高中数学学业水平考试必修部分知识提纲(有部分答案).doc

必修部分基本知识汇总必修部分知识点汇总第一部分 函数 21、映 射 2、定义域 3、值 域 4、图 像 5、解析式 6、单调性 7、奇偶性 8、对称性 9、周期性 10、指对运算 11、指对函数 12、幂函数 13、反函数第二部分 算法 61、算法特征 2、算法框图 第三部分 随机抽样和样本估计总体 71、随机抽样 2、样本估计总体 3、变量相关性第四部分 立体几何 81、简单几何体 2、线面关系 3、直观图和三视图第五部分 解析几何 101、平面直角坐标系基本公式 2、直线的几种形式 3、两直线位置关系 4、点到直线距离 5、圆的标准方程 6、圆的一般方程 7、直线与圆的位置关系 8、圆与圆的位置关系第六部分 三角函数 131、角度值和弧度制 2、三角函数基本运算 3、三角恒等变换 4、三角函数图象第七部分 解三角形 17第八部分 等差数列、等比数列 18第九部分 平面向量 201、向量的坐标运算 2、向量的坐标运算 3、向量的数量积第一部分 函数基本知识一、映射1、构成映射的基础条件：A不余且象唯一。2、映射的要素：3、构成映射的个数：A中有m个元素，B中有n个元素，则的映射个数是个二、定义域1。定义域的求法（1）具体函数的定义域基本原则：分母 ；偶次方根被开方数 ；对数的真数 ，对数的底数 ；0的0次幂 （2）复合函数的定义域1）的定义域为a,b指的是 ;2）已知的定义域为a,b,求的定义域，是指 。3）已知的定义域为a,b，求的定义域是指 三、值域（1）函数法1）直接法（如）2）配方法（如f(x)=-x2+x+2, x-1,5）3）单调性法（如）4）复合函数法（如（2）图像法y=|x-2|+|x+1|）（3）方程法（如）（4）均值不等示法（，x1）（5）换元法（如f(x)=cos2x+3sinx+3）（6）导数法（如四、图像 作图（1）描点法 （2）图象变换 平移变换 向 平移 个单位；以 代换 向 平移 个单位；以 代换 向 平移 个单位； 伸缩变换 纵坐标不变，横坐标变为原来的 倍 横坐标不变，纵坐标变为原来的 倍 纵坐标不变，横坐标变为原来的 倍 对称变换 关于 对称 ；以 代换 关于 对称；以 代换 关于 对称；以 代换 关于 对称；以 代换 关于对称的图象解析式是 关于对称的图象解析式是 关于对称的图象解析式是 翻折问题 ： : :五、函数的解析式（1）换元法：最基本最重要的方法，例如已知，求函数的解析式（2）配凑法：例如已知，求f(x)的解析式（3）待定系数法：已知函数类型如一次函数、二次函数、正比例、反比例函数等常用此法例如二次函数的曲线过原点，且f(1)=3,f(-1)=1,求的解析式（4）构造方程组法：当一个表达式中,-;或,同时出现时常用此法。例如已知函数 满足，求的解析式（5）赋值法（6）利用奇偶性求解析式六、单调性1、证明一个函数是增（减）函数（1）定义法; 用增、减函数的定义来证明。（2）导数法：用求导判断函数的导数是否大于零(小于零) 2、求函数的单调区间（1）定义法; （2）导数法： 如（3）根据基本函数的图象：如（4）复合函数法：如（5）运算函数法：增函数+增函数=增函数；减函数+减函数=减函数；增函数-减函数=增函数；减函数-增函数=减函数；七、奇偶性1. 奇函数：对定义域内的任意,都有 2. 偶函数：对定义域内的任意,都有 具有奇偶性的函数的定义域关于 对称奇函数的图象关于 对称；偶函数的图象关于 对称，反之亦然；奇函数若在处有定义，则= 函数的奇偶性是 。两个奇函数的和是 函数，两个奇函数的积是 函数；两个偶函数的和是 函数；两个偶函数的积是 函数；一个奇函数与一个偶函数的积是 函数。奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相 ；偶函数的单调性相 。八对称性（1）轴对称： 函数的图象关于 对称函数的图象关于 对称（2）中心对称： 函数的图象关于 对称 函数的图象关于 对称九、函数的周期性（1）周期函数的定义：函数在其定义域内，对任意的都存在一个常数，使得 成立，则称函数是周期函数，叫做函数的一个 。设是函数的一个周期，则也是函数的周期。 （2）常见结论（1）若对定义域内的任意都有，则 （2）若对定义域内的任意都有，则 （3）若对定义域内的任意都有，则 （4）若对定义域内的任意都有，则 （5）若对定义域内的任意都有，则 （6）若的图象关于对称，则 （7）若的图象关于对称，则 （8）若的图象关于对称，则 十、指对运算1指数运算（1）次方根的定义： 注意：当为奇数时， ；当为偶数时， （2）正分数指数幂 （3）指数运算性质： 2对数运算（1）对数定义： 注意：常用对数 ，自然对数 ， ， （2）运算法则： （3）换底公式； 拓展 ； 十一、指对函数指数函数对数函数图象定义域值域单调性定点反函数导函数备注当时，当时，当时，当时，十二、幂函数1幂函数定义：形如 的函数称为幂函数，其中为常数2幂函数性质（1）所有的幂函数在 都有定义，并且图象都过点 ；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 上是增函数（3）时，幂函数的图象在区间 上是减函数 3幂函数的图像十三、反函数反函数：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两函数互为反函数.说明：（1）函数的反函数记为（2）一个函数是一一映射时才有反函数（3）单调函数一定有反函数,但有反函数的函数未必单调(请自举反例)（4）原函数的定义域是反函数的值域,原函数的值域是反函数的定义域。性质：（1）原函数与反函数的图象关于y=x对称（2）奇函数若有反函数，则反函数也为奇函数偶函数未必没有反函数()(3) 互为反函数的两个函数单调性相同第二部分 算法基本知识（一）算法的特征：有穷性：一个算法应包含有限的操作步骤而不能是无限的。 确定性：算法中每一个步骤应当是确定的，而不应当是含糊的、模棱两可的。输 入: 有零个或多个输入。输 出: 有一个或多个输出。有效性：算法中每一个步骤应当能有效地执行，并得到确定的结果。（二）算法框图常用的流程图符号：起止框 输入输出框 判断框 处理框 流程线 1、画流程图的规则：使用标准的框图的符号，框图一般按从上到下，从左到右的方向画，除判断框外，大多数符号只有一个进入点和一个退出点，判断框式具有超过一个退出点的唯一符号，框内的语言要简练。一个算法中有一个或多个输出，目的式用来解决问题，所以必须能产生结果2、赋值语句 符号 ：变量=表达式注意几点：(1) 赋值号左边只能是变量，不能是表达式。例 3 = i是错误的(2) 赋值号左右两边不能对换，含义不同，结果也不同(3)不能利用赋值语句进行代数式的运算 xy0(4)赋值号与数学中的是不同的 例i=i1,在数学中是错误的，在算法中是循环赋值。3、流程图（顺序结构，选择结构，循环结构）顺序结构：（1）顺序结构是指在一个算法中运算是按照步骤依次执行的，这是一种最简单的算法结构，也是任何一个算法必不可少的逻辑结构。（2）顺序结构的流程图：条件结构（1）条件结构是指在算法中有时要进行判断，判断的结果直接决定后面的执行步骤，这样的结构叫作选择结构，有时也称为选择结构、条件分支结构等。（2）选择结构的流程图：执行这种结构的算法，先对条件进行判断，若条件为真，则执行 ，若条件为假，则执行 .循环结构：（1）循环结构是指在算法中从某处开始，按照一定的条件反复执行某一处理步骤的结构。在科学计算中，有许多有规律的复计算，如累加求和、累乘求积等问题。（2）循环结构的三要素循环变量，循环体、循环的终止条件。（3）循环结构的设计步骤：1）确定循环结构的循环变量和初始条件2）确定算法中需要反复执行的部分，即循环体；3）确定循环的终止条件。4）循环结构的算法流程图1.直到型：直到型循环在执行了一次循环体之后，对控制循环条件进行判断，当条件不满足时执行循环体，满足时则停止2.当型：当型循环在每次执行循环体前对控制循环条件进 行判断，当条件满足时执行循环体，不满足则停止 第三部分 随机抽样与样本估计总体基本知识一、基本知识1.随机抽样方法：（1）简单随机抽样：从元素个数为N个的总体中不放回地抽取容量为n的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样。常用的有抽签法和随机数表法。（2）系统抽样：当总体元素个数很大时,样本容量就不宜太小。可将总体分成均衡地若干部分,然后按照预先制定的规则,从每一部分抽取一个个体,得到样本,这抽样方法叫做系统抽样,也称等距抽样。（3）分层抽样：当总体由有明显差别的几部分组成时，将总体中各个个体按某种特征分成互不重叠的几层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样，这种抽样方法叫做分层抽样。（4）常用的三种抽样方法的比较：类 别共同点不同点联 系适用范围简单随机抽样过程中每个个体被抽取的概率相等从总体中逐个抽取是后两种方法的基础总体个数较少系统抽样将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取在起始部分抽样时用简单随机抽样总体个数较多分层抽样将总体分成几层，分层进行抽取各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成2.用样本估计总体：（1）用样本的频率分布估计总体分布：列频率分布表、画频率分布直方图的步骤是：第25页，共25页 计算极差（最大值与最小值的差）； 决定组距与组数； 决定分点，通常使分点比数据多一位小数，并且把第一小组的起点稍微减小一点；列出频率分布表；绘出频率分布直方图频率分布将随着样本容量的增大而更加接近总体分布，当样本容量无限增大且分组的组距无限缩小时，频率分布直方图就会演变成一条光滑曲线总体密度曲线。总体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律。茎叶图：优劣比较：优点缺点频率分布直方图可以清楚看出数据分布的总体态势。得不出原始的数据内容，原有的具体数据信息被抹掉了。茎叶图原始信息没有损失，方便记录与表示。只便于表示两位有效数字的数据。（2）用样本的数字特征估计总体的数字特征：用样本平均数估计总体平均数：平均数对数据有“取齐”作用，代表了一组数据的数值平均水平。个样本数据的平均数。 用样本标准差估计总体标准差：数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述。样本方差，样本标准差。3.变量的相关性：（1）变量与变量之间的关系常见的有两类：一是确定的函数关系，一是相关关系。（2）如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关；如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关。（3）两个变量的线性相关： 直线方程，叫做对的回归直线方程，叫做回归系数。要确定回归直线方程，只需确定与回归系数。用最小二乘法求回归直线方程中的，有下面的公式：，。其中的上方加“”，表示是由观察值按最小二乘法求得的估计值，也叫回归系数。第四部分 立体几何基本知识一、简单几何体1、概念：2、表面积体积参量展开图侧面积体积棱柱正四棱柱底面边长为a圆柱底面半径r，母线l棱锥正四棱锥(底面边长为a)圆锥（底面半径r，母线长l）棱台正四棱台(底面边长为a和b)圆台（上底半径r1，下底半径r2，母线长l）球（半径r）3、长方体中的数量关系4、比例关系：5、正四面体6、最值问题7、球的内切外接问题二、线面关系1、四个基本性质：基本性质1：基本性质2：基本性质3：基本性质4：2、平行垂直关系：3、空间直线和平面的传递性三条直线两直线一平面两直线一平面两平面一直线两平面一直线三个平面图形符号公理4 错 误 错 误4、等角定理： 5、三垂线定理：三、直观图：S原=_S直 正投影的性质：第五部分 解析几何基本知识一、平面直角坐标系中的基本公式中点公式：斜率：点到点的距离：点到直线的距离：重心：三点共线的条件：平行四边形的第四个顶点：二、直线方程的几种形式 一般式：关于x和y的二元一次方程和直线的关系。时，表示_;时、，变为_,表示斜率为_,纵截距为_的直线。注意：如果没有特别要求，求出直线方程后都要表示成一般式。形式已知条件局限性备注点斜式斜截式一般式三、两条直线的位置关系知识要点：两直线相交、平行、重合的条件。1、 _(斜截式) _(一般式)2、 _(斜截式) _(一般式)注意：1、两个垂直的条件用途不一样，第一个用于判断直线垂直的条件；第二个用于求直线斜率。2、待定系数法直线系：直线系（1）过定点的直线系方程为_（2）与定直线不同时为0）平行的直线方程_（3）与定直线不同时为0）垂直的直线方程_（4）过两直线与交点的直线系方程_直线方程位置关系 平行重合垂直相交四、点到直线的距离知识要点：点到直线的距离与平行直线间的距离直线的方程点点到直线的距离一般情况特殊情况平行线间距离直线和直线五、圆的标准方程知识点 标准方程： 若圆心为坐标原点，圆的方程为： ； 标准方程的几何性质： 点和圆的位置关系的判断：设点，圆，则：点在圆上 ；点在圆外 ；点在圆内 六、圆的一般方程知识点 一般方程： （1）当时， （*）式表示 ；（2）当时， （*）式表示 ；（3）当时，（*）式表示 ；特点：（1）系数相同且不等于0；（2）不含项.形如的方程表示圆的充分条件： 直径两端点坐标， 圆的直径式方程： 七、位置关系1.点与圆的位置关系设点,圆: (或),则在圆上_;在圆内_;在圆外_.2.设直线,圆: ,圆心到直线的距离为,则直线与圆的位置关系与等价条件如下:位置关系等价条件相离将直线方程代入圆方程得方程(或)无 实 根相切两相等实根相交两不等实根相关问题:直线与圆相离: 圆上的点到直线的距离的最大值和最小值分别为相切切线方程已知切点和圆方程求切线方程求过圆外已知点的切线方程已知切线斜率和圆方程求切线方程切点弦方程切线长相交弦长以圆内一已知点为中点的弦所在直线的方程弦中点的轨迹过圆内一定点的弦的中点的轨迹过圆外一定点的弦的中点的轨迹已知斜率的弦的中点的轨迹具体知识：1.直线和圆的位置关系的判断：（1）判断直线和圆的位置关系，可将两式联立得，求判别式. 时 ；时 ；时 .（2）判断直线和圆的位置关系，圆心到直线的距离， ； ； .2.圆的切线问题3.弦长求法（1）根据弦心距，半径，弦长的一半构成直角三角形，由勾股定理得；（2）解方程组求交点坐标，根据两点间距离公式；（3）弦长公式： 4.圆的切线问题：a.已知切点，求圆的切线方程：b.已知圆外一点，求圆的切线方程：（两条）c.已知切线斜率，求圆的切线方程：（两条）斜率为且与圆相切的切线方程为： ；斜率为且与圆相切的切线方程为： .直线与圆的相交问题：八、圆与圆的位置关系 知识点：1.圆与圆的位置关系：圆， ，圆心距：相离 ；相外切 ；相交 ；相内切 ；内含 .（注意公切线条数）2.圆系问题：具有某种共同性质的圆的集合，叫做圆系.（1）以为圆心的同心圆系：（为参数）； （2）圆心共线半径相等的圆系：， ； （3）过两已知圆交点的圆系方程： ；当时，变为 ，表示过两圆交点的直线；两圆为同心圆时，此直线不存在；两圆相交时，为公共弦所在直线；两圆相切时，为两圆的公切线；两圆相离时，为与两圆连心线垂直的直线.（4）过直线与圆交点的圆系方程： .第六部分 三角函数基本知识1-1角度制和弧度制一、角的概念推广： 二、弧度制的引入角度制弧度制定义以角度为角的单位的制度以弧度为角的单位的制度单位度（）不可省略弧度（rad）可省略1单位的含义周角的360度分之一长度等于半径的弧所对的圆心角度数进位制六十进位十进位弧长公式面积公式联系换算，三、特殊角的记法角度制弧度制终边相同的角象限角第一象限第二象限第三象限第四象限或或轴线角x轴y轴坐标轴在y=x上在y=-x上对称角关于x轴关于y轴关于原点关于y=x关于y=-x互相垂直区域角阴影部分对称不对称四、象限角：/22/33+-/2-/2+第一象限一、三一、二y正一二三一二三x负y正三二一二第二象限一、三三、四y负一二四一二四x正y正四一四三第三象限二、四一、二y正一三四一三四x正y负一四三四第四象限二、四三、四y负二三四二三四x负y负二三二一1-2 三角函数的基本运算一、三角函数定义正弦函数余弦函数正切函数备注定义用来计算三角函数值三角函数线 与y轴平行与x轴平行直线x=1部分求解角的范围、求解函数值等象限符号正：一、二y正负：三、四y负正：一、四x正负：二、三x负正：一、三负：二、四诱导公式、函数值符号二、基本函数值角度0o15 o30 o45 o60 o75 o90 o180 o270 o360 o弧度0sinx010-10cosx10-101tanx01不存在0不存在0三、同角三角函数的基本关系式倒数关系：，平方关系：，商数关系：，五、诱导公式：基本方法：奇变偶不变，符号看象限象限一四三二二一四三sincostan终边关系相同x轴对称原点对称y轴对称垂直y=x对称垂直y=-x对称5）三角恒等变形1-3 三角函数的图像与性质一、图像性质正弦函数正弦型函数余弦函数正切函数解析式定义域值 域图 像单调性单增单减无正值区间负值区间奇偶性 函数y = sin (x)是奇函数 函数y = sin (x)是偶函数 函数y =cos (x)是奇函数 函数y = cos (x)是偶函数最值点最大无最小无对称性轴无中心周期性22相邻两个最大值点相距一个周期 相邻两个最小值点相距一个周期相邻两个最值点相距半个周期相邻两个零点相距半个周期最值点和相邻零点相距四分之一个周期的周期的周期 的周期 的周期 特殊点二、图像变化（由复杂的做简单的可以方向作出）第七部分 解三角形基本知识边边关系边角关系角角关系直三角形勾股定理：三角函数：； ；不存在一般三角形任两边之和大于第三边任两边之差小于第三边，A+B+C=180o外角等于不相邻内角之和余弦定理：变形公式：正弦定理：变形公式：1、2、；3、4、5、，；常用公式和角差角公式： 二倍角公式： 面积关系： 补充定理第八部分 等差、等比数列基本知识等差数列等比数列定义与特征定义特征12=3可以存在0项，公差可为04常数列均是等差数列12=3无0项，公比不为04常数列未必为等比数列公式通项前n项和=二次函数) =（与指数函数联系）二者关系（有时可以合一形式）（有时可以合一形式）性质单调性0, 递增数列0，递减数列=0，常数列0, 1)2)项间关系（）=中项关系 等差中项 等比中项AP中 成AP，=1也成立 GP中 成GP，=1也成立首尾项关系在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和。(1)（2）（3）在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都等于首末两项之积。（1）（2）（3）当为奇数时，则当为偶