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第 20 卷第 2 期 数 学 教 育 学 报 Vol 20 No 2 2011 年 4 月 JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION Apr 2011 收稿日期 2010 12 28 基金项目 2010 年度教育部人文社会科学研究青年基金项目 数学教学内容知识 MPCK 的理论研究与实践探索 10YJC880067 作者简介 李渺 1970 女 湖北广水人 教授 博士 主要从事教师教育 数学课程与教学研究 数学教学内容知识 数学教学内容知识 MPCK 的构成成分 的构成成分 表现形式及其意义表现形式及其意义 李 渺 1 宁连华2 1 孝感学院 数学与统计学院 湖北 孝感 432000 2 南京师范大学 数学科学学院 江苏 南京 210097 摘要 MPCK 是由数学学科知识 MK 一般教学法知识 PK 关于学生的知识 CK 和关于教育技术的知识 TK 融合而成 其本质是教师如何将数学知识的学术形态转化为教育形态 以促进学生的数学理解 提高学生的数学能力和提升 学生的数学素养 若从微观和宏观层面上看 可把 MPCK 分为话题 MPCK 和课堂 MPCK 对于话题 MPCK 而言 其表现 形式是 针对特定内容和特定学生 教师 呈现 数学问题的方式 对于课堂 MPCK 而言 其表现形式是 针对特定内容 和特定学生 教师 组织 呈现 调整 数学课堂教学的方式 MPCK 对数学教师的专业发展意义重大 它有助于数学教 师进一步加深对教师专业的认识 有助于数学教师进一步发展专业知识 关键词 MPCK 构成成分 表现形式 专业发展 中图分类号 G443 文献标识码 A 文章编号 1004 9894 2011 02 0010 05 自学校产生之日起 人们就已形成一条共识 即只有拥 有知识的人才能当教师 随着时代的发展和社会的进步 教师需要什么知识 这一问题的内涵越来越丰富 自 20 世纪 80 年代初起 研究者们从不同的角度提出了教师需要 什么样知识的各种模型 其中 最有影响力的是美国学者 Shulman L S 和其同事们的观点 1 他们针对当时美国教师 教育中的培养模式 教师资格认定和教师教育研究中所存在 的学科知识与教育学知识分离的现象 Shulman 称这些现象 为 缺失的范式 经过一系列的研究后 提出 Pedagogical Content Knowledge 简称 PCK 这一概念 指出成功的教 学不仅需要学科知识 而且需要 PCK 即成功的教师不能 仅仅对某一概念 原则或原理有直觉的或个人的理解 2 为 了促进学生的理解 他们必须自己先理解向学生表征概念的 方法 他们必须要有如何把内容转化以适合教学目的的知 识 PCK概念提出后 很多国外学者对它作了大量研究 2005 年以后 PCK 开始引起我国教育研究者的关注 并迅速成 为教师知识研究的热点话题 有很多研究者将 PCK 翻译成 学科教学知识 3 4 也有一些研究者为了突出从教学法角度 理解 PCK 的重要性 将 PCK 翻译成 教学内容知识 5 7 这 里采取后一种译法 若结合数学学科来剖析 PCK 即为数 学 教 学 内 容 知 识 Mathematical Pedagogical Content Knowledge 简称 MPCK 1 MPCK 的构成成分 1 1 PCK 的构成成分 Shulman 于 1987 年提出了包括 PCK 在内的构成教学的 知识基础的 7 类知识 1 学科知识 subject matter knowledge 2 一般教学法知识 general pedagogical knowledge 指超越各具体学科之上的关于课堂管理和组织 的一般原理和策略 3 课程知识 curriculum knowledge 指对作为教师的 职业工具 的教材和教学计划的掌握 4 教学内容知识 或者学科教学知识 pedagogical content knowledge 指对将所教的学科内容和教育学原理有机融合 而成的对具体课题 问题或论点如何组织 表达和调整以适 应学习者的不同兴趣和能力以及进行教学的理解 5 学习 者 及 其 特 点 的 知 识 knowledge of learning and their characteristics 6 教育环境的知识 knowledge of educational contexts 包括从班组或课堂的情况 学区的管 理和经费分配 到社区和文化的特征 7 关于教育的目标 目的和价值以及它们的哲学和历史基础的知识 knowledge of educational ends purpose and values 由此可见 Shulman 强调 PCK 是在学科知识和一般教学法知识的基础上产生 的 是最能区分学科专家与教师的不同的一个知识领域 之后 有许多学者对 PCK 的内涵进行了扩展 其中 有代表性的是 Grossman 的观点 该学者认为 PCK 包括 4 个部分 1 教师关于一门学科教学目的的统领性观念 关于学科性质的知识 关于学生学习哪些重要内容的知识或 观念 2 关于学生对某一课题理解和误解的知识 3 关 于课程和教材的知识 它主要指关于教材和其他可用于特定 主题教学的各种教学媒体和材料的知识 还包括了学科内特 定主题如何在横向课程 与各相关科目课程的联系 与垂直 课程 了解学生所学过与将要学的事物 上组织和结构的知 识 4 特定主题教学策略和表征的知识 8 第 2 期 李 渺等 数学教学内容知识 MPCK 的构成成分表现形式及其意义 11 Cochran King 和 DeRuiter 从动态生成的角度进一步发 展了 PCK 的构成成分 在 PCK 已有构成成分的基础上 他 们强调主体在认知和理解学科以及教学知识过程中的主动 性 提出 学科教学认知 pedagogical content knowing 简 称 PCK 的概念 其中包含 4 个成分 学科知识 一般教 学法知识 关于学生的知识 学生的能力 学习策略 年龄 和发展水平 态度 动机以及他们对所学学科拥有的前概念 和关于学习情境的知识 主要指教师对形成教与学过程的社 会 政治 文化等外在环境的理解 他们用维恩图 图 1 所示 表示 PCKg 位于这 4 部分交叉 重叠部分的中心 同 时 他们指出 这是一个开放动态的系统 基于不同领域的 经验及反思活动 教师对这 4 种成分的理解是在这 4 种知识 成分综合与整合的过程中而不断发展和变化的 其 PCKg 也 得 到 不 断提升 9 Mishra 等 学 者 于 2006 年 把 技术 technology 补充到 PCK 中 提出 TPCK technology pedagogical content knowledge 这一概念 由学科知识 教 学知识和技术知识构成 10 Angeil等学者于2009年对TPCK 的构成成分进一步发展 在原有 3 类知识的基础上再增加关 于 学 生 的 知 识 和 关 于 学 习 环 境 的 知 识 提 出 了 ICT TPCK 其中 ICT 是指如何操纵电脑设备 如何使用 大量的工具 软件 以及当出现故障时解决办法的知识 11 图 1 PCKg 的发展综合模型 说明 说明 在该模型中 向外不断扩张的 4 个圆圈分别表示教师四种知识 成份的发展 圆圈之间交会的地方代表知识成份间不可分离的部分 图 中的中心部分及黑色加粗箭头表示教师 PCKg 的发展 即教师不断整合 学科知识 教学知识 学生知识 情境知识 4 种知识而形成学科教学认 识的过程 图中心 3 个由小到大的椭圆则表示 PCKg 不断地由小到大地 发展与变化的过程 1 2 MPCK 的构成 有学者认为 6 数学教师开展常规教学所具备的知识有 3 类 数学学科知识 mathematics knowledge 简称 MK 一般教学法知识 pedagogical knowledge 简称 PK 有关 数学学习的知识 content knowledge 简称 CK 这里 把 学习对象 学生 学习背景 学习环境 教育宗旨等方面 的知识全部归入这类知识 那么 在实际开展教学时 教 师往往需要综合运用这 3 类知识 才能够把科学形态的数学 知识有效转化为教育形态的数学知识 才能够帮助学生理解 数学 而这 3 类知识的综合与融合就是数学教学内容知识 mathematical pedagogical content knowledge 简称 MPCK 即数学教师从事数学教学所应具备的核心知识 其结构如图 2 所示 图 2 表明 MPCK 是 3 个基本集合 MK PK CK 的公 共部分 一般而言 职前教师 职初教师 在职优秀教师的 MPCK 基本结构框架是一样的 但是 3 个基本集合与集合 的交集的大小有区别 通常情况下 随着教学经验的积累 MK PK CK 往往会增大 而且它们的交集部分会越来越 大 形成的 MPCK 就会越来越丰富 图 2 MPCK 一般结构图 有研究者认为 12 数学课堂教学中的 PCK 含有 5 种构 成成分 图 3 数学教学的统领性观念 内容组织的知识 学生理解的知识 效果反馈的知识和教学策略的知识 其中 数学教学的统领性观念居于统帅地位 它决定教什么 内容 组织的知识主要确定学生的学习结果 是确定教学目标的主 要依据之一 学生理解的知识确定学生学习的起点 教学策 略设计学生的学习过程 效果反馈校正学生的学习偏差 是 学生学习过程的保障措施 图 3 数学教师的 PCK 结构 综上所述 可以看到 最初 Shulman 是针对当时教师教 育及其研究中所存在的学科知识与教育学知识的分离现象 提出学科知识应与教育学知识相结合 其结合物就是 PCK 在以不同的标准对教师知识进行分类的基础上 后来 的研究者修改和拓展了这一概念 在这些宽泛的概念中 PCK 的构成成分实际上涉及到教师知识的各个方面 如学 科知识 一般教学法知识 教育目标知识 关于学生的知识 关于学习情境的知识和关于教育技术的知识等 甚至有的研 究者还把学科教学目的的统领性观念也纳入到 PCK 的构成 成分之中 然而 研究者们对 PCK 的本质是达到共识的 即它是关于教师如何将学科知识转换成适应学习者的不同 兴趣和能力 以使学习者更好地进行有关学习方面的知识 数学教学的统领性观念 内容组织的知识 学生理解的知识 效果反馈的知识 教学策略的知识 教学法知识 PK 内容知识 CK 数学知识 MK 教学内容知识 PCK 数学教学法知识 MPK 数学教学内容知识 MPK 数学内容知识 MPK 一般教学法 知识 学科知识 学生知识 情境知识 学科教学 知识 12 数 学 教 育 学 报 第 20 卷 其背后是各种类型的教师知识的共同支撑 为了方便研究和突出重点 对于中小学数学教师而言 MPCK 是由数学学科知识 MK 一般教学法知识 PK 有关数学学习的知识 CK 以及教育技术知识 TK 融合 而成 其本质是教师如何将数学知识的学术形态转化为教育 形态 以促进学生的数学理解 提高学生的数学能力和提升 学生的数学素养 其中 1 MK 有 4 个维度 数学观念 主要是指对数学学科 的看法和认识 学科内容知识 主要包括数学概念 数学 定理 数学法则 数学公式 数学题目等 数学思想方法 以及数学史知识 2 PK 有 4 个维度 教育观念 主要指对教育的看法 和认识 教育理论知识 主要包括教育本质 教育目的等 方面的知识 课程知识 主要包括课程编排 课程内容等 方面的知识 以及教学知识 主要包括教学目标 教学原则 教学内容 教学方法 教学评价 教学管理等方面的知识 3 CK 有 3 个维度 学生发展的知识 主要包括学生 的心理发展 思维发展 已有的知识经验和学习疑难点等方 面的知识 学生学习的认知因素与非认知因素知识 主要 包括学习策略与方法 学习态度与能力 学习动机与风格等 方面的知识 以及学习环境的知识 主要包括社会 政治 文化等外在大环境以及课堂学习的物理环境和心理环境等 方面的知识 4 TK 有两个维度 有关传统教学媒体的知识以及有 关现代教育技术的知识 主要包括有关计算机基本操作和相 关教学软件操作等方面的知识 2 MPCK 的表现形式 作为 MK PK CK 和 TK 的融合 MPCK 是不同于其 任一构成成分的一种教师知识 那么 它以何种形式表现于 教学实践之中呢 根据 Shulman 的观点 PCK 是一种实用 性知识 它的核心要素有 第一是直面学生教学如何架构 structure 和呈现学科内容的知识 第二是有关学生在学习 具体的内容时可能拥有的共同的概念 误解 misconception 和困难的知识 第三是在具体教学情况下能满足学生学习需 求的具体教学策略等 在此基础上 有研究者 13 认为 PCK 是专指教师对 表 达数学概念和过程的方式 的知识 主要包括两个方面 1 关于 方式 是什么的知识 也就是说 在表达一特定 数学概念时有多少有效或不那么有效的方式 这些方式是 什么 2 关于从教学的角度怎样选择方式的知识 也就 是说 对课堂教学来说这些方式有些什么优点和缺点 学生 在理解某一特定数学概念时可能会有哪些困难 有什么较 为容易的方式让他们理解 此观点实际上是结合心理学上 的知识分类来考虑 MPCK 心理学把知识分为陈述性知识 关于 是什么 的知识 和程序性知识 关于 怎么办 的知识 MPCK 是一种知识 因此 MPCK 也包含陈述性知 识和程序性知识 包括自动化的教学技能和灵活的教学 策略 此外 若从微观和宏观层面上看 可把 MPCK 分为话 题 MPCK 3 Topic Specific PCK 和课堂 MPCK 其中 话 题 是指数学学科中具体的数学问题 包括数学概念 数学 定理 数学公式 数学法则 数学题目等 而话题 MPCK 就是关于这些话题方面的 MPCK 课堂 MPCK 是关于数学 课堂教学方面的 MPCK 它贯穿于课前 教学准备 和课中 教学实施 基于此 对于话题 MPCK 而言 其表现形式是 针对 特定内容和特定学生 教师 呈现 数学问题的方式 对于 课堂 MPCK 而言 其表现形式是 针对特定内容和特定学 生 教师 组织 呈现 调整 数学课堂教学的方式 其中 组织方式 包括教学材料 教学结构 教学提问 教学时 间 课堂管理等方面的安排 呈现方式 包括解释 举例 比喻 符号 表格 图形 图像 模型 情境 操作 演示 等 调整方式 包括课堂监控 课堂诊断 课堂反馈 教 学机智等 同时 这 3 种方式都包括相应的陈述性知识和程 序性知识 2 1 话题 MPCK 根据数学问题的来源 可把话题 MPCK 又分为两个层 面 一个层面是来自学生提出的数学问题 一个层面是来自 教师自己准备给学生讲解的数学问题 话题 MPCK 主要体 现在教师 呈现 数学问题的方式 比如 面对 一次函数bkxy 的图像是直线 用 一张 A4 纸能剪出多大的洞 为什么正数一定可以开平 方 等数学问题 在分析了相关的 MK PK 和 CK 后 呈现的方式有哪些 初 高中教师分别如何呈现 一般教师 和经验教师呈现的方式又有哪些不同 6 面对 今携一壶 酒 游春郊外走 逢朋加一倍 入店饮斗九 相逢三处店 饮尽壶中酒 试问能算士 如何知原有 设 R 且 1 1 1997 1 3 1 1 1997 1 3 求 的值 等数学题目 在分析了相关的MK PK和CK后 小学 初中 高中数学教师分别如何呈现 14 15 2 2 课堂 MPCK 课堂MPCK主要体现在两次 转化 之中 第一次 转 化 体现于教学准备中 表现为教师在把握教学目标 教学 内容 教学对象 学生的已有知识经验 思维特点 学习误 解 学习疑难点 学习能力 学习动机 学习兴趣 学习风 格等 的基础上 如何选择 组织 呈现和调整 的方式 第二次 转化 主要体现于教学实施中 表现为教师对 组 织 呈现和调整 方式的灵活运用 比如 有研究者 16 以分数教学内容为例 从4个方面 考察教师的PCK 学生的思维特点与解题策略 诊断学生 的错误概念 教师突破难点的策略与教学设计思想 还有研 第 2 期 李 渺等 数学教学内容知识 MPCK 的构成成分表现形式及其意义 13 究者 17 以单元 数学广场 谁围的面积最大 为例 从 教学设计 教学目标 教学内容 任务 教学对象 教学 策略以及课堂教学过程 教学方法 教学效果等方面比较小 学数学新手和专家教师的PCK 显然 不同教师 呈现 数学概念或 组织 呈现和调 整 数学课堂教学的方式是不同的 那么 如何评价教师的 MPCK呢 以下几点是需要把握的 第一 面对特定内容和特定学生 教师是否具有多样化 的 组织 呈现和调整 方式 能否说出这些方式的优 缺 点 能否说出选择某一或某几种方式的依据 第二 教师所选择的 组织 呈现和调整 方式是否符 合学生的已有认知结构 能否解决学生的误解和学习疑难 点 能否满足学生的学习需求 第三 在教学实践中 教师能否灵活运用所选择的 组 织 呈现和调整 方式 相应的方式能否促进学生数学理解 的深入 能否促进学生数学能力的发展 能否促进学生数 学素养的培养 3 MPCK 对数学教师专业发展的意义 3 1 有助于数学教师进一步加深对数学教师专业的认识 3 1 1 MPCK体现了数学教师专业的独特性 MPCK是区别数学学科专家与数学教师的重要特征 体现了数学教师专业的独特性 例如 对于数学学科专家来 说 他们所考虑的更多是数学本身 而数学教师不仅自己要 知道有关数学知识 而且还要向学生解释这些数学知识 此 外 数学教师还要知道学生的学习疑难点以及准备用什么样 的教学策略来解决这些疑难点 所有这些都需要数学教 师将数学学科知识 学生思维特点方面的知识以及其他方面 的知识融合起来 即需要MPCK 也就是说 MPCK体现 了数学教师专业的独特性 3 1 2 MPCK是数学教师专业发展的核心 MPCK也是区别专家教师和新手教师的重要体现 是 数学教师专业发展的核心 有研究表明 与非专家教师相比 专家教师更能了解学生在学习特定内容方面的思维特点 在 诊断学生的错误概念方面 虽然非专家教师也能发现学生的 错误 但不能很好地揭示学生错误的本质 而专家教师能够 根据知识之间的前后联系 识别出学生错误的根本原因 并 能从相关概念的意义入手 通过多种表征方法 启发学生理 解概念的本质 16 所以说 MPCK对于学生的数学理解和 教学效果都有较大的影响 是数学教师专业发展的核心 3 2 有助于数学教师进一步发展专业知识 MPCK是数学教师从事教学所需具备的核心知识 它 具有融合性 学科性 实践性和情境性等特点 3 2 1 MPCK丰富了数学教师专业知识的学习内容 如前所述 MPCK是MK PK CK与TK的融合 其 中 MK是最基本的成分之一 正因为此 MPCK具有鲜明 的学科性 所以 教师在进行专业知识学习时 必须注重 MK的学习 目前 教师对MK的掌握情况并不乐观 孝感 学院李渺教授曾对参加2010年 省农村骨干教师置换培训 项目的40名学员做了一个小调查 请尽可能多地给出勾 股定理的证明方法 综观勾股定理的证明方法 大约有200 多种 但是 调查结果表明 大多数学员只能给出3种证明 方法 这从一个侧面反映了目前数学教师对MK的掌握情 况 此外 数学教师在学习时 还要特别注重TK的学习 合理运用TK可丰富教师 呈现 数学问题的方式 比如 对于有关数学学习内容 教师借助 几何画板 软件 不仅 可以使得在传统教学中只能静态表现的结果有动态的展示 过程 而且还可以指导学生猜测 发现 验证 研究几何关 系和几何规律 从而加深学生的数学理解 所以 TK应是 教师专业知识的主要学习内容之一 特别需要注意的是 俗话说 要给学生一杯水 教师 自己首先要有一桶水 这只说明了一名合格教师所需的知 识量 MPCK的融合性特点表明 如果这一桶水只是某一单 一类型的知识 那么相关的教学效果不会很好 也就是说 教师不仅需要掌握数学知识 MK 一般教学法知识 PK 有关学生的知识 CK 和有关教育技术的知识 TK 而 且还需要掌握这些知识的融合 MPCK 这样 当面对特 定内容和特定学生时 教师才能采用有效的 组织 呈现和 调整 方式 达到更好的教学效果 3 2 2 MPCK凸显数学教师专业知识的发展途径 MPCK与特定内容和特定学生密切相关 它具有实践 性 情境性特点 这些特点均表明 从教学实践中学习 是 教师发展专业知识的主要途径之一 首先 MPCK的实践性表明 教师知识的发展与教师 的教学实践紧密联系 换言之 一名教师不可能仅仅通过阅 读有关知识而成为一名优秀教师 教师的学习离不开教学实 践 正如西方学者奥卡肖特所言 有种知识 仅存在于 实践中 并且获取它的唯一方法是通过学徒制来掌握 这并 不是因为师傅能教他 而是因为这种惟有通过持续不断地与 长期以来一直实践的人相接触才能获得 18 同时 在这个 学习过程中 教师需要仔细观察优秀教师的教学 用 心 学习其中的教学智慧 这样 才能使自己不断获得教育教学 的真谛 才能使自己得到迅速的成长 其次 MPCK的情境性表明 教学是什么 如何 进行教学 不是一种静态的理论体系 不是简单的 技术 技能 问题 而是需要教师首先理解阐释相关知识的背景 意图 叙述语言的方式等 然后 从学生的已有知识经验和 思维特点出发 根据特定内容 特定学生来思考有关问题 寻求解决学生学习疑难点的最优方法 并做出教学决策 在 这个思考过程中 教师不断理解专业知识 不断运用专业知 识 不断生长新的专业知识和不断发展专业知识 MPCK中还有很多问题需要进一步研究 比如 优秀 14 数 学 教 育 学 报 第 20 卷 教师MPCK的特点 MPCK的发展途径与影响因素 基于 MPCK的案例研发 MPCK与教师的情感 品德与教学效 能感之间的关系 等等这些问题都将是继续研究的方向 参 考 文 献 1 Shulman L S Knowledge and Teaching Foundations of the New Reform J Harvard Educational Review 1987 57 1 1 22 2 Shulman L S Those Who Understand Knowledge Growth in Teaching J Educational Research 1986 15 2 4 14 3 廖元锡 PCK 使教学最有效的知识 J 教师教育研究 2005 6 37 40 4 杨彩霞 教师学科教学知识 本质 特征与结构 J 教育科学 2006 22 1 60 63 5 景敏 基于学校的数学教师数学教学内容知识发展策略研究 D 华东师范大学 2006 6 黄毅英 许世红 数学教学内容知识 结构特征与研发举例 J 数学教育学报 2009 18 1 5 9 7 童莉 数学教师专业发展的新视角 数学教学内容知识 MPCK J 数学教育学报 2010 19 2 23 26 8 Grossman P L The Making of a Teacher Teacher Knowledge and Teacher Education M New York Teachers College Press 1990 9 Cochran K DeRuiter J King R Pedagogical Content Knowing An Integrative Model for Teacher Preparation J Journal of teacher Education 1993 44 4 263 272 10 Mishra P Koehler M J Technological Pedagogical Content Knowledge A New Framework for Teacher Knowledge J Teacher College Record 2006 108 6 1 017 1 054 11 Angeil C Valanides N Epistemological and Methodological Issues for Conceptualization Development and Assessment of ICT TPCK Advances in Technological Pedagogical Content Knowledge TPCK J Computers Education 2009 52 1 154 168 12 董涛 数学课堂中PCK的结构 J 内蒙古师范大学学报 教育科学版 2010 8 122 124 13 范良火 教师教学知识发展研究 M 上海 华东师范大学出版社 2003 14 张红 孙立坤 李昌勇 高观点下的初等数学与数学教师MPCK的优化案例剖析 J 数学通报 2009 7 22 26 15 张红 孙立坤 李昌勇 课程背景下数学史与MPCK的优化案例 J 福建中学数学 2010 20 19 21 16 李琼 倪玉菁 萧宁波 小学数学教师的学科教学知识 表现特点及其关系的研究 J 教育学报 2006 4 58 64 17 上海市青浦实验研究所 小学数学新手和专家教师PCK比较的个案研究 J 上海教育科研 2007 10 47 50 18 夏正江 论知识的性