数学竞赛练习--排列组合.doc

高2011级数学竞赛排列组合练习题一、填空题1、6种不同颜色的珠子各取一个，做成一个手链，可以做成_种不同的手链。1202、有4个相同的红球，5个相同的白球，将这9个球排成一排，有_种不同的排法。 1263、公司有5台电视机，4台洗衣机，7台冰箱，现要把其中3台电视机，2台洗衣机，4台冰箱选送到展销会，试问有_种选法。21004、在数1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8的全排列中，有4个数字在原来位置上，另外4个不在原来位置上的排列有_种。6305、在1到300之间那些不能被3, 5和7中任何一个整除的整数个数有_个。1386、将字母a,b,c,d,e,f,g排成一行，使得模式beg和cad都不出现的排列有_个。48067、有两个同心圆，在外圆上有相异的6个点，内圆上有相异的3个点.由这9个点所确定的直线最少有_条。 218、平面上给定5点，这些点两两间的连线互不平行，又不垂直，也不重合。现从任一点向其余四点的两两之间的连线作垂线，则所有这些垂线间的交点个数最多是_。315二 、解答题9 、有一枚有正反两面的硬币，由于质地不均匀，所以正反两面向上的概率不同，将一枚硬币掷5次，正面朝上恰好一次的概率不为0，而且与正面朝上恰好两次的概率相同，求恰好三次正面朝上的概率。解 设每次抛硬币正面朝上的概率为p，则掷5次恰好有k次正面朝上的概率为(1-p)5-k(k=0,1,2,5)，由题设，且0p1，化简得，所以恰好有3次正面朝上的概率为10、计算： 11、中、日围棋队各出7名队员，按事先安排好的次序出场进行围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方的2号队员比赛，直到有一方队员全部被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程.现在中方只动用了5名队员，就击败了日方的所有队员.问这样的比赛过程有多少种？ 11、设中方的7名队员分别为a1，a2，a7，日方的7名队员分别是b1，b2，b7.由于中方只动用了5名队员，故可以认为a6、a7实质上是不参与比赛的.现把中方的5名队员和日方的7名队员排成一列，显然各自的顺序已定，只需确定位置即可.现规定，排在日方队员bi(i=1，2，7)右侧的(紧挨着)中方队员是击败bi的队员.据题意，a5须在b7的右侧(紧挨着).其他4名队员a1、a2、a3、a4可在b7左侧10个位置中的任4个位置中，故有种情况.所以，这样的比赛过程有种.12、集合A中有n个元素，其中有m个是特殊元素(mn). 从集合A的五元素子集中取出68个，发现这68个子集中都含有至少一个特殊元素.此外，集合A的任意一个三元素子集都恰好被一个所取的五元素子集所包含.(1)求n的取值；(2)请回答：所有五元素子集中是否有至少含4个特殊元素的集合？为什么？12.(1)据题意，共有个三元素子集，因为每一个三元素子集都恰好被一个五元素子集所包含，所以每一个五元素子集中包含了个三元素子集，而这样的五元素子集共有68个，故有，解得n=17. (2)假设每个五元素子集中至多含有3种特殊元素，我们把含有1种特殊元素，2种非特殊元素的三元素子集设为A3.据题意，68个五元素子集中，有个含有3种特殊元素，且每个子集中可有(3个A3).另一方面，含有2种或1种特殊元素的五元素子集，应有(个)且这样的子集中都有(6个A3).再者，子集A3的个数是，即.所以，即m3-18m2+137m-408=0.因为408的正因数1、3、8、17均非上述方程的解，据有理根定理方程无正整数解，这说明假设错误.故结论是肯定的.8、用排除法.设A1、A2、A5为平面上给定的5个点，A2、A3、A4、A5之间两两连线有条，从A1出发可引6条垂线，依此5个点共可引30条垂线，它们之间最多有个交点.但应排除以下三种情况：从A1、A2、A3作A4A5的三条垂线互相平行，无交点，这样的情形共有个；从Ai(i=1，2，3，4，5)出发的6条垂线都交于点Ai，这样的点共有个，只能留下5个，剩余的应减去；Ai(i=1，2，3，4，5)中每三点构成一个三角形，三角形的三条高共点，应减去