高中几何基础.doc

立体几何初步1.棱柱、棱锥和棱台 2 圆柱、圆锥、圆台和球3.中心投影和平行投影三视图：主视图（从前向后）；左视图（从左向右）、俯视图（从上向下）主视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； 长对正俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度； 高平齐左视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度； 宽相等 已知几何体的三视图时，通常以正方体为载体画出该几何体的直观图.4.直观图画法斜二测画法：原来与x轴平行的线段仍然与x轴平行且长度不变；原来与y轴平行的线段仍然与y轴平行且长度为原来的一半.空间几何体的表面积:1.柱体,锥体,台体的表面积公式: (1).直棱柱的侧面积:;(2).棱锥的侧面积为: .(3).正棱台的上,下底面的周长分别为,斜高为,侧面积是:.2.柱体,锥体,台体的体积公式:(1), ,其中为底面面积,为柱体的高;(2) (3) 2. 球体的表面积和体积公式V= ；S=3. 若多面体的表面积为S，内切球的半径为R , 则该多面体的体积点、线、面关系1. 点与平面的关系： ； 点与直线的关系： Al； Al；直线与平面的关系： ； 2. 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.（即直线在平面内，或者平面经过直线）用符号语言表示公理1：3. 公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；经过两条相交直线，有且只有一个平面；经过两条平行直线，有且只有一个平面.公理2及其推论作用：它是空间内确定平面的依据； 它是证明平面重合的依据4. 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线若平面和平面相交，交线是l ，记作.用符号语言表示公理3：P, P且 Pl.公理3的作用：它是判定两个平面相交的方法；它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系, 即交线必过公共点；它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据.三典型例题例:判断下列命题的真假:(1)平面的开关是平行四边形;(2)任何一个平面图形都是一个平面;(3)两个平面叠起来比一个平面厚;(4)因为平行四边形的面积大于平行四边形的面积,所以平面大于平面线线关系在空间中,直线与直线间存在着三种位置关系:相交,平行,异面;1. 异面直线所成的角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线aa，bb，则把直线a 和b 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角.两条异面直线所成角的取值范围是（0，90.若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直.三典型例题例1:是所在平面外一点,分别为和的重心,求证:.例2:空间四边形中,的中点分别为,且,则和所成的角为 .例3.空间四边形,分别为的中点,若异面直线和成的角,求的长度.线面关系1. 三种位置关系:(1)直线在平面内有无数个公共点;(2)直线不在平面内（即直线在平面外）：相交只有一个公共点；平行没有公共点；三种位置关系的符号表示：； ； a .2. 直线与平面平行的判定定理和性质定理判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行, 则该直线与此平面平行. 线线平行 线面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.线面平行线线平行3. 直线与平面垂直的判定定理和性质定理判定定理：若一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面. 线线垂直线面垂直性质定理：如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线. 线面垂直线线垂直 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.4. 直线和平面所成的角:平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.直线和平面所成角的取值范围是0，90.典型例题(证明线面平行与垂直;求线与面所成的角面面关系1. 两平面平行的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（线面平行面面平行）；如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行.（线线平行面面平行）；垂直于同一条直线的两个平面平行；性质定理： 如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行；（面面平行线面平行）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行；（面面平行线线平行）2. 两平面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.（线面垂直面面垂直）性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面.（面面垂直线面垂直）3. 二面角和二面角的平面角二面角的定义：从一条直线l出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作.二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角. 二面角的取值范围 0, 180 ， 平面角是直角的二面角叫直二面角.直线方程的几种形式名称方程的形式已知条件局限性点斜式为直线上一定点，k为斜率不包括垂直于x轴的直线斜截式k为斜率，b是直线在y轴上的截距不包括垂直于x轴的直线两点式且是直线上两定点不包括垂直于x轴和y轴的直线截距式a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距不包括垂直于x轴和y轴或过原点的直线一般式A，B，C为系数无限制，可表示任何位置的直线注：过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定。（1）若x1= x2且y1y2，直线垂直于x轴，方程为；（2）若，直线垂直于y轴，方程为；（3）若，直线方程可用两点式表示）2、线段的中点坐标公式若点的坐标分别为，且线段的中点M的坐标为（x,y），则此公式为线段的中点坐标公式。三、直线的交点坐标与距离公式1.两条直线的交点设两条直线的方程是，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。2.几种距离（1）两点间的距离平面上的两点间的距离公式特别地，原点O（0，0）与任一点P（x,y）的距离（2）点到直线的距离点到直线的距离；（3）两条平行线间的距离两条平行线间的距离注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；（2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。四、两条直线的位置关系2、点到几种特殊直线的距离（1）点到x轴的距离。（2）点到y轴的距离.（3）点到与x轴平行的直线y=a的距离。（4）点到与y轴平行的直线x=b的距离.常见的对称问题：（1）中心对称若点及关于对称，则由中点坐标公式得直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用，由点斜式得到所求直线方程。（2）轴对称点关于直线的对称若两点关于直线：Ax+By+C=0对称，则线段的中点在对称轴上，而且连接的直线垂直于对称轴上，由方程组可得到点关于对称的点的坐标（其中）直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行。2圆的方程圆的标准方程圆的一般方程方程圆心坐标（a,b）半径r注：方程表示圆的充要条件是3点与圆的位置关系已知圆的方程为，点。则：（1）点在圆上：；（2）点在圆外：；来源:（3）点在圆内：。二、直线、圆的位置关系1直线与圆的位置关系位置关系相离相切相交公共点个数0个1个2个几何特征（圆心到直线的距离，半径）代数特征（直线与圆的方程组成的方程组）无实数解有两组相同实数解有两组不同实数解注：在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆台上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条，谨防漏解。2圆与圆的位置关系位置关系外离外切相交内切内含公共点个数0121来源:0几何特征（圆心距，两圆半径，）来源:学&科&网代数特征（两个圆的方程组成的方程组）无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解以为直径的两端点的圆的方程为注：在求圆的方程时，常用到圆的以下必修性质：（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上；（2）圆心在任一弦的中垂直上；（3）两圆心或外切时，切点与两圆圆心三点共线。直线和圆的位置关系的判定有两种方法（1）第一种方法是方程的观点，即把圆的方程和直线的