对比形n 的两种表达式，得 i - h i l i n y n 一1 = 1 几z i i 一扎 k 兰0 ( r o o d4 ) k 兰1 ( r o o d4 ) k 三2 ( m o d4 ) k 三3 ( r o o d4 ) k 三0 ( r o o d4 ) k 三1 ( r o o d4 ) k 三2 ( r o o d4 ) k 三3 ( r o o d4 ) 由式子2 2 8 ， 鼽一t = u n 薹- 1 ) 2 1 ( n 一七k 一1 ( 2 i ) n - 2 k - 1 - - _ 互i c 2 i ，nh n - 1 ) 7 纠( n 一竺一1 ) c 一三，七 故 警( 凡一斗一扣i - h i = i _ _ 2 k - 0 ( r o o d 4 ) = 刍 推论2 2 7i n n 数单& ，i 2 = 1 ， l 篆n 2 j ( k ) c 一卜耀n - 1 ) 7 2 。( 一尼k 。) 一1 归去 证毕 、l _ 、 0 1 夕 0 z 口d 1 吼o 佗 、，、-、 0 o 0 “ 12吧 饥 o m 一 哪 河南大学硕士学位论文 则 2 3 矩阵恒等式 定义2 3 1 两个2 2 阶矩阵r 和q 仇分别有如下定义： r = ( 麓1 乏，) 昕( 一乞。蔓 定理2 3 2 设 r m ，n = q m r，n = r q m ， 日七 一 l m n f q 七 一， 。m ，n 一、 【 q 。棚 ( - 1 ) m + n + 1 e ( - 1 ) m + n + 1 q m + n e ( - 1 ) n q m 一佗 ( 一1 ) 一1 e ( 一1 ) m + l q m n 证明：引入两个公式： k 兰0 ( r o o d4 ) k 三1 ( r o o d4 ) k 三2 ( r o o d4 ) k 三3 ( r o o d4 ) k 三0 ( r o o d4 ) k 三1 ( r o o d4 ) k 兰2 ( r o o d4 ) k 三3 ( r o o d4 ) r + 1 r r r + 1 = ( - 1 ) n r r + 1 矗+ r 矗+ 1 = f m 枷 而且当r = l 时，在第一部分的式子2 1 中，有下面恒等式： 兄一1 r + 1 一砰= ( 一1 ) n ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) 河南大学硕士学位论文 下面主要是利用式子2 2 9 ，2 3 0 和2 3 1 来证明以上定理 = 孙r = ( 一z ，冀) ( 麓1 乏。 n = q 象 j k + 竹一1 一r 枷 r + 1 r r + 1 f m r r + 1 r 一r 一1 + 1 ( - i ) n 一n ( - 1 ) n 一1 j l m n + 1 ff ( _ d 弋一乏二。 ( - 1 ) n q m n r r 一1 r r + r 一1 一1 r + 1 一r 一1 矗 f m + 1 高- i ) n - 甓i ) (f m 一忆 髦)一f m n 一乞。f m r _ 1 ) 一晶+ 1 一r 碟一昂一1 + 1 0 ( 一1 ) m + 1 0 = ( 一1 ) m + l e 贝j 飞m 3 4 m 的表达式为： ( 一乏。f m - i ) r 磅一乏嘏+ 。)r 磅一一f m + 1 0 ( 一1 ) 仇+ 1 q 勤= ( 一i ) m + l q mq 袅= e 1 6 。rr r r针肌船 、l卜晶 晶一 1 叽 叶 = + + b m 一 汁 ，、q r 、1、r 一只 一 n 1 r 卜“b r r 河南大学硕士学位论文 又由 磷= 恢 m = q m r = q m + n 得到定理2 3 2 k 三0 ( r o o d4 ) k 三1 ( m o d4 ) k 三2 ( m o d4 ) k 三3 ( r o o d4 ) s m ，竹= r q m = ( - 1 ) n q m n ， 定义2 3 3 两个2 2 阶矩阵r 和q 。分别有如下定义： f r = i l r + 1 r 而且它们的逆矩阵为： 碍= ( 一1 ) n 定理2 3 4 证明： 刀 ) i f n 。 一乃 i f n + a1 帖( f m + 。麓) ， ( 2 3 2 ) 证毕 啦，m ( 象一= 1 ) q 三一礼q 三+ n = q m - q m + n = ( 一1 ) m n + 1 p 2 n ； q 磊+ n q 三一竹= q m + n q m n = ( 一1 ) m 一几+ 1 磁 q m - q 2 + n = q 三一住q m + 亿= p 2 n ； q m + n q t n = q 三+ n 一n = 磁 靠舰= ( 惫一笔1 ) ( 丧一嚣1 ) 1 7 r 已 一 河南大学硕士学位论文 矗一n r 抑一一“+ 州一n + 一一r 枷 矗一n f m + 卅i f m 一州r 韧r n 韧一晶一州+ n 一1 (-。一11)m，m-一nn-+：f。j2,礼+1。一(-1，1m)m一-n+=-。1fn2f2一。) ( 一1 ) m n + 1 马礼( 一1 ) m n + 1n 一1 ( 一1 ) 一1 = ( 一1 ) m _ 叶1 p 2 n ， 再做矩阵q m n 和矩阵q m 棚的乘积： 胁一( 一笔，髦) ( 一急，冀) 一n f m 相一一+ 州矗一n f m + n 一1 一一f 仇抑 一n f m + 州一矗一州f 仇棚r n 扣一矗一n + 1 f m + ( ：菇二：瓮：1 。三# = 乏二，)、( 一1 ) m n + 1 r n( 一1 ) m n + 1 易n 一1 广州1 ( 一1 ) 一时1 p 2 n 同理可得： q 三一礼q 三+ n = q m - n q m + n = q 三+ 疗q 三一n = q m + n q m 一竹= 注记2 3 5 ( 一1 ) 一1 恳n ( 一1 ) 一时1 磁 q m - n q 三+ 佗= q 三一n q m + 竹= 马n ； q m + n q 三一n = q 三+ n q m n = 磁 q m q ：= q m tq n = r mq m q n = q n t v m t = 1 8 ( 一1 ) m - i r m 证毕 、1i， n 一 足 n足 、l一、 n 一足 第三章二元b e r n o u l l i 多项式 3 1引言 b e r n o u l l i 数玩和b e r n o u l l i 多项式鼠( z ) 的生成函数如下： 西t = 薹玩雨t n ( 0 l 牝2 毗 西t e t z = 薹脚焉 当。= o 时，b n = 风( 0 ) ( 0 i t i o e ( n + 1 ) t 1 e t 一1 3 2 若干二元b e r n o u l l i 多； 定理3 2 1 证明： h 乃j 磁( z ，芗) = s = o( 扎一s 歹) ! s ! 项式的表达式 矿b n 一鲥( z ) 由于b e r n o u l l i 多项式玩( z ) 的生成函数为： o t n t e x t 玩( z ) 五2 西 n = o 。 南切p = ( 0 t 2 丌) 上三。 e t r 0 0 脚焉壹等 n = o。k = o o 掣 、扩町矿b n-sj(z)击南等n=os = o 、一， 一。 n = o 【n j j s = o 【n j j s = o b n - s j ( z ，两t n ( n s 歹) ! s 1 0 i t i 2 7 r 2 0 矿玩一叮( z ) 两t n ， 铲 n 瑚 脚 河南大学硕士学位论文 比较等的系数，即得定理3 2 1 定理3 2 2 设a 为任意非零整数，则 髟( a x ，y ) 证明： 口一1h 力j = k = os = o 妻础秒焉= n = o 。 其中 ( 扎一s 歹) ! s ! 三e t + ；【1 e ” 1 = av a t 1 1 = n 0 - - 1 k = o 圹。几一巧一1 鼠一。j ( 蚪石k ) e 石e n t 了- 1 e e a t 1 e ( 蚪：) 。 。o a = o 嘶+ 鲁) 箐 0 0a 一1 【n j j n = ok = os = o 比较等的系数，有定理3 2 2 y 5 t 阳 8 1 o o 玩一蚪鲁) ( 凡一s j ) ! s 1 0 2 7 r n 定理3 2 3 设a 为任意非零整数，则 a 一1 【n j j 磁( z ，可) = k = os = o( n s j ) ! s 1 2 1 y 8 t 8 3 81 q p 一8 3 t 饥一s 3 ( 礼一s j ) ! s ! 证毕 咖俨俨1 玩一舛瓣 咖铲沪1 鼠一掣) 证毕 枷 脚 “脚 1 一。 删1 脚“脚 1 0 河南大学硕士学位论文 证明： 0 0 磁( 删币t n ：西t 州j圣磁( 删币2 西e 越切 te a t 1 其中 e a t 1e t 1 e a t 1 三薹 三萎 k = o 。o n = o e 疵+ n 一1 re k t q - x t + y t j j ：一 k = o a t e a t 1 a - 1l n j l ff t - r k - - - - os - - - - o 比较等的系数，得定理3 2 3 e ( 学) a t e y t p 、dp 玩一半) ( n s 歹) ! s 1 0 i t l 一2 7 1 a a n s j t n 一8 ( n s 歹) ! s ! 咖卜沪1 鼠一学) 筹， 证毕 注记3 2 4 在定理3 2 2 定理3 2 3 中，令a = 1 ，都可以得到定理3 2 1 的 结论 定理3 2 5 证明： 风( z ) = 0 0 眦焉 n - - - 0 掣掣s ( 叩，z ) m + 1 。、7 t e x t e t 一1 口z t 2 南【一1 n ( 1 一( 1 一e 2 ) ) 】 2 2 孚 脚 翌刑坐口 r玩 脚 删枷脚“脚 1 0 n 删 河南大学硕士学位论文 其中 m = o ( 1 一e 。) 叶1 m + 1 妻鬻 m = o 。 ( - 1 ) 仇m ! e x te 一1 ) m m + 1 掣妻跏，m ，z 焉m + 1 厶一 、7 7 7n ! = 薹0 0 塞掣跏删筹， 比较砉的系数，得定理3 2 5 定理3 2 6 b j l0 0 碟( 删) = s = om = o 证明： 0 l tj 2 7 r ( 一1 ) m m ! m - f1 b ：( 训) 筹= ( n s j ) ! s ! 生一e 卅可 e t 一1 。 y 8 s ( 佗一鲥，m ，z ) = 篙川1 _ ( 1 ) ) e z t e y t f ，一 m = o ( 1 一e ) m m + 1 e 证毕 一一 删 嵴 删 型卜 | | 坐 等 矿一 型1甓 一 河南大学硕士学位论文 其中 = 三o o 丽( _ 1 ) m m ! 三跏删等薹孚 = 薹篓薹署万乌两拶c n 一巧m z b t n 比较等的系数，得定理3 2 6 定理3 2 7 跏川= 壹k = o 警s = o ( z ) 、， 其中 证明： n = o磁y ) 筹= 0 i t i 2 7 r ( k s 歹) ! s !y s a n - k - 1 瓯一叮( 。一1 ) 玩一 l _ e 褂掣 e t 一1 。 六箸 三l ( 扣呈：! e ae a t 一1 。e t 一1 。 三薹 三薹 风( 一x ) 可a n t n an ! 协b ( 五x ) 百a n t n k = o 跏_ 1 ) 蔷 y 8 t 8 3 81 djj(口-1)芒蔷s=o 瓯一町( 口一1 ) 彘若 、。j ，一 。 三薹砉( 弦喊篓 ( k s j ) ! s ! ( k s j ) ! s !鹏一n - 1 ) 写 证毕 圹。心一1 s k - s j ( 口一1 ) 玩一七( 云x ) 习t n ， 脚 脚 、 似u m 枷n 脚脚 打i 丝 l0 河南大学硕士学位论文 比较砉的系数，得定理3 2 7 定理3 2 8 砩( z ，可) = 证明： 妻磁焉： 彬 n = o 磁( 啪) 嘉2 e t t - 1 埘 其中 e x t + y t ， 1 一e o e x t + y t j 1 一e = e x t + y t j 比较暑的系数，得定理3 2 8 ( 加佗咄m 煳砌) 【一i n ( 1 一( 1 一e ) ) m 壹- - - - o 等掣 至0 0 紫 i t , ”七 薹跏 仇) 而磁( 刎) 吾 0 i t i 2 7 r 证毕 ( 加川毗m 磊， 证毕 仇一1严l +兰m n 脚 删 m 一1 p 一+兰m 删 m 一1 严| +兰m 删n 脚 脚 = 第四章广义的e u l e r 多项式 4 1 引言 定义4 1 1 2 0 ，2 1 】 妻剐) t n ：西t e x t ( 。 i t l 2 毗圣玩 n r 西( o 2 丌) ， o o 驰) 筹= 可2 e x t ( 0 并且a b j 义的b e r n o u l l i 数玩( n ，6 ) 被 定义为： 薹晰r ) 矿t - 而t 7 0 砷l 高南) 鼠( 。，v 矿而 0 ，a b w ，= 潞塞( z ) 等等风 2 6 河南大学硕士学位论文 其中 4 2 若干广义的e u l e r 多；项式的性质 定理4 2 1 设口，b ，c 0 ，a b ，n 0 ，则 嘶 c 一凡妻k = 0 ( z ) 等鼠( 怒酱) 证明：利用定义( 4 1 2 ) 得 o o 哳 6 jc ) 嘉：b ( o ，6 ，c ) 嘉= n = 0 2 c t 6 舭一口4 0 b 4 t a 4 tb 2 t + a 2 t 2 e t ( 1 n c 41 na ) e 4 t ( 1 n b i n a ) 1 b 2 t + a 2 t e 2 t i n a ( e 2 她6 1 n d ) 一1 ) 4 t ( 1 nb i na ) e 4 t ( 1 n 6 山a ) 播音端e 2 t ( i n6 - l n 口) 一1 e 4 t ( 1 曲一1 n 口) 一1 2 t ( 1 n b i n a l ，耋三b n 4 1 ”( 1 n “b - 。1 1 n ”a “) 4 ( 1 n b - l n a ) 】n ；三薹 2 ( 1 n b - l n a ) 】 薹熹鼠( 舞酱) 瞰l n b - l n a 胪等 2 ( 1 n b 一1 n n ) 】俨七 t n 一七 ( n k + 1 ) ! z 薹2 n 砉( z ) 等鼠( 蔷等) 嘉， 0 i t i 0 ，a b ，n 0 且m z + ，则 卧) 6 ic ) = 票 2 m 一1 n d = o 七= 一1c 叫( 加咿“ 七t 七 ( k + 1 ) ! ， 、。7 k + l 一 ，1 nc21 nalll c - - i i i 、 ( h 卜h 。) n 南风一七l 硕碉夕 2 7 证毕 河南大学硕士学位论文 其中 证明： 运用定义( 4 1 2 ) 有 n = o卧1 6 ，c ) 荔= 2 d2 e t ( 1 n e - 2 i n a ) b 2 t 4 - a 2 t e 2 t ( 1 n b 一1 n n ) + 1 1 4 m t ( 1 nb i na ) 2 m t ( 1 n b l n a le 4 m t ( 1 n6 1 n n ) 一l 2 r o t ( 1 n b l n a ) 。丽l n c l n - 。2 1 na d4 r n t r 、l nb i nain p 4 m md 一8 j 、 薹0 0 玩( 端) 堕学窆( - 1 ) 螂小 n ! 台r 7 。 1 r 0 0 一) m 厶 n = o 2 m 一1 ( 鼠( 祟) 幽等垃 一1 1 j + 1 j = o 2 m 一1 厂厂 - t 二0 n = oj = o n - 4 - 1 o 。 j 鼬2 1 ( 1 n b k = o 玩一七 七= 一1 山n ) m 百t k - 1 ，一lnc-21na)4m(1nb i n a ( 一1 ) 歹m 、， ， 2 2 n - k m n 一知一1 ( 1 nb i na ) n 俨一kt k ( n 一尼) ! ( k - 4 - 1 ) 七! 丽2 n 刍o o2 缶m - 1 菖n + l ( 一1 ) ( 一k ) ( 1 n b - l n a ) 竹丽各刍兰( 一1 ) 什1 ) 竹 伽广七茄( 器) 等， 0 j t i 0 ，a 6 且m 0 ，则 ba ，b ，c ) ) e 4 删( h 6 - h ? = 2 n m 壹= o 壹k = o ( 三) ( 仃l m ) c n ， e 2 t ( 1 n b l n a ) + 1 2 , “- k ( 1 n c - 4 - 2 i n n ) 七( 1 n b i n a ) n + 1 ( 几一m 一七- 4 - 1 ) ( 1 nb l na ) m + 七 2 8 证毕 河南大学硕士学位论文 其中 证明： 利用定义( 4 1 2 ) 得 晰，6 c ) 荔= 2 c t b 2 t + 9 2 t 妻玩( 口6 ) 可4 , , t r 三o o ( h c + 2 1 n a ) m 等妻2 七堕掣等 玩( 口，6 ) 可( h 1) m 焉2 七坚车岩坐吾 n = 0m = 0 k = o ”1 ” w 炉n 等薹薹( 护“ 风( 。，6 ) 2 2 n 嘉( ：) 2 一七 ( 1 n c + 2 i n a ) 七甓群罴 n仇 n = o m = ok = o( 三)( n 二m ) c i n c + 2 i n a ) 七 ( 1 n b i n a ) n m 一七+ 1 n m k + 12 n + m - k b m 6 ) 筹， 0 0 ，a b ，佗0 且z 0 ， 蜘= 端薹 证明： 依然利用定义( 4 1 2 ) 得 d d x 2 = 其中 zb 2 t + a 2 t 2t x tb 4 t a 4 t 2 t x t 1 b 2 t + a 2 t xb 4 t 0 4 6 2 0 + n 2 0 昙型! 竺芸( e 2 t ( 1 n n 0 ) 一1 ) ze 4 t ( 1 n b - i n a ) 一1 、。 7 z 4 t ( 1 nb i na ) ( 护鼠( 箍嵩) 4(1nb-ina)e4t(1矿nb-lna)踹妻2七(1nb-lna)七西tke4t(1nb-in口) 一1白。7 七! 三薹玩( 器蔷) 铲c l n b - l n a ，n 等争1 c l n b - l n a 广1 丽t k 黜量( 妒鼠y ) k 一 厶=o、七。lnx-21na2x(1nb i n a )4 ( 1 n b) 0 i t i 比较二项式系数砉，得定理4 2 6 7 r 2i nb i na | t 几 n ! 证毕 脚 河南大学硕士学位论文 其中 定理4 2 7 鼠( 。j 6 ) = 壹( z ) 2 眦吼( 。1 6 ) b 一。朋 k = 0 、7 证明： 由定义( 4 1 2 ) 和定义( 4 1 3 ) 有 三一，。护4 一t 玩( 。，6 ) 4 n 嘉= 萨可 2 t2 ：= = 一一 6 2 t 一口2 t6 2 + 口2 0 = 风( q ，6 ) 2 n 嘉玩( 。，6 ) 吾 n - - - o。k - - - - o 。 = 妻n = o 妻k = o ( 妒酏6 刚咖焉 o i 亡j 南 比较二项式系数砉，得定理4 2 7 证毕 参考文献 1 p j b l a t z ，o nt h ea r b i t r a r yp o w e r o fa na r b i t r a r y ( 2 2 ) 一m a t r i x ( i nb r i e fv e r s i o n s ) t h ea m e r i c a nm a t h e m a t i c a lm o n t h l y , v 0 1 7 5 ，n o 1 ( j a n ，1 9 6 s ) ，p p 5 7 - 5 8 2 e j a c o b s t h a l ，f i b o n a c c i s c h ep o l y n o m eu n dk r e i s t h e i l u n g s g l e i c h u n g e n s i t z - u n g s b e r i s c h t ed e rb e r l i n e rm a t h g e s e l l s c h a f t ，1 7 ，( 1 9 1 9 2 0 ) ，4 3 - 4 7 3 h a n ss c h w e r d t f e g e r ，g e o m e t r yo fc o m p l e xn u m b e r s m a t h e m a t i c a le x p o s i t i o n s ，n o 1 3u n i v e r s i t yo ft o r o n t o np r e s s ，t o r o n t o1 9 6 2x i + 1 8 6p p 4 】k e n n e t hs w i l l i a m s ，t h en t hp o w e ro fa 2x2m a t r i x ( i nn o t e s ) m a t h e m a t i c s m a g a z i n e ，v 0 1 6 5 ，n o 5 ( d e c ，1 9 9 2 ) ，p 3 3 6 【5 】5 j a m e sm cl a u g h l i n ，c o m b i n a t o r i a li d e n t i t i e sd e r i v i n gf r o mt h en t hp o w e ro fa 2x2m a t r i x ，i n t e g e r ：e l e c t r j c o m b i n n u m b e rt h e o r y4 ( 2 0 0 4 ) a 1 9 【6 】s e r g i of a l c 6 n ，i n g e lp l a z a ，o nk - f i b o n a c c is e q u e n c e sa n dp o l y n o m i a l sa n d t h e i rd e r i v a t i v e s ，c h a o s ，s o l i t o n sa n df r a c t a l s ( 2 0 0 7 ) d o i ：1 0 1 0 1 6 j c h a o s 2 0 0 7 0 3 0 0 7 7 s t a k h va ，r o z i nb t h e o r yo fb i n e tf o r i r “a sf o rf i b o n a c c ia n dl u c a sp - n u m b e r s c h a o s ，s o l i t o n s f r a c t a l s2 0 0 6 ；2 7 ( 5 ) ：11 6 2 7 7 8 【美】1 o n a l dl g r a h a m ，d o n a l de k n u t h ，o r e np a t a s h n i k 著，具体数学， 机械工业出版社，英文版第二版 9 】g a b r i e l l ab r e t t i ，p i e r p a o ln a t a l i n i ，a n dp a o l oe r i c c i ，g e n e r a l i z a t i o n so ft h e b e r n o u l l ia n da p p e l lp o l y n o m i a l s ，a b s t r a c ta n da p p l i e da n a l y s i s2 0 0 4 ：7 ( 2 0 0 4 ) 6 1 3 - 6 2 3 1 0 】p a p p e l la n dj k a m p dd ef d r i e t ，f u n c t i o n sh y p e r g d o m 百t r i q u e se th y p e - r s p h d r i q u e s p o l y n 6 m e sd h e r m i t e ，g a u t h i e r v i l l a r ，p a r i s ，1 9 2 6 【1 1 】g d a t t o l i ，p e r i c c i ，a n dh m s r i v a s t a v a ，t w o - i n d e xm u l t i d i m e n s i o n a lg e - g e n b a n e rp o l y n o m i a l sa n dt h e i ri n t e g r a lr e p r e s e n t a t i o n s ，m a t h c o m p u t m o d - e l l i n g3 7 ( 2 0 0 3 ) ，n o 3 4 ，2 8 3 - 2 9 1 3 2 河南大学硕士学位论文 【1 2 】h w g o u l da n da t h o p p e r ，o p e r a t i o n a lf o r m u l a sc o n n e c t e dw i t ht w og e n - e r a l i z a t i o n so fh e r m i t ep o l y n o m i a l s ，d u k em a t h j 2 9 ( 1 9 6 2 ) ，5 1 6 3 1 3 】h m s r i v a s t a v aa n dh l m a n o c h a ，at r e a t i s eo i lg e n e r a t i n gf u n c t i o n s ，w i l e y ，n e wy o r k ，1 9 8 4 1 4 】g d a t t o l i ，s l o r e n z u t t a ，a n dc c e s a r a n o ，f i n i t es u n l sa n dg e n e r a l i z e df o r m s o fb e r n o u l l ip o l y n o m i a l s ，r e n d m a t a p p l ( 7 ) 1 9 ( 1 9 9 9 ) ，n o 3 ，3 8 5 3 9 1 【1 5 】b n a t h ，ag e n e r a l i z a t i o no fb e r n o u l l in u m b e r sa n dp o l y n o m i a l s ，g a n i t a1 9 ( 1 9 6 8 ) ，n o 1 ，9 1 2 【1 6 】l c a r l i t z ，w e i g h t e ds t i r l i n gn u m b e r so f t h ef i r s ta n ds e c o n dk i n d si ，f i b o n a c c i q u a r t 1 8 ( 1 9 8 0 ) ，1 4 7 1 6 2 1 7 】l c a r l i t z ，w e i g h t e ds t i r l i n gn u m b e r so ft h ef i r s ta n ds e c o n dk i n d si i ，f i - b o n a c c iq u a r t 1 8 ( 1 9 8 0 ) ，2 4 2 2 5 7 1 8 p p d b e n b o i m ，m yn u m b e r s ，m yf r i e