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前三题练习(4)1(本小题满分13分) 已知向量, , .()若,求向量、的夹角;()当时,求函数的最大值.2(本小题满分13分)已知袋中装有大小相同的2个白球和4个红球.()从袋中随机地将球逐个取出,每次取后不放回,直到取出两个红球为止,求取球次数的数学期望;()从袋中随机地取出一个球,放回后再随机地取出一个球,这样连续取4次球,求共取得红球次数的方差.3 (本小题满分13分)如图,边长为2的等边PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面,BC,M为BC的中点.()证明:AMPM;()求二面角PAMD的大小;()求点D到平面AMP的距离.前三题练习(4)答案1(本小题满分13分) 已知向量, , .()若,求向量、的夹角;()当时,求函数的最大值.解: ()当时, 2分 3分 4分 6分() 8分 10分,故 11分当,即时, 13分12(本小题满分13分)已知袋中装有大小相同的2个白球和4个红球.()从袋中随机地将球逐个取出,每次取后不放回,直到取出两个红球为止,求取球次数的数学期望;()从袋中随机地取出一个球,放回后再随机地取出一个球,这样连续取4次球,求共取得红球次数的方差.解:() 依题意,的可能取值为2,3,4 1分; 3分; 5分; 7分 . 故取球次数的数学期望为 8分() 依题意,连续摸4次球可视作4次独立重复试验,且每次摸得红球的概率均为,则 10分. 故共取得红球次数的方差为 13分13 (本小题满分13分)如图,边长为2的等边PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面,BC,M为BC的中点.()证明:AMPM;()求二面角PAMD的大小;()求点D到平面AMP的距离.解法1:() 取CD的中点E,连结PE、EM、EAPCD为正三角形PECD,PE=PDsinPDE=2sin60=平面PCD平面ABCDPE平面ABCD 3分四边形ABCD是矩形ADE、ECM、ABM均为直角三角形由勾股定理可求得EM=,AM=,AE=35分AME=90AMPM 6分()由()可知EMAM,PMAMPME是二面角PAMD的平面角8分tan PME=PME=45二面角PAMD为45; 10分()设D点到平面PAM的距离为,连结DM,则11分而在中,由勾股定理可求得PM=.,所以:,.即点D到平面PAM的距离为.13分解法2:() 四边形ABCD是矩形BCCD平面PCD平面ABCDBC平面PCD2分而PC平面PCDBCPC同理ADPD在RtPCM中,PM= 同理可求PA=,AM=5分PMA=90即PMAM 6分()取CD的中点E,连结PE、EMPCD为正三角形PECD,PE=PDsinPDE=2sin60=平面PCD平面ABCDPE平面ABCD由() 可知PMAMEMAMPME是二面角PAMD的平面角8分sin PME=PME=45二面角PAMD为45; 10分()同解法()解法3:() 以D点为原点,分别以直线DA、DC为x轴、y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,依题意,可得 2分4分 即,AMPM. 6分 ()设,且平面PAM,则 即取,得6分取,显然平面ABCD结合图
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