数学教育学复习资料(2012).doc

数学教育学复习资料一、举例说明由“旧知”引出“新知”是我国数学教学的主要方法 我国的数学课堂教学中，绝大多数的新知识是由旧知识引入的，这基本符合人的认识规律，也与现代认知主义理论、建构主义思想相一致。课堂教学的开始是多以复习提问的形式，教师设计一系列的问题，在学生对与新知识相关的已知内容的“温故”之中，让新知识的内容意义逐渐露出端倪，自然而然地“流淌”出来。由“旧知”引出“新知”可能导致两种可能的教学形态。一种形态是：使学生由旧知中产生困惑或新的情境形成和激发认识新知、发现新知、获取新知的欲望和行动经历知识发生、发展的过程，这无疑是应该追求的理想的教学形态。另一种形态是：淡化从旧知识到新知识的发生发展过程，甚至会由旧知识直接把新知识告诉学生，只要所谓“会用”就行了。这很容易造成学生被动接受，成为事实上的被灌输知识的容器，这当然是应该竭力避免的教学形态。 例1将对数概念作为新知的教学，由已知的有关幂指数的知识引入:这个求“对数”的新运算，用数学符号表示为 x = log 2 3. 一般地有 ax= N (N 0, a0且a1) x = log a N. 二、数学中的弱抽象方法 在数学的思想活动中，有一类方法是在同类的事物中抽取关于数量、空间形式或结构关系方面的共同属性，舍弃其它的特征，从而形成新的数学概念。这种舍弃一部分属性保留共同属性的抽象过程称之为“弱抽象”。其本质在于“舍弃”。例如：自然数“3”的概念就是弱抽象产物。 在“三只鸡”,“三个苹果”,“三个球”等这类事物中，“个数3”是它们的共同本质属性，于是“3”被抽象出来，而“鸡”、“苹果”、“球”都是非本质属性而被舍弃。又如： “基数”概念，也是在“偶数”、“整数”、“有理数”、“实数”这些数的集合中，按一一对应原则，抽象出无穷数集的“基数”的概念。三、数学中的强抽象方法 数学思想活动中，有一类方法是把新的特征或属性添加到已有的数学结构中，从而形成新的数学概念，而不是从同类事物的众多属性中将共同的本质属性抽取出来。这种通过在原有数学结构中增添新的性质来获得新数学概念的抽象过程，称之为“强抽象”。其本质是“添加”。例如：1.由一般三角形概念，引入“两条边相等”，或“一个角是直角”的特性，就分别得到比较特殊的三角形概念: 等腰三角形和直角三角形； 2.在函数概念中，引入“连续性”就形成了“连续函数”的新概念，进而有“可微函数”的概念； 3.点、线、面这些几何元素同各种变换相结合，即在点、线、面这些几何元素中分别引进不同的变换关系，就产生了合同、相似、仿射、射影、同胚等几何概念。 这些例子表明，强抽象方法通过引入新的特征强化原型来完成抽象，是一种概念强化式的抽象，这样获得的新概念或理论，实际上是原型的特例。 强抽象的特点是，强抽象方法获得的数学对象，一般在概念的外延上缩小了，但却使内涵或结构更加丰富和具体。强抽象方法的本质在于，强抽象是将不同数学概念或结构有机的结合起来。四、关于数学活动的探索性特征数学的探索性特征就是指，在数学活动中要运用一般科学的探索方法:观察、实验、想象、直觉、猜测、验证、反驳。科学探索方法是科学发现发明的方法，因此数学活动的探索性特征体现了数学创造性活动的特点，意义更大、更重要。数学活动有三类:1.数学研究活动，这是数学发现发明的过程; 2.数学认识活动，即数学学习活动，这是一个再创造的过程; 3.数学实践活动，即用数学解决问题的创造性过程。 这些活动都要经历发现问题，提出假设，验证猜想的阶段，这个阶段就是数学探索性活动阶段。数学探索性表明了探索活动阶段的不确定性。如果说这一阶段有什么规律的话，那也是建立在经验基础上的，没有确定的形式和结构。正是这种不确定性，体现了数学活动的创造性。(1)数学活动中的探索性数学发现发明是典型的探索性活动。阿基米德的“启发式论证”；牛顿发明微积分；康托发现无穷集合的“基数”，即实数连续统 等等。这些数学发现发明的过程都曾经历“实验、观察、猜测”的探索活动过程，是大量探索性活动的结果，是大量运用实验、观察、猜测、想象、直觉、验证、反驳这些探索性方法的结果。 (2)数学学习中的探索性数学的探索活动并不限于数学的研究领域，在数学的学习活动中也广泛地存在着数学探索性活动。幼儿园孩子学数字用手指，小学生学数学用“学具盒”，都是数学学习中的探索性活动，他们通过实验、观察、探索数学知识。中学生学习三角形的三边关系时，用各种长短不一的小棒做拼组三角形的实验和内角和实验，教师让他们做出形状各异的各种三角形。再把每个三角形三个角剪下来，拼起来，量一量，最后让他们提出三角形内角和的猜想: 三角形的内角和等于180。在证明这个猜想时，让学生结合刚才的实验，寻找证明的思路，实际上是如何添置辅助线将三角形的三个角移动一起去。于是学生经过多次实验，提出各自不同的办法，辅助线如何添也是合理猜想的结果。(3)数学的解题活动充满了探索性数学解题也是一种探索性活动。波利亚认为，数学解题中进行论证推理，仅仅是一个方面。实际的情形是，在得到一个数学问题的结论之前，你得先探索这个结论的内容，在做出完整而详细的证明之前，你先得探索证明或解题的思路，要经过一次次错误的尝试，经受一次次失败的考验。在数学中，除了论证逻辑外，所有的知识都是探索性活动的结果，都是由一些猜想构成的，是数学创造的产物，其创造过程与任何其它创造过程是一样的，必然要经历观察、实验、猜想的探索阶段。解题的大部分工作属于探索性活动，探索性推理，要在实验中不断地特殊化或一般化，在观察中不断地进行分析综合，通过归纳类比提出猜想，通过验证和反驳对猜想作出预测和修正。不过这样的探索即使是做了大量的工作，也只是可能性的探索。这种“可能性”有两层含义: 一是这种探索可能会得到某种结果，可能是问题的结论、解题的思路或者一个好的“念头”;二是所得的结果可能是正确的，也可能是不正确的。这表明，探索性推理的活动，是不确定的，探索性推理并非严格的和最终的，仅仅是临时的和似乎是真的，但它是得到一个最终严格结论的先决条件，必由之路。所谓数学的探索性活动，就是对数学问题，人们根据自己的经验和知识，运用实验、观察、想象、直觉、猜测、验证和反驳的方法，寻求一种可能性结论的活动。(4)数学探索性活动的基本特点数学探索性活动有如下基本特点：(1)不是运用逻辑推理的论证方法，而是运用合情推理的探索方法;(2)可以获得发现发明的内容;(3)可以寻找解决问题的思路;(4)可以预测可能性结论的正确程度，对其作出合理的修正;(5)其结果只具有“可能性”，必须通过严格的论证才是可靠的，最终的结论。数学探索性活动的意义在于，它是数学发现发明的方法，是每个人将来进行创造性工作必须应用的方法。但是在学校通常的课程中，很少提供学生学习探索性活动的机会，在数学学习和教学中，自始至终进行“因为所以”的逻辑论证的严格训练，其实探索性推理与逻辑推理对数学同等重要，而且从教育的角度，探索性推理更重要，它为学生提供了尝试发明的机会，为学生未来创造性的工作做好了准备。五、关于数学的广泛应用性特征1.数学提供了特有的思维训练数学提供了特有的思维训练。国际数学教育委员会的一份文件中指出:“许多世纪以来，数学被看作是训练推理能力”的最佳学科，为什么在中小学有这么多数学课呢?无论过去还是现在，对这个问题最普遍的回答是:“它教你思考”。 美国国家研究委员会在人人关心美国数学教育的本来的一份文件中也指出:“数学提供了有特色的思考方式，应用这些数学的思考方式的经验构成了数学能力在当今这个技术时代日益重要的一种智力。”数学所提供的特有的思维训练有:数学化建立数学模型。抽象化为人类学习抽象思维提供了一条最为有效的途径。最优化通过“如果那么” 数学式的提问，来寻求最有效、最经济的最优解。 符号化用一种紧凑简约的形式把自然语言推广到抽象概念的符号表示。 随机化从各种不完全和不一致的原始资料进行估计和猜测。 逻辑分析寻求前提中所蕴含着的东西以及寻求能解释所观测到的现象的基本原理。 数学是这样一个领域对人类的思维训练价值, 是数学“实用性”的最大体现。2数学提供了科学的表达语言早在400年前，伽里略就曾指出，世界的奥秘是本巨大的书，而这部书是用数学语言写成的。数学语言是普通语言的精确化，所以爱因斯坦对数学语言更是推崇备至，他说:“理论物理学家在描述各种关系时，要求尽可能达到最高标准的严格精确性，这种标准只有用数学语言才能做到。”数学语言是各种科学的通用语言。不仅物理学、化学、生物学等自然科学要运用数学语言，而且社会科学和人文学科也加入了运用数学语言的行列。这种各门科学对数学语言的运用，并不是指把数学作为研究的工具，而更是把数学语言作为表述自身科学理论的语言。 数学语言是世界各国家各民族的通用语言。数学语言比任何语言都更具有世界性，世界各国都使用各自的语言，同一个国家内的不同民族甚至也用不同的语言，但是数学语言对于无论何种民族都是公共的，看到数学符号，大家都知道是什么意思，而无需再翻译。数学是国家与国家之间、民族与民族之间交流思想(不限于科学技术)的共同语言。3数学提供了抽象思维的模式从解决各种问题的角度，数学为人类提供了抽象思维的工具。具体地说，就是为解决实际的和科学理论的非数学问题提供了抽象思维的模式。这类抽象思维的模式包括:为非数学问题转化为数学问题提供了具体的数学模型；为构造数学模型提供了数学模型的抽象方法；数学的思维方法提供了一种有效的思考方式。4数学提供了科学理论的示范作用数学理论的示范作用主要表现为各门科学都把逻辑化、系统化甚至公理化作为本学科发展的目标，例如牛顿、麦克斯韦尔、狄拉克、爱因斯坦这些伟大的物理学家都用逻辑化、公理化方法建构了自己的理论，此外在生物学、经济学、心理学等学科都在利用数学所提供的示范建立自己的新理论。 美美国国家研究委员会. 振兴美国的数学. 世界图书出版公司. 1993年，40-55.数学所提供的理论的示范作用，导致了“科学数学化”的趋势。5数学提供了不可思议的应用数学应用的广泛，从应用于其它科学理论的角度，仅仅是一个方面，更大的是数学在各种实践领域的应用达到不可思议的地步。 对那些司空见贯的应用是稍有数学修养的人都熟知的，但是数学在许多高技术领域的应用，以及其作用之巨大则鲜为人知。 随着计算机的发展，数学渗入各行各业，并且物化到各种先进设备之中，所有高技术的高精度、高速度、高自动、高安全、高质量、高效率，无一不是，通过计算机用数学模型和数学方法进行控制而实现的。之所以要如此不厌其烦的介绍数学的大量最新应用，一方面是为了突出强调数学的应用价值，二方面是为了让我们具体了解数学究竟产生了哪些新的应用，从而说明并不是教室里才有数学，大量数学存在于教室以外的各个实践领域之中。六、数学活动发生的逻辑必要条件在确立了数学教学本质上是数学活动的教学之后，必须明确，怎样才能使数学活动在数学教学过程中有效地展开？即数学活动的发生必须具备什么样的逻辑必要条件。(1)引起学生学习的心向数学活动的内容和环境必须能够激起学生的兴趣和求知欲，使学生产生主动去质疑、去发现、去探究、去归纳的强烈愿望，即自觉地参与数学活动的心向，这样才能使数学活动的发生自然而有意义。因此，是否引起了学生学习的心向是判断数学活动是否发生的一个重要标志。(2)数学活动内容的潜在逻辑性数学活动的内容必须具有潜在逻辑性，即教学中数学新知识的呈现要以学习者的认知结构中是否有适当的知识可与之建立非人为和实质性的联系为依据，这也是有意义学习的基本条件。从教学的角度讲，关键是如何组织、加工数学新知识使之与学生已有的知识发生逻辑关联。这是数学活动顺利进行的重要保障。(3)数学活动要以学生的已有学习为基础学生已有的学习、已有的知识是数学活动中新知识的生长点或固着点，以此为基础学习者才能进行有效的自主建构活动，这也是建构主义教学的基本观点。一堂课的数学活动，首先是要清楚学生关于新知识的生长点，这个生长点在何处？是否植入了学生大脑之中，学生的大脑中有没有这个生长点？如果没有的话，那就可以建立先行组织者，先“播种”，把知识的生长点这个种子先播进学生的头脑里，然后新知识才可能在这个生长点上生长起来。新知识有了生长点，数学活动就可以开始了，教师就去“浇水、施肥、供给阳光”，它就会“生根发芽”，越长越大了涂荣豹. 谈提高对数学教学的认识J. 中学数学教学参考，2006，(1-2)，58.。 (4)学生要具备参与数学活动的“思维潜能”具备相应的思维潜能，是数学有意义学习的基本条件，这一点前文已经指出。从教学的角度讲，就是要求设计数学活动时，要充分认识学生思维潜能的现有发展水平。如果一项数学活动脱离学生的实际思维水平，将会使数学教学流于形式，必然给学生理解、建构知识的过程起到阻碍作用，这样的数学活动无疑是低效、盲目的。七、数学教学过程的因素分析数学教学过程是一个复杂的系统，包括多种成分和因素，其中教师、学生、教学内容、教学方法是最基本的因素，它们相互依存、相互作用、相互制约，形成一道完整的教学链条。(1)教师是“教学向导的主角” 涂荣豹：提高数学教学的认识. 中学数学教学参考，2006，1-2合刊，p5-8.教师在整个数学教学过程中扮演着极为重要的角色，是构成数学教学过程的一个核心因素。教师是课堂“教学向导的主角”。学生是学的主体，教师是教的主体，但教师的主体作用体现为另一个主体学生的“向导和引路人”。课堂里有许多教学向导，教师是向导，课本是向导，图像是向导，同学之间也可以互为向导，但是所有的教学向导中的主角是谁呢？是教师。教师是主角，教学是离不开教师的。教师不仅是教学目标的贯彻者、数学知识的传授者、学生进行数学学习的合作者，而且是整个数学教学过程的组织者、引导者和调控者。虽然不依赖教师的指导，也确实可以进行数学学习，但这种自我进行的学习本质上不属于数学教学活动。(2)学生是学的活动的主体学生是构成数学教学过程的又一核心因素，是学的活动的主体，其主体功能体现为积极的智力参与、个人体验以及主动的意义建构 涂荣豹：数学教学认识论. 南京：南京师范大学出版社. 2003, 230.。在数学教学过程中，虽然学生自身的年龄特点与认识水平以及数学学科特点决定了学生的学习活动总是在教师“教学向导”的引导下进行，但是教师的指导和帮助对学生来说归根到底只是一种外因。从根本上讲，无论是数学知识的掌握，还是数学能力的发展以及个性心理品质的形成，都不是教师所能教会的，而是学生在教师的引导下主动获得的。因此，数学教学过程的各项任务不应当靠教师强行要求学生去被动地完成，而应当最大限度地调动学生自主参与探究、发现的积极性，靠学生的主观努力主动完成。学生在数学教学过程中有其认识的特殊性。具体表现为：一是学生的认识对象以间接经验为主，要用最短的时间去掌握前人经过漫长岁月发现发明的数学知识；二是学生的认知条件是在教师的指导下进行，使学生能够避免或减少许多认识上的失误；三是学生的认知任务不仅仅在于掌握数学的基本知识和基本技能，而且要发展数学思维能力和创新能力。(3)教学内容是师生活动的载体教学内容是教师引导学生学习的客观依据和信息源泉，是教学过程中教师与学生、学生与学生发生相互作用的中介。教学不是随意进行的，必须依照一定的教学内容和教学要求展开，它们同时也是教学质量评价的标准。以教材形式表达的数学教学内容，从其形态来看是一种外显的、静态的、物质化了的东西，而其背后隐藏了知识生长的动态思维过程。在数学教学过程中，教师应以显性的知识为线索，通过自己的思维活动去再现隐藏在教材背后的鲜活的探索、发现活动，引导学生积极参与、主动探究，尽可能地“再创造”、“再发现”教材中的数学知识，在此基础上建构合理的数学认知结构。(4)教学方法是指引教学过程展开的行动方式教学方法是教师根据实际情况遴选的，具体指引数学教学过程展开的行动方式。从系统方法论的角度来看，教学方法是由许多教学方式和手段构成的。它的表达方式和手段是灵活多样的，教师需要根据具体的数学教学内容、教学环境和条件、学生的实际认知水平等情况灵活的选用，使教学方法与数学教学过程的其它要素协调起来，才能达到理想的教学效果。数学教学过程的各个要素之间虽然有各自独立的地位和作用，但它们又是一个相互关联的整体。教学过程的效率和成绩并不取决于单个构成要素的水平，而是取决于四个要素之间动态组合的水平。只有当各构成要素都能最大限度地发挥其功能时，才能实现数学教学过程的整体优化。辨析：数学教学是思维的教学辨析：数学教学是数学活动的教学辨析：数学技能与数学能力属加种差定义。这种方法是先确定被定义概念的最邻近的属概念，然后寻找这个属概念中诸种概念彼此间的本质差别(即“种差”)。例如，“平行四边形”最邻近的属概念是“四边形”，平行四边形区别于其它四边形的本质属性是“对边平行”，于是得到平行四边形的定义：对边平行且相等的四边形叫做平行四边形。“属加种差”的定义可用公式表示为：被定义概念=最邻近的属概念+种差.在给概念下定义时,一般应注意以下几点：(1)定义必须相称。比如，如果把无理数定义为“有理数的不尽方根数”，就犯了定义过窄的错误，而把无理数定义为“无限小数”，则犯了定义过宽的错误。(2)定义不能循环。也就是说，如果用甲概念来定义乙概念，那么在同一个理论体系中就不能再用乙概念来定义甲概念。例如,用“两直线垂直相交所成的角叫做直角”来定义“直角”, 再用“如果两直线所成的角为直角,那么这两条直线相互垂直”来定义“垂直”，这就犯了循环定义的错误。为了避免循环定义的错误，在一个理论体系中，必须用已定义过的概念来定义新概念，如此追溯上去，总有一些概念不能用其它概念来定义。这些不加定义的概念叫做原始概念，比如，集合、点、线、面、介于等。原始概念没有严格定义, 常用描述、举例的方法说明它的本质属性，所以有时也称为描述性概念。(3)定义的方式可以不唯一。这里有两层含义，其一，定义的方式不唯一。例如,“质数”这个概念，可定义为“除了1与自身没有其它因数的自然数”，也可定义为“由|ab能推出p|a或p|b的大于1的自然数p”。当然，同一个概念的不同定义应是相互等价的。其二,定义的语言表达形式不唯一。常见的形式有“就是”,“叫做”,“所谓指的是”,“当且仅当有时,才有”等。由此可见，任何定义都是充分必要的。例如，方程的解的定义“使方程f(x)=0成立的未知数的值”, 既包括“如果是方程f(x)=0的解,则f()=0”，又包括“如果f()=0，则是方程f(x)=0 的解”(4)定义是对被定义概念内涵或外延的一种规定，所以对概念的定义只能解释,不能证明。国家基础教育课程改革纲要把课程目标分为结果性目标与过程性目标两大类，包括知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个维度。对于数学课程来说，这三个维度的具体内容如下：（1）知识与技能目标。要求获得适应未来社会生活和进一步发展所必需要的数学知识与数学活动经验和必要的数学技能。知识与技能目标属于结果性目标，具体分为三个层次： 了解水平能正确回忆出有关知识，能在不同的情境中辨认有关概念；能举例说明知识的相关属性。 理解水平能说明知识的由来及主要用途，能对概念及其性质进行形式上的转换，能把数学知识进行简单的运用，能正确说明数学知识之间的区别与联系。 应用水平能把学习的知识应用于新的情境，解决一些较为复杂的问题，能对已学过的知识进行逻辑整理，形成完整的知识结构；能突破常规思维模式，灵活运用所学的知识解决较综合的知识或复杂的实际问题。（2）过程与方法目标。要求学生经历数学学习的过程，形成正确的数学意识与观念，发展数学能力。具体内容如下：经历形成数学概念、发现数学原理、探索解决数学问题的途径的过程；培养正确的数与符号观念、空间观念、统计观念、随机观念等增强应用意识与探索能力，能通过观察、实验、归纳、类比等方法进行数学探究活动，在与他人交流过程中发展数学思维水平。（3）情感、态度、价值观目标。要求学生在数学学习过程中了解数学的价值，增进数学学习的兴趣与自信心，具有创新精神与实践能力，形成认真、严谨、独立思考的习惯，具有实是求事、质疑求真的科学态度与精神。我国基础教育课程改革的总体目标（自己在网络上查找）制定课堂教学目标的方法1研习课程标准目前，基础教育改革的各个学科的课程标准都已出台，它是教师开展学科教学活动的依据和准绳。对课程标准的学习和研究不是开学之初一次就能完成的事情，而应该是经常性的，做到常学习，常研究，常对照，才能使课堂教学目标的制定紧紧围绕课程教学总目标。2了解学生教师要深入了解自己的教学对象学生情况，了解他们已有的知识经验、能力、身心发展状况、学习风格、思维习惯等，使课堂教学目标的设立具有针对性、实践性、实效性，努力做到“因材设标”。前面已经阐述了，这里不在重复。3确立本节课的教学目标点在明确课程目标的总体要求和学生实际情况的基础上，教师就要反复钻研教材，研究本节课的教学内容，确定本节课一个个的具体教学目标点，搞清各个目标点的内容范畴，如对知识范畴的，要分清是事实（公理）、原理、概念，还是方法、程序、公式，以便选用适当的行为动词，确定具体的行为条件等。目标既要全面，又要突出重点，分解难点。4确定目标点的掌握程度确立教学目标点以后，就要确立每一个目标点的掌握程度。掌握程度也不是要求越高越好，必须符合学生实际。掌握程度主要取决于课程目标和学生实际两个因素，对学有余力的学生的要求可以达到课程目标的较高要求，对学习有一定困难的学生的要求达到课程目标的最低下限即可。对掌握程度的表述应尽可能是可测量、可评价的，以便自己、学生或他人对本节课的目标达成程度进行评价。5修改教学活动中存在许多不可测因素，因此，课堂教学目标的编制也就不可能一蹴而就，完美无缺。需要在教学实践过程中，不断地总结、修改和完善。教学目标设计是教学设计的重要环节