数学软件Mathematica4简介.doc

数学软件Mathematica4简介 2.1 Mathematica4.0简介Mathematica是由位于美国伊利州的伊利诺大学Champaign分校附近的WolframResearch公司开发的一套专门进行数学计算的软件。从1988年问世至今，已广泛地应用到工程、应用数学、计算机科学、生物、药学、教育学等领域，深受科学家、学生、教师、研究人员的广泛喜爱。早在1995年发表的Mathematica3.0版，可以说是数学计算软件史上的一个大创新。而1999年发表的Mathematica4.0版则在到了这类软件的顶峰。Mathematica除了提供数值处理与绘图的功能之外还具有符号计算能力。能使您轻松地进行各种运算、函数的图像的绘画、解方程等。对中学数学教学而言：可以通过Mathematica进行函数性质的研究、处理多项式的各种运算提供很好的工具。要安装Mathematica4.0建议你的计算机配置要达到如下的要求：1、 操作系统： Windows95或Windows NT3.51以上的版本。2、 CPU处理器：Intel、Cyrix或ADM586级以上的CPU。3、 硬盘空间： 具备有200MB以上的硬盘空间才能使Mathematica能正常地运算。4、 内存空间： 至少具备32MB内存空间，建议使用64MB以上的内存空间。2.2 Mathematica4.0的启动与退出Mathematica4.0的启动有两种：1、 双击Windows桌面上的快捷方式可启动Mathematica4.0；单击：开始程序Mathematica4Mathematica4可以启动Mathematica4； 启动Mathematica4后主程序会打开一个新的工作窗口，如下图所示：标题栏菜单栏工作窗口基本输入面板图2.1 Mathematica4的退出：1、 单击标题栏右边的关闭按钮；2、 单击：File菜单下的Exit也可退出Mathematica4；2.3 Mathematica4的基本操作本节我们将对Mathematica4的基本运算、输入/输出等操作进行介绍。2.3.1 基本运算 Mathematica4的基本运算包括两方面：1、 输入运算表达式；2、 执行运算的结果；（按组合键：Shift+Enter）启动Mathematica4后在工作窗口中输入3+8再按Shift+Enter组合键执行这个运算，这时在工作窗口中会显示如图书馆2.2所示的结果：输出序号输入序号 图2.2在图书馆2.2中In1:=与Out1=是Mathematica4系统自动加上的，分别表示输入行数与输出的行数。在第一次执行运算的结果时：由于系统要加把计算的核心文件（Kernel file）加载到内存，所以计算的时间通常就会占用较多的时间。第二次及以后的计算就会快得多。2.3.2 Mathematica4表达式的输入规则 1、数的表示 Mathematica4的数以两种形式出现：精确数与浮点数。除了几个常用的数学常数外，与通常的数学数字的表示方法是一样的。常用的数学常数有：圆周率 用Pi表示，E表示自然对数的底e=2.718286 ，Degree表示角度1度，I表示虚数单位i，Infinity表示无穷大。以上的数学常数的输入也可直接单击基本输入面板上的特殊符号得到。3、 数的运算符号加、减、乘、除、乘方的运算符号分别是：+、*、/、。其中乘法的表示方法相对比较特殊，除了用“*”表示外，还可以用空格表示乘法。下列的三种情况都是合法的乘法运算： a*b a b（a，b两变量之间有空格符） a（b+2）（变量a与（b+2）相乘）在Mathematica的语法中规定x2属于变量，而2x表示2与变量x相乘，而2 x（2与x之间有空格）则表示2与x相乘。ab （a与b之间没有空格）表示变量ab。4、 变量与函数的表示方法在Mathematica中函数的字母是区分大小写的，在输入Mathematica的内部函数时第一个字母要用大写，如下所示：x=Cosy （变量x通常用小写，函数Cosy的第一个字母用大写，函数中的变量用方括号括起来）x=Mod16，7（当函数中有两个以上的参数时，参数之间用逗号分开）5、 在表达式的输入过程中也可以直接用基本输入面板来实现，基本输入面板用于输入特殊符号、常用的表达式以及运算符号等等，启动Mathematica时如果基本输入面板没有出现在屏幕的右边，请选择File下拉菜单中的Plaettes-Basic Input命令菜单来激活它。基本输入面板如下图2.3所示：常用计算内部常量基本运算符希腊字母上下标基本输入面板图2.3下面我们通过一个实例来说明基本输入面板的使用方法：我们要计算的值,步骤如下：（1）、先在工作窗口的空白处单击鼠标的左键，确定输入的位置；（2）、单击基本输入面板上的按钮，这时在工作窗口中会出现符号，分别在相应的位置中输入45.0与3；（3）、输入完毕后，按Shift+Enter执行计算，输入结果，如下图2.4 2.4 基本数值运算 在前面的讨论中，我们知道了如何在Mathematica输入运算式，现在我们来学习如何使用Mathematica来进行基本的数学运算。 在Mathematica中将数分成两类：精确数与浮点数。整数是精确数，分数可以看作两个整数相除，所以也是精确数。实数是浮点数（也称近似数）2.4.1 整数的运算 整数的运算属于精确的运算，运算的结果是一个精确数。 例如：1、计算2+9/3*4-4 In1:=2+9/3*4-4 因为四则运算的顺序是先乘除后加减，所以上 Out1=10式的结果是10；2、计算4/9 In2:=4/9结果为：4/9 Out2=4/9因为：分数属于精确数而不是实数3、计算 In3:= 结果为： Out3= 2058911320946494、计算 In4:= 结果为：3与4的区别在于3是精确运算而4是近似计算。 在近似计算中如果不加以说明往往保留6位有效数字，在Mathematica中有专门用于进行近似计算的命令：N表达式，有效位数 例如：计算 圆周率Pi的值，保留20位有效数字； In5:=NPi，20 Out5= 在Mathematica中提供了丰富的整数运算与近似数运算的命令，下表列出部分有关的命令供参考： 整数运算的基本命令：命令格式命令的用途Modm,n求m/n的余数，m,n是整数；GCDx1,x2,x3求x1,x2,x3的最大公约数；LCMx1,x2,x3,求x1,x2,x3的最小公倍数；Factorialn或n!求n的阶乘；FactorIntegern将整数n分解成多个质数的和；（求n的质因子）RandomInteger,m,n随杨产生m到n的整数，其中m,n是整数；例如：计算 67的阶乘； In6:=67! Out6= 计算 24，48，30这三个数的最大公约数; In7:=GCD24,48,30 Out7=6浮点数的基本运算命令：命令格式命令的用途Nnum或num/N把精确数num化为浮点数； Nnum,n把num化成具有n个有效数字的浮点数； 例如：求8+4/7的值；（精确到小为数点后20位） In8:=N8+4/7,20 Out8= 6.5714285714285714286除了四则运算外，Mathematica还提供了许多常用的数学函数用于进行复杂的运算，下表给出部分常用的Mathematica内容函数：函数名功能Sinx，Cosx，Tanx三角函数，自变量以弧度为单位Cotx，Secx，CscxArcSinx，ArcCosx，ArcTanx反三角函数ArcCotx，ArcSecx，ArcCscxSqrtxX的开方Expx指数函数Logx自然对数Loga，x以a为底的对数Absx绝对值函数Roundx最接近x的整数Floorx小于或等于x的最大整数Ceilingx大于或等于x的最小整数IntegerPartx取x的整数部分Signx求x的符号A+b*I复数a+biRez求复数z的实部Imz求复数z的虚部Absz求复数z的模Argz求复数z的辐角 注意：函数中的大小写要区分。2.5 基本代数运算代数式泛指含有未知量的表达式，如：等都是代数式。在中学的代数运算中我们主要是讨论多项式的各种运算如：多项式的因式分解、多项式的化简与其展开式等等。例如：求当x=2时，代数式：+Sinx的近似值 In1:=x=2 设x=2; Out1=2 In2:= Out=2.9093下表给出部分代数运算的命令： 命令格式功能 Expandexpr对代数式expr进行展开；Expandexpr,patt对代数式expr进行展开，并保留因式patt不展开；Factorexpr对expr进行因式分解；Simplifyexpr将expr进行化简；FullSimplityexpr将expr化成最简的形式； 例如：（1）、把结果展开 In3:= Expand(1+3x+3y)4 Out3= （2）、把因式分解 In4:= Factora2+2a b+b2-2a c-2b c+c2 （输入时注意：a与b表示乘法时中间加空格） Out4= （3）、保留因式x+2，展开多项式： In5:=Expand,x+2 Out5= （4）、把进行化简 In6:=Simplify Out6= 2.6 方程式的解在Mathematica中，方程式是用两个连续的等号：= = ，将两个数学表达式连接进来。如：lhs= =rhs （其中lhs、rhs分别是两个数学表达式）；2.6.1 变量与函数 在学习用Mathematica来求解方程之前，我们先来学习变量与函数的一些相关的知识。变量用包含任意多的字母或数字来表示，其中不能带有空格、标点符号、运算符，且数字不能放在变量名的前面。例如：xx、x34、xyz都是合法的变量名，而5x、x*y、x y（中间有空格）都不是合法的变量名。函数分为内部函数与自定义的函数两种，有关相关的内容函数我们在前面已经给出过，下面主要来讨论自定义函数：对一个函数而言，如果不是内部函数在Mathematica中要使用必需首先定义它才能使用（1） 定义：fx_ =函数的表达式 （其中x是函数的自变量）定义一个函数后，只要不退出系统，则函数的定义必定存在，再次定义fx则fx的定义更换为新的定义。要清除函数fx可以用命令：Clearf来清除函数f的所有的内容。（2） 使用：定义了一个函数后可以象Mathematica的内部函数一样来使用它。例如：首先定义一个函数：，然后求函数在x=3时的值；作法如下： （定义函数：） f3 结果为：302.6.2 方程式解的命令下表给出方程式的解的部分命令：命令格式命令功能Solveequ,x求解方程equ，其中x是变量；Solveequ1，equ2，,x,y，求由方程equ1,equ2,组成的方程组的解，其中x,y未知数；Eliminateequ1,equ2,，x，y将变量x，y，从方程组中消去；NSolveequ,x求方程equ的近似解；FindRootequ,x，x0求非线性方程equ在点x0附近的解，其中x是自变量；例如：1、求解方程：其中Sinx是未知数； In1:= Out1= 2、 求解方程： In2:= Out2= 3、 求方程组： 的解，其中未知数为：x,yIn3:= Out3= 4、将方程组中的变量x消去； In4:= Out4= 5、求方程的解； In5:= Out5= 上面的解中出现了#的原因是我们求的是方程的精确解，但没法得到精确解而用#号来代替。 求方程的近似解可以用以下的命令： In6:= Out6= 6、求方程：的解； 因为原方程是一个非线性方程，求解其可用命令：FindRoot In7:= Out7= (判断方程在哪一点附近有解可以通过把图形画出来进行初步的判断，有关画图的方法我们在下一节中讨论)2.7 不等式的解在Mathematica中，解不等式的命令不是一个内部的命令，它包含在AlgebraInequalitySolve函数库中，使用这命令之前先将它调入内存才能使用。 解不等式命令的格式：InequalitySolveequs,vars 解不等式equs，其中vars为变量； 注意：在解不等式时，方程equs可以是单个的不等式，也可以是由$与|所构成的不等式。（其中$，|分别表示并且和或者） 例子：1、求解不等式：； In1:=AlgebraInequalitySolve (加载函数库) In2:= Out2= （| 表示或者的意思） 2、求不等式组：的解； （接上题作，由于已经加载了函数库，所以在Mathematica的同一工作窗口中不用再加载函数库） In3:=InequalitySolvex2-4x-60,x Out3= 3、求满足的解； In4:=InequalitySolvex2+y2-4xy+40$x+y0,x,y Out4= 2.8 基本绘图 Mathematica 提供二维图形的绘图与三维图形的绘图。二维图形的绘图命令以分为二维函数图形、参数图形、极坐标图形、等高线图形等等。三维图形分为三维函数图形与三维参数图形。2.8.1 二维图形的绘图绘图给我们研究函数的性质带来很多的方便，下表我们给出二维图形的绘图的部分命令：命令格式命令功能Plotf,x,xmin,xmax从xmin到xmax绘函数f(x)的图形；Plotf1,f2,，x,xmin,xmax从xmin到xmax绘制函数：f1,f2,的图形；ParametricPlotx(t),y(t),t,tmin,tmax绘制二维参数图，t为参数；ParametricPlotx1(t),y1(t),x2(t),y2(t),，t,tmin,tmax同时绘制多个参数图形；PolarPlotr,t,tmin,tmax从tmin到tmax绘制函数r(t)的图形；（在级坐标系下）；ContourPlotf,x,xmin,xmax,y,ymin,ymax在指定范围内画出函数f的等高线；Showg1,g2,把呼形g1,g2,在同一坐标轴下显示；例子：1、x 从0到2Pi绘制Cosx的图形： In1:=PlotCosx,x,0,2PiOut1=Graphics例2、 定义函数： 然后绘制自定义函数的图形 In2:= (定义函数时，变量后加下画线) In3:= Out3=Graphics例2、 同时画三个函数：的图形； In4:= PlotCosx,Cosx1.5,Cosx2,x,0,4 Out4=Graphics 当Mathematica绘制一个图形时，可能会考虑到x y坐标的比例、y轴的范围、原点的位置等等。通常Mathematica根据默认的选项就可以绘制出很不错的图形，但有时我们可能想修改坐标比例、为图形上色、为坐标取名等等，这时我们可以设置适当的选项来设置图形的格式。下表我们给出设置图形格式的部分选项： 选项默认值说明AxesTrue是否绘制坐标轴，设为False，则不绘制。设Axes-False,True，只绘出y轴；AxesLabelAutomatic为坐标轴做标记，设Axes-“yLabel”，把y轴标记为yLabel。设Axes-“xLabel”,”yLabel”,是为x,y轴作标记，分别标记为：xLabel,yLabel;PlotLabelNone设PlotLabel-GraphicsName 定义图形的名称为：Graphics Name；AspectRatio1/AspectRatio图形的高与宽的比例。默认为1/AspectRatio,约为0.618在上表中用到 Automatic，None，True，False是Mathematica绘图命令常用的选项，下表绘出它们所代表的意义： Automatic使用Mathematic的默认值None不包含此项True此项有效False此项有效 例子：4、定义一函数：，画该函数的图形，并命名为：fx，不画坐标轴 In5:=Clearf (为了防止出现重复，先清除掉函数f再定义) In6:= In7:= Out7= 如果将多个图形绘制在同一个坐标系下，我们希望用不同的颜色将它们分开来，Mathematica提供了几种上色的方法，将函数图形绘制成不同的颜色。下面给出两种上色的方法：例2、 Plotf1,f2,，x,xmin,xmax，PlotStyle-RGBColorr1,g1,b1,RGBColorr2,g2,b2， （分别用RGBColorr1,g1,b1，RGBColorr2,g2,b2，给函数f1，f2，的图形上色。）例2、 Plotf1,f2,x,xmin,xmax,PlotStyle-GrayLeveli,GrayLevelj,（分别用GrayLeveli,GrayLevelj,给函数f1,f2,的图形上色。）说明：RGBColorred,green,blue命令的作用是定义图形组件的颜色，其中red、green、blue的范围都是从0到1的整数。RGBColor1,0,0表示红色，RGBColor0,1,0表示绿色， RGBColor0,0,1表示蓝色。GrayLeveli用来定义图形的灰度，i的取值从0到1的实数，i越接近0则颜色越深，GrayLevel1为白色，GrayLevel0为黑色。例子：5、以不同的颜色来绘制函数：sinx （红色），sin(x1.5)（绿色），sin(x2)（蓝色） In8:= Out8= 例2、 分别定义绘图的颜色为红色、灰度值为0.5与灰度值为0.1的颜色绘出函数sinx，sin2x，sin3x的图形。 In9:= Out9= 从以上的例6我们可以知道两种不同的上色方法可以混用。除了设置图形的颜色之外，我们还可以设置图形的线条的粗细，下面我们给出设置图形的线条的粗细的方法：Plotf1,f2,，x,amin,xmax，PlotStyle-Thicknessr1,Thicknessr2,分别定义f1,f2,函数图形线条粗细为Thicknessr1,Thicknessr2,，其中r1,r2为线条粗细所占图形的宽度的比例，它们的值越大，线条越粗。例如：7、绘制函数：sinx与sin2x的图形，线条宽度分别为0.01,0.03 In10:= Out10= 例8：绘制x=cost，y=sin(3t)的参数图，其中 x从0到2Pi，不画坐标轴，线条的宽度为0.02，线条的颜色为红色； In11:= Out11= 例9：在级坐标系下绘制函数：的图形，t从0到2Pi，线条的颜色为红色，不画出坐标轴； 注意：级坐标系下的绘图命令是个外部命令，使用时先将函数库调入内存，命令：PolarPlot在GraphicsGraphics函数库中 In12:= In13:= Out12= 另外：等高线的画法在我们后一节介绍完三维图形的画法后再作介绍。2.8.2 三维图形的绘图三维空间的绘图比二维空间的绘图更加丰富及具有变化性，许多论文、期刊及大学、研究所教科书中的函数图都是Mathematica 的杰作，由此可见Mathematica图形的效果极好。三维绘图的命令主要有两个，一个是Plot3D，用于绘制一般的三维函数图，另一个是：ParametricPlot3D，用于绘制三维参数函数图。下表中我们给出三维图形的部分绘图命令：命令格式命令功能Plot3Df,x,xmin,xmax,y,ymin,ymax绘制二元函数f(x,y)的图形，其中x从xmin到xmax，y从ymin到ymax;ParametricPlot3Df1,f2,f3,t,t1,t2以t为f1,f2,f3的参数，绘制三维空间曲线图形；ParametricPlot3D以为参数，绘制三维空间曲面参数图；例1、 绘制二元函数：sinxcosy的图形，其中x与y都是从0到2Pi；In1:= Out1= 在前一节的二维图形的绘制当中，我们可以设置图形的各种格式：如颜色、是否绘制坐标轴、图形的名称等等。三维图形的绘图命令Plot3D也有许多的选项，下表我们给出三维图形的绘图命令Plot3D的部分选项：选项默认值说明AxesTrue是否绘制坐标轴；AxesLabelNone坐标轴的名称；BoxedTrue是否绘制图形外框；MeshTrue是否在图形表面加网格线；PlotPoints15在x和y方向的取样点；ColorFunctionAutomatic上色方式，Hue为彩色；下面我们通过例子来说明这些选项的使用方法：例2、 绘制函数：的图形，要求：不带外框，不绘制坐标轴，上色方式为彩色；In2:=Out2= 例2、 绘制函数：的图形，要求：不带外框，不绘制坐标轴，在x与y方向的取样点为80点，上色方式不彩色，不绘制网格线；In3:= Out3= 例4、求参数方程所确定的图形，t从0到30,不含外框； In4:= Out4= 注：空间的参数方程只有一个参数时其图形是空间中的一条曲线。例5：绘制圆环面的图形：已知圆环面的参数方程是：， 不绘制外框与坐标轴，在纵横方向上的绘制点的个数为70； In5:=Out4= 2.8.3 等高线的绘图 等高线图是将三维空间中高度相等的点连接起来，形成等高线图，等高线图在很多领域中有着十分广泛的应用，我们在2.8.1中已经给出等高线图的绘图命令是：ContourPlot下面我们通例子来说明等高线图的绘图方法：例2、 求三维函数：Sinx Cosy的等高线图； 我们知道三维函数sinx cosy的图形如下图： In1:=Plot3DSinxCosy,x,0,2Pi,y,0,2Pi In2:= Out2=与其它的绘图命令一样，绘制等高线图的命令也有多个选项用以帮助我们绘制自已所需的图形，下表我们给出部分选项的使用方法： 选项默认值说明ColorFunctionAutomatic上色的选项，默认值为灰度，选Hue为彩色；Contours10定义等高线的数目；PlotRangeAutomatic高度Z的范围；ContourLin