实验三利用MATLAB求取状态空间模型的相似变换及其标准型、控制系统的不同状态模型实现.docx

现代控制理论第一次上机实验报告实验三 利用MATLAB求取状态空间模型的相似变换及其标准型、控制系统的不同状态模型实现实验目的：1、通过实验掌握线性系统的对角线标准型、约旦标准型、模态标准型以及伴随矩阵标准型的表示及相应变换阵的求解；2、通过编程、上机调试，掌握系统可控性和可观测性的判别方法、系统的可控性和可观测性分解等；3、加深理解由控制系统传递函数建立能控、能观、约当标准型等不同状态模型的方法。实验要求： 1实现同一系统传递函数的状态模型是唯一的吗？ 2系统传递函数除上面三种不同状态模型实现外，常见的还有串连实现，对否？ 3对于上述系统传递函数，其输出稳态值与输入阶跃信号幅值有何关系？实验步骤：1. 根据所给系统的已知条件（可自行参阅选择刘豹教材中的例题或习题），如传递函数、零极点模型或（A、B、C、D），实现状态空间模型之间的相似变换、写出其对角线标准型、约当标准型、模态标准型以及伴随矩阵标准型的表示及求解相应变换阵，采用MATLAB的相关函数编写m-文件。已知系统的传递函数如下：运行如下m-文件，得到传递函数的状态空间模型：num=0 0 0 1;den=1 8.5 20 12.5;A,B,C,D=tf2ss(num,den)得到A = -8.5000 -20.0000 -12.5000 1.0000 0 0 0 1.0000 0B = 1 0 0C = 0 0 1D = 0因此，传递函数的一个状态空间实现是x1x2x3=-8.520-12.5100010x1x2x3+100uy=001x1x2x3G=ss(A,B,C,D);(1) 对角线标准型：计算矩阵A的特征值及与特征值对应的对角型变换矩阵D的m-如下：V,D=eig(A)V,D=eig(A)V = -0.9798 0.9184 0.5774 0.1960 -0.3674 -0.5774 -0.0392 0.1469 0.5774D = -5.0000 0 0 0 -2.5000 0 0 0 -1.0000由对角线标准型的变换阵D，运行下列m-文件的到对角线标准型矩阵系数：G1=ss2ss(G,D) a = x1 x2 x3 x1 -8.5 -40 -62.5 x2 0.5 0 0 x3 0 0.4 0 b = u1 x1 -5 x2 0 x3 0 c = x1 x2 x3 y1 0 0 -1 d = u1 y1 0 Continuous-time model.由上可得，对角线标准型：x1x2x3=-8.5-40-62.50.50000.40x1x2x3+-500uy=00-1x1x2x3对角型变换矩阵为：V=-5000-2.5000-1(2) 约旦标准型：计算矩阵A变换为约当标准型J，并得到变换矩阵V，运行下列m-文件： V,J=jordan(A)V = 2.5000 -1.6667 0.1667 -0.5000 0.6667 -0.1667 0.1000 -0.2667 0.1667J = -5.0000 0 0 0 -2.5000 0 0 0 -1.0000根据得到的约当标准型的变换矩阵V，运行下列文件得到约当标准型的矩阵系数：G1=ss2ss(G,V) a = x1 x2 x3 x1 -104 -613.6 -697.1 x2 21 123.1 139.6 x3 -4.2 -24.28 -27.58 b = u1 x1 2.5 x2 -0.5 x3 0.1 c = x1 x2 x3 y1 1 7.5 12.5 d = u1 y1 0 Continuous-time model由上可得，约旦标准型：x1x2x3=-104-613.6-697.121123.1139.6-4.2-24.28-27.58x1x2x3+2.5-0.50.1uy=17.512.5x1x2x3约旦标准型的变换矩阵为：V=2.5-1.66670.1667-0.50.6667-0,16670.1-0.26670.1667(3) 模态标准型运行以下m-程序可得到模态标准型系数矩阵和其变换矩阵： G1,V=canon(G,modal) a = x1 x2 x3 x1 -5 0 0 x2 0 -2.5 0 x3 0 0 -1 b = u1 x1 -0.825 x2 -0.95 x3 0.375 c = x1 x2 x3 y1 -0.1212 0.2807 0.4444 d = u1 y1 0Continuous-time model.V = -0.8250 -2.8875 -2.0625 -0.9500 -5.7000 -4.7500 0.3750 2.8125 4.6875由上可得，模态标准型：x1x2x3=-5000-2.5000-1x1x2x3+-0.825-0.950.375uy=-0.12120.28070.4444x1x2x3模态标准型的变换矩阵为：V=-0.825-2.8875-2.0625-0.95-5.7-4.750.372.81254.6875(4) 伴随矩阵标准型运行以下m-程序可得到伴随矩阵标准型系数矩阵和其变换矩阵： G1,V=canon(G,companion) a = x1 x2 x3 x1 0 0 -12.5 x2 1 0 -20 x3 0 1 -8.5 b = u1 x1 1 x2 0 x3 0 c = x1 x2 x3 y1 0 0 1 d = u1 y1 0 Continuous-time model.V = 1.0000 8.5000 20.0000 0 1.0000 8.5000 0 0 1.0000由上可得，伴随矩阵标准型：x1x2x3=00-12.510-2001-8.5x1x2x3+100uy=001x1x2x3模态标准型的变换矩阵为：V=18.520018.50012根据所给系统的已知条件（可自行参阅选择刘豹教材中的例题或习题），如（A、B、C、D）模型，判断其可控性和可观测性并进行可控性和可观测性分解。判别可控、可观：(1) 构造系统的可控性判别矩阵Tc的m-程序及结果如下： Tc=ctrb(A,B)Tc = 1.0000 -8.5000 52.2500 0 1.0000 -8.5000 0 0 1.0000由Tc可得，系统可控。(2) 构造系统的可观测性判别矩阵To的m-程序及结果如下： To=obsv(A,C)To = 0 0 1 0 1 0 1 0 0由To可得，系统可观。运行以下m-文件得到可控矩阵可观矩阵：可控矩阵： W=gram(G,c)W = 0.0635 -0.0000 -0.0032 -0.0000 0.0032 -0.0000 -0.0032 -0.0000 0.0022可观矩阵： W=gram(G,o)W = 0.0022 0.0183 0.0400 0.0183 0.1591 0.3670 0.0400 0.3670 1.0294能控性分解 Ac,Bc,Cc,Tc,Kc=ctrbf(A,B,C)Ac = 0 1.0000 0 0 0 -1.0000 12.5000 20.0000 -8.5000Bc = 0 0 1Cc = -1 0 0Tc = 0 0 -1 0 -1 0 1 0 0Kc = 1 1 1 sum(Kc)ans = 3由上可得，可控性分解子矩阵：x1x2x3=01000-112.520-8.5x1x2x3+001uy=-100x1x2x3能观测性分解 Ao,Bo,Co,To,Ko=obsvf(A,B,C)Ao = -8.5000 20.0000 -12.5000 -1.0000 0 0 0 -1.0000 0Bo = -1 0 0Co = 0 0 -1To = -1 0 0 0 1 0 0 0 -1Ko = 1 1 1 sum(Ko)ans = 3由上可得，可观性分解子矩阵：x1x2x3=-8.520-12.5-1000-10x1x2x3+-100uy=00-1x1x2x33 按图4.1电路接线，输入阶跃信号，观察记录输出波形，观测稳态输出值(或稳态误差)和调整时间。(注意：电阻值可根据实际情况合理选取，但需尽量保证方框图中各环节的比例放大倍数。) 按图4.2图4.3分别接线，观察并记录两个电路相应的阶跃响应曲线，并与图4.1所示系统阶跃响应曲线进行比较，它们是否一致？并简单解释其原因。 实验输出的参数要求及记录要求如下 4.1仿真图4.1仿真结果由4.1仿真结果图可知，稳态输出值为0.08，调整时间为64.2仿真图4.2仿真结果由4.2仿真结果图可知，稳态输出值为0.08，调整时间为6.34.3仿真图4.3仿真结果由4.3仿真结果图可知，稳态输出值为0.078，调整时间为7.7结论：由上可知，4.1和4.2、4.3曲线变化趋势相同，但是稳态值和调节时间并不完全一致。实验要求： 1.实现同一系统传递函数的状态模型是唯一的吗？ 答：不唯一。2. 系统传递函数除上面三种不同状态模型实现外，常见的还有串连实现，对否？ 答：对。3对于上述系统传递函数，其输出稳态值与输入阶跃信号幅值有何关系？ 答：成正比关系。输出稳态值变化比例和输入阶跃信号幅值变换比例相同。实验总结：通过此次实验，我更加深入地学习了状态空间模型的求解，及线性系统对角线标准