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文档简介

20120703数学竞赛讲座1.不等式 的解集是 。2.已知面积为1的的外接圆半径等于1，那么长为的三条线段组成的三角形面积是 。3.关于的不等式的解集是 。 4已知正数满足，那么的最小值是 。5.满足的所有正整数对 。6.函数的最大值是 。7.已知集合对这个集合的每一个非空子集计算其所有元素的积，那么这些积的和等于 。8.函数 的值域是 。9.若是方程的三个根，那么 。10.在正中，是其圆心，过作一条分别交边于点,若 则的值等于 。11.已知常数，求证：集合中必存在四个不同的自然数,满足。 12求出方程 的所有正整数解。13. 已知是正实数，满足，求的最小值。14.已知锐角的内切圆与边切于点，点是锐角高的中点，直线与圆的另一个交点是，证明：圆与的外接圆相切于点。答案1. 2. 由于，所以长为的三条线段组成的三角形的面积等于 。3. 即 4 ，当且仅当时等号取到。5. 因为当时，而或或，所以即或。6. 设等号可以取到，所以函数的最大值为7. 这些积的和等于8. 设则即9. 是方程的三根，由韦达定理得。10. 连结并延长交于点，又连结，设则，由角平分线定理得而截,所以即所以11.证明：设是满足的最小自然数，下面只要证明都在集合中即可。由于，所以12解：先设 ，若，则不可能；若则，所以 若则，即，所以或，此时这是不可能的。此部详细证明：时，均为相邻整数积。所以。又，且所以或得或所以，或取较小植得，得所以代入原式得，上式左边为4的倍数，右边为2的倍数不可能。所以或13.解：因为证明：构造个小直角三角形（以为两直角边，再以为两直角边，如此下去。所有的小直角三角形有一个直角顶点相连。）再以为两直角边由于而在上单调减，所以当时等号成立。14. 证明：设的外接圆的圆心是点，作，分别延长
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