数列与级数(数学实验).doc

数 学 实 验 实验报告4.doc学院：数学与信息科学学院班级：00000000000（1）班姓名：张 00000000000学号：20000000000000000000 实验 四 数列与级数一.实验目的1.复习和巩固数列和极限的相关基本知识。2.在本试验中，主要通过计算机图示的方法来帮助我们发现数列与级数的规律及其极限行为。以Fibonacci数列、调和级数以及3n+1问题为例来探讨上述问题。3.通过上机实验增强自己的动手实验能力和学术创新精神。二.实验内容1.Fibonacci数列。2.调和级数。3. 3n+1问题三.实验准备及过程极限概念是微积分乃至整个数学分析中最重要的基本内容之一。远在公元前3世纪，古希腊人阿基米德就采用了数列的思想来计算曲边三角形的面积。在本试验中，将通过计算机发现数列与级数的规律及其极限状态的性质。所谓一个无穷数列是按一定顺序排列的一串数字， （1）而一个无穷级数则是无穷项数字构成的和式=+。 （2）数列与级数有密不可分的关系。给定一个无穷级数（2），它唯一地确定了一个无穷数列。，其中=+ ，n=1，2， 。反过来，给定一个无穷数列（1），它也唯一地确定了一个无穷级数 ，这里，n=2,3,。并且，无穷级数的和就是相应的无穷数列的极限。因此，无穷数列与无穷级数是可以相互转化的。给定无穷数列，人们最关心的问题是（1）数列有什么规律与性质？（2）当时，数列的极限是什么？（3）极限是否是一个有限的数字？还是无穷大？抑或根本不存在？（4）如果极限是无穷大，那么它趋于无穷大的阶是多少？（5）如果数列的极限根本不存在，那它在无穷大时的极限状态又怎么样？对于给定的一个无穷级数，也可以提出上述类似的问题。在本试验中，我们将通过计算机图示的方法来帮助我们发现数列与级数的规律及其极限行为。我们将以Fibonacci数列、调和级数以及3n+1问题为例来探讨上述问题。1. Fibonacci数列 给定如下的数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89，其递推关系式由 =+, n=1,2,=1,=1 （3）给出。该数列被称为Fibonacci数列。Fibonacci数列经常以著名的养兔问题提出来。某人养了一对兔子（公母各一只）。一个月后，这对兔子生了一对小兔，以后每月，每对成熟（即一月以上）的兔子都生育一对小兔。假设兔子不会死亡，问一年后总共有多少对兔子？显然，问题的答案就是数列的第十二项。为考虑Fibonacci数列的极限与规律，我们用计算机计算出Fibonacci数列每一项的值，并在二维平面上画出顺次连接点（n, ）,n=1,2,N的折线图，其中N是一个大整数。分别取N=20,50,100,200,500，观察Fibonacci数列的折线图。Fibonacci数列是否单调递增？它是否趋于无穷？它增加的速度是快还是慢？你能否证实你的观察？利用公式（3），容易得到 3/2=+2。 （4）因此，的阶应该在与之间。为进一步研究Fibonacci数列的特性，我们将取对数（本实验中对数均指自然数），在直角坐标系中画出顺次连接点（n,）,n=1,2,N的折线图近乎于一条直线。因此，我们猜测是n的线性函数，取N=1000，对上述数据进行拟合可得-0.803903+0.481211， （5）故 0.447567。 （6）分别取N=2000.5000.10000，用直线去拟合数据（n,），n=1,2,N,由此求数列的近似表示。注意观察的线性项的系数，它与黄金分割有何关系？由计算机观察到上述结果我们似乎可以猜到数列的通项具有形式 =c, （7）将上式代入递推公式（3）得 =r+1, （8）从而r=（1）。因为数列趋于无穷。故取r=（1）。于是 =c （9）然而，公式（9）并不满足= =1，即并非数列的通项公式。不过，它依然是数列的主项。为进一步得到Fibonacci数列的通项，我们构造数列 = -c,可得数列仍然满足递推公式（3）.因此我们猜想，数列的通项也具有形式 =，其中也满足方程（8），故r=1。这样，我们得到Fibonacci数列的通项的一个新的猜想 =c+，由条件= =1确定出c=1/,=-1/,从而我们得到 = （10）这样，Fibonacci数列趋于无穷的阶为。2.在Mathematica环境中实现（1）画Fibonacci数列折线图的函数。（2）用直线去拟合（i,），i=1，2，。的函数（3）演奏Fibonacci数列的函数2. 3n+1问题3n+1问题的提法是：人给自然数n，如果n是偶数，则将n是奇数，则将n乘3加上1.重复上述过程得到一个无穷数列。例如： 上述数列可递归地定义为 对于初始值n=1,2,3,4,5。相应数列是 对于任意的初始值n，情况会如何呢？未作以下的实验。练习11编写一个产生数列的程序，对任意输入的初值n,观察从n开始产生的数列最后是否能落于的循环中？数列在落于循环前，有没有什么规律？3n+1问题起源于20世纪50年代，又称为Syracuse猜想，角谷猜想，Collatz问题，Hasse算法问题，Ulamw问题，Thwaites猜想等等，目前有人验证，猜想仍然成立。 再做进一步分析之前，我们做一些简单的分析.对n=有 对为奇数有 因此，我们只需要对奇数进行分析。另一个有意义的观察是：如果对每个n, 数列中有某一项小于n, 则猜想成立。同时可以发现，3n+1问题与下列问题是等价的： （1）所有航班的航程有限； （2）所有航班的保持高度航程有限； （3）对所有n, E(n)有限； （4）对所有n, O(n)有限。四. 实验总结本试验对数列和极限进行上机实验和探究，主要通过Fibonacci数列