函数的光滑性与_磨光算子_定积分的一个应用.pdfVIP

数学学习高等数学季刊年第期 函数的光滑性与 磨光算子 定积分的一个应用 叶正麟孟稚琴 函数 一 如果在区间上具有直到 阶的连续导数 则称之为在上是 阶光滑的 上阶光滑函数的全体记作伙 光滑之说 有几何背景 约定函数 的零 阶 导数 为其本身 一 对应连续 曲线 一 的对应的曲线不但处处有切线 而且切线随着切 点在 曲 线上移动 而 连续地变 动 对应的曲线 除上述几何性质 外 曲率 尹 十尹 沿着曲线连续地变化而不会突变 一 对应 曲线的曲率关于 二 的 变化率 还是连续的 认为曲线已经相当光滑 了 的高阶光滑性的几何意 义已没有 上述的明显 但是可以认 为越大 曲线的光滑性越好 在产品或包装等形体设计时 会遇到这样的问题怎样把一条不怎么光滑的曲线变换为 较为光滑的曲线 且与原曲线相差无几可以用微积分的方法来考察这个问题 根据定积分理论 一条分段连续的曲线 一 二 经过积分后 曲线 一尸 二 一 才 是 连续的 如果是阶光滑 的 则尸是阶光 滑 的即积分的作用提 高了光滑度 但是 一已非原来的曲线 若再求导 至多除有限个点外 一 又 回到原来 曲线 问题没有进展 既要保 留积分作用以提高光滑性 又能近似原来 曲线 可 以设想用导数的近似的代数运算代替求导运算 导数的一种近似是 二 二 万丁戈 了 卿 又下 十 二子 一 又 一 几子 工 定义式 中民叫做 步长为的的中心差商 当在 点处 可导 时 氏 用 下式定 义 映射 一 内 才 六 二 一 了 一 贵 艾 才 才一 丁 一 夸 艺 才 一 贵 为底 犷二 曰二 廿 匕 万一 石工 刀间俐 乍肥 形 坑股夜 寸一 仕冗 八件饥浏胜 以沮 乙 一 少 下了 一 士 即为所求体积 的微元 一 一 夕 一 八 一 夕 下 一 万二 于是一 二丁 二 户 气 一 少 气兀干 一 乙 与 一 到厂令 一 厂令 一 令尸 口 尸一 一 年第期数学学习高等数学季刊 故其又一个 意义 是在每一点的函数值用其在区间 一份 份 上的积分平均值近 一 一 一 一 一 刁 一一 一 诵 一 一 曰 一 切 碑 一 甲 一 似代替 这又 叫做数据平滑 命题设在区间上分段连续即至多有有限个第一类间断点 则 厂 一 粤 了 二 一 二 六 任 一 一一 二 尸 尸 二 通 一 址明 叫 联夕尤分小 便 分别仕 一万 相 十育 上连续 兰 往 点处有第一类间断点时 在这两个区间上 要分别补充或重新定义在处的函数值 为 一和 由积分 中值定理 存在 二 一 粤 二 和 二 二 十 粤 使得 几 七一 工 一 令 一 厂 粤 二 己 丁 二 气心 十 乙 一 当时 泞 即得式 此命题说明 当很小时 在连续 点处 是的近似在 第一类间断点处 逼近 于在该点处 左 右极 限之算术平均值 故 由式定义 的映射 叫做磨光 算子 如果 把分段连续函数看作 一 阶光滑 那末函数经过算子磨光 后所得函数 二 一 的 光滑 度 比提高了一阶 同时又是的一种近似 例 设 二 一 用算子磨光一次 犷 则 由式计算得 一 一 是连续函数 见图 如果用再磨光一次 则 广 为一 阶光 滑 例设 二 一 巨 则磨光后 一阶导数连续 见 图 二 合 一 下 九 一普 一 一 簇镇 一 图 一争 一 图 数学学习高等数学季刊年第期 定积分在力学问题中的应用 二炮工程学院王惠珍 梁正平 众所周知 定积分在高等数学 中占有重要的地位 因为它不仅在理论上重要 而且在应 用中已成为解决一些实际问题 的有力工具 其中 元素法 为工程 上广泛应用 它为计算某 一几何量或物理量提供一条简捷途径 本文介绍 元素法 在力学问题 中的几个应用 一 轴向拉伸时非等直径杆件的变形问题 由力学知 杆件在轴向拉力作用 下 将发生拉伸 变形 拉 伸变形的标志 是 轴 向尺寸的伸 长和横向尺寸的缩小 下面来建立非 等直 径杆件在轴向拉伸时伸长的积分模型 右 图给 出一实心 圆锥形杆件 其直 径由小端 的均匀变至大端的 杆 长为 在两端力尸的作用 下将产生伸长 分析 如图建立直角坐标 系 取为积分 变量 变化区间为 对应于任一小 眺眺眺 图 区间 仁 以相邻横截面从杆件 中取 出一长度 为的微段 如图中阴影部 分 设处 微段横截面半径为 横截面 面积为 按比例关系可求出 一 一十 二 一丈 乙 洲 乙 因此 一 八 打 一 一二 十 下厂丁一一 乙 一 乙 当很小时 小微段可 近似地视为厚度为的 圆盘 由力 学中虎克定 律 知 此小 微段 在拉力 尸作用下的伸长的近似为 乙 尸尸 厂一 一 汀二二 十 下二 一一二一乙 七乙乙 其 中为弹性模量 加 加 翻 加 肠 肠 肠 匆 上 面介绍的方法只是曲线磨光方法 的一种 它的优点是表示形式简洁 特别是对分段多 项式 曲线构成的曲线所谓多项式样条 曲线很有效 磨光后仍为这类 曲线 这为