数列问题的函数思想和归纳方法.doc

数列问题的函数思想和归纳方法浦东教育发展研究院 恽敏霞数列是一个定义在自然数集（或其子集）上的特殊函数。由数列本身的函数特点，在解决数列问题的过程中往往可以通过研究其函数性质来达到解决问题的目的；同时数列与自然数有关，决定了数列有很强的规律性，通过研究数列的项与项数的关系，我们可以培养学生一种归纳、猜测、递推的能力，获得对于归纳、猜测、递推过程的深刻体验。中学数学中通过数列概念的建立和探求数列的通项公式，提高数学抽象能力、演绎推理能力和归纳、猜测、论证的能力。在研究数列问题的过程中，通过对所给数列进行归纳、发现其中的规律是一个重要的能力和思想方法。一、数列问题中的函数思想1、数列中的函数 中学所研究的等差、等比数列中，存在着类似于一次函数、二次函数和指数函数形式的函数关系。如： 是数列前n项和，若为等差数列，则；。若为等比数列，则，。除此以外，还可以进一步研究数列中的函数。例1数列是首项为、公比为常数且的等比数列，则在平面中，坐标为（的点 （ ）A都在函数为常数）的图象上B都在函数为常数）的图象上C都在函数为常数）的图象上D以上三种情况均不可能分析：当时，所以选择为B。例2已知各项为正的等比数列的首项为1，公比为，前项和为设，求的解析式并作出函数的图象。分析：等比数列的各项为正，若，= =若，= = 当时，= 当时，=2 。2y1故的解析式为=1Ox函数图象如图所示。2利用函数性质解决数列问题将数列看作一种函数关系，那么函数的有关性质可以提供作为解决数列问题的方法。例3：已知数列满足：1，（），数列的前项和=，（）（1）求数列和的通项公式（2）设是否存在，使成立，并说明理由分析：不难求出数列的通项公式分别为： ；，解法一：由 可得： ，于是 故不存在自然数，使成立。还可以通过讨论数列的单调性如解法二：=，当时，单调递增；当时，单调递减， 故不存在自然数，使成立。用图象法还可以有解法三：若存在，使成立 则得 在平面作出函数与的大致图象，由图象可知不能成立，故不存在自然数，使成立。例4对于数列，如果存在确定的自然数T，使得对一切自然数都成立，则称数列是以T为周期的周期数列.若一个周期数列满足，为数列的前项和，且，求.分析：由， 是以周期为6的周期数列且 则由周期性，二、数列问题中的归纳方法1从图形的变化中发现规律有时数列是由图象来给出的，而图象的变化过程蕴涵了数列的通项，我们可以通过对图形变化趋势的分析得到其一般的通项形式。例5下图是一种树形图，其结构为：第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1，第二层在第一层线段的前端作两条与该线段成135角的线段，长度为其一半；第三层、第四层按同样的方法作下去，设n层树形图的高度为第n层的最高点至水平线的距离。（1） 求2层、3层、4层树形图的高度；（2） 求n层树形图的高度。 一层 二层 三层 四层分析：第2层树形图的高度=1+，第三层树形图的高度=1+第4层树形图的高度1+；归纳：从图形中知，当层数n分别为奇数或者偶数时，高度有不同的表达式。综合与n的关系，有结论： 2从数列的递推式中发现规律在教材中，等差数列、等比数列的有关规律以及相关的性质我们已经研究得比较多了，但还有一些数列，虽然不能象等差、等比数列那样给出非常明确的通项，但利用其本身的规律也可以解决问题。例6（1）设是集合|，且中所有的数从小到大排列成的数列，即， 将数列各项按照上小下大、左小右大的原则写成如下三角形数表： 35 69 10 12 - - - - 写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；求（2）设是集合+|，且中所有的数从小到大排列成的数列，已知，求（2003年全国高考试题）分析：由三角形数表中各数的集合构成，数表中各行数分别为：第一行：第二行：，第三行：，归纳：发现其中有规律第行：，此数列有项，不难得出，是第14行中第9个数字，故=16640（第2小题解略，）3从等差与等比的类比中发现规律真命题A：在等差数列中，若，且，则；真命题B：在等比数列中，若，且，则；称这两个真命题具有“加乘”类比关系。归纳：等差数列和等比数列中一般的类比规律有：等差数列0 + d 系数 类比等比数列1 q 指数例7请分别在等差数列和等比数列范围内写出另外一对具有“加乘”类比关系的真命题。真命题A：设，在之间插入个实数，使这个数成等差数列，则有结论成立。真命题B：若，在之间插入个正数，使这个数成等比数列，则有结论成立。4数列应用题中的归纳 数列得应用问题往往需要确立正确得项数和通项得表达才能正确地解决问题，在做题过程中我们常常可以通过对n=1、2、3的情况先立出数学式子，再加以归纳推广。例8从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业. 根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少. 本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加. (1)设n年内（本年度为第一年）总投入为万元，旅游业总收入为万元. 写出的表达式；(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?分析：设，设归纳： ，；同理， .第(2)问， 当时，容