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1 基础拓扑学讲义 部分习题解答二 基础拓扑学讲义 部分习题解答二 P 28 Ex1 设 fXY 是映射 下列条件是等价的 1 fXY 是连续映射 2 若 是Y的一组拓扑基 内每个成员的反像 为X的开集 3 f Af A 对于X的任意子集A 4 11 fBfB 对于Y的任意子集B 5 Y内任意闭集的反像为X的闭集 证证 1 2 5 1 书本上定理 1 1 已证 2 3 设A为X的子集 显然 f Af A 因此只 需证明若xAA 则点 f x为 f A的聚点 事实上 设 N是 f x在Y中的一个邻域 我们可以找到 内的开集B 使得 f xBN 集合 1 fB 是X的开集 从而是x的一 个邻域 但xAA 故 1 fB 必含有A的点 因此B含有 f A的点 从而N含有 f A的点 故 f x为 f A的聚点 3 4 由 3 得 11 f fBf fBB 于是有 11 fBfB 4 5 设B是Y的闭集 因 111 fBfBfB 2 故 1 fB 是X的闭集 Ex2 设B是Y的子集 i BY 是包含映射 fXB 是一映射 证明f连续 ifXY 连续 证证 因i和f均连续 故 ifXY 连续 设V是B的开集 因B是Y的子集 故存在Y的 开集U 有 1 VUBiU 而if 连续 故 1111 ifUfiUfV 是X的开集 所以f连续 Ex3 若 fXY 是同胚映射 AX 则 fA AY 是 嵌入映射 证证 只需证 fA Af A 是同胚映射 而 fA一一 显然 fA跟它的逆映射的连续性由上题可以得到 Ex7 设 fXY 是满的连续映射 其中X是可分的 证明Y也是可分的 证证 因X是可分的 故存在X的可数稠密子集A 有 AX 而f是满的连续映射 由第 1 题的 2 可知 f Af Af XY 于是Y也是可分的 P 29 3 Ex8 证明恒等映射 Cf id 是连续映射 但 不是同胚映射 证证 因 fC 故 f 中的任何一个开集都是 C 的开集 因此 Cf id 是连续映射 而 fC 从而 1 id 不连续 于是id不是同胚映射 Ex9 规定 11 0 1 fEE 为 0 1 1 xx f x xx 将它作为 2 的子空间 Y 则投射 p XYx yx 是开映射但不是闭映射 因为X是闭集 但 0 p X 不 是 的闭集 4 例例 2 闭映射不是开映射 1 1 r 规定为 1 0 1 1 1 x r xx x x 0 当 0 xxd时
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