数学建模-渡江问题.doc

数学建模 渡江模型 学院：仪电学院 姓名：* 学号：* 2010.01.02题目：渡江模型“渡江”由于水情、水性的不可预测性，这种竞赛更富有挑战性和观赏性。2002年5月1日，抢渡的起点设在武昌汉阳门码头，终点设在汉阳南岸咀，江面宽约1160米。据报载，当日的平均水温16.8, 江水的平均流速为1.89米/秒。参赛的国内外选手共186人（其中专业人员将近一半），仅34人到达终点，第一名的成绩为14分8秒。除了气象条件外，大部分选手由于路线选择错误，被滚滚的江水冲到下游，而未能准确到达终点。假设在竞渡区域两岸为平行直线, 它们之间的垂直距离为 1160 米, 从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为 1000米，见示意图。请你们通过数学建模来分析上述情况, 并回答以下问题: 1. 假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，且竞渡区域每点的流速均为 1.89 米/秒。试说明2002年第一名是沿着怎样的路线前进的，求她游泳速度的大小和方向。如何根据游泳者自己的速度选择游泳方向，试为一个速度能保持在1.5米/秒的人选择游泳方向，并估计他的成绩。2. 在（1）的假设下，如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游, 他(她)们能否到达终点？根据你们的数学模型说明为什么能游到终点的人数的百分比如此小；给出能够成功到达终点的选手的条件。3. 若流速沿离岸边距离的分布为 (设从武昌汉阳门垂直向上为 y轴正向) ： 游泳者的速度大小（1.5米/秒）仍全程保持不变，试为他选择游泳方向和路线，估计他的成绩。4. 若流速沿离岸边距离为连续分布, 例如 或你们认为合适的连续分布，如何处理这个问题。5. 用普通人能懂的语言，给有意参加竞渡的游泳爱好者写一份竞渡策略的短文。6. 你们的模型还可能有什么其他的应用？ 模型解答一 基本模型建立符号约定：水速为 v0垂直于岸边的距离为d平行于岸边的位移为s人的速度为v出发方向与河岸平行方向夹角为整个运动时间为t 起点至终点的直线距离为 如图所示： 终点起点v0sdv若人要恰好从起点到达终点，则有：二模型假设1不考虑温度及水中除水速外其他因素对选手速度的影响；2开始人以某一初速度沿固定方向向对岸游，则只要满足人刚到达对岸的地点在终点的上游，就可以认为此人能够到达终点；3. 在开始时所有选手向各个方向起跳的机率相同。（的范围是）三模型分析1.问题一分析：.分析2002年冠军的游泳速度的大小和方向： 由于在游泳过程中水流速度，游泳速度的大小和方向始终不变，因此第一名的路线为从起点到终点的最短距离即直线距离。在这个条件下可以得出： .分析=1.5m/s的人所应选择的游泳方向及用时计算2.问题二分析： 若游泳者始终以和岸边垂直的方向游，则模型可简化为：但2009年 罗马世锦赛，张琳以7分32秒12获得男子800米自由泳冠军，并打破世界纪录，他的平均速度为1.72，由此可以看出若游泳者始终以和岸边垂直的方向游所需的速度大于目前为止世界上人们所能达到的最大速度。显然这是不成立的，因此可以得出结论：若游泳者始终以和岸边垂直的方向游，则无法到达终点。考虑成功到达终点的概率时，我们只需研究某一合理速度。我们假设=1.5m/s为所有选手的普遍速度。由模型假设3可知，若选手可以到达终点，则模型应满足的条件是： 比赛结果成功人数很少的原因很大可能就是选择角度不对，所以能够成功到达终点的选手的条件即为模型的条件，即：3.问题三分析当水流速度分段分布时，研究游泳方向的问题由于水流速度永远只沿平行河岸方向，因此竖直方向速度永远等于，所以人在竖直方向保持匀速直线运动 根据以上图示和模型可列出方程组：代入数据可得：从而可以得出： 因为要用最少的时间到达终点，所以取T=5.8=784.5s，所以方向为与平行河岸方向夹角为，经历总时间为784.5s4. 问题四分析当水流速度呈线性变化时，研究游泳者的速度和方向当游泳者的游泳方向始终保持不变时:在水平方向，当，水流速度呈线性变化： 在竖直方向，游泳者始终保持匀速：根据模型，则有：代入各数据可得：根据题设，取一合理范围内的速度值，即当=1.5m/s时，代入模型可求得： 即以上两种情况可恰好到达终点。游泳者的游泳方向随着水流速度的线性变化而变化时:假设人的游泳速度（如1.5m/s）始终沿垂直河岸方向时，可以求得到达对岸的时间约为733.3s，但在水平方向的位移为1459.2m1000m，因此无法到达终点。将多出的459.2m平均分配到应水平游过的1000m中，即将原水平方向每一点的速度都变为原来的，可导出，当时：时的情况同理可以求出从而可以画出y关于x的图象即游泳的实际路线图如右所示。对于游泳者来说，他的游泳速度方向相当于根据自己所在的y值而时刻改变，当y=0时方向垂直河岸，当时，不断减小，y=200时 ；时的情况正好与时的情况相反。于是可画出以上路线图。由于最终可求得总共所用的时间约为T=810s，由于这个时间小于方向不变时所得时间907.7s，因此可以肯定这个模型较之前者为更优化方案。在实际情况中，由于每个人游泳的速度有不同，因此只需将个人的速度代入模型，并合理估计水流的速度分布情况，便可求得在各个时刻所应选择的速度方向，并可由于预测出整个过程所经历的时间。四模型总结：以我们现在的知识无法从理论上证明这种方案的确是最省时的，因此这也是这个模型的不足。五竞渡策略 众所周知，长江的水性以水流快、水势多变而闻名。因此，在比赛之前，就应对比赛中有可能发生的情况作好充分的预测和准备。在静水中，一个人的平均游速大约为1.5m/s，而长江横向水流的速度却经常能够达到2m/s甚至更高；相反，竞渡江宽却比起点到终点的水平距离长。因此，如果一个人始终沿着垂直河岸或斜向终点的方向游，一定会被冲到终点的下游，因而是无论如何也无法到达终点的。所以在水流速度较小时，应让自己垂直河岸方向的游速尽可能的大；而水流速度越大，则游速与河岸上游的夹角越小，即游泳的速度应斜向长江上游。不要为了追求速度快就顺着水流方向游，这样的选择只能适得其反。 “横渡不是体力活，而要动脑筋，并不是只有勇气就可以。每次游海峡之前，我们都要对海峡有充分的了解，如潮汐、海流的时间、走向和海洋生物攻击的种类、几率等等。”2002年的成功人数表明，正是由于许多选手事先没有充分的估计到这些因素，才导致最终的失败。因此，在开始下水时，一定不能 “随大流”要对自己的选择有足够的信心，坚信自己是正确的。同时，应该把首要目标定为到达终点而不是游的多快，因为总会有人比你游的更快。这也就是2002年的比赛在所有186人中只有34人能最后到达终点的原因。相信自己，并在竞渡的过程中跟据实际情况，不断调整游泳的方向，最终的胜利一定是属于你们的。六模型应用及推广：本模型形式较简单，模型中的s、d为常