如何为小学生讲透“中国剩余定理”的算理.doc

如何为小学生讲透“中国剩余定理”的算理在上一篇运用“中国剩余定理”解小学数学题的方法四中，对一个未参透“中国剩余定理”者来说也许知其然而不知所以然，云里雾里，既然是讲解给小学生听的，如何讲透其中的道理呢？为此，特以“一个整数除以三余一，除以五余二，除以七余三，求这个最小整数。”此例进一步分析其每一步的道理，供大家参考。上所述：【例】一个整数除以三余一，除以五余二，除以七余三，求这个最小整数。列式为：701+212+153-105=52，自拟的“若设要求的这个最小整数为N,数论倒数分别为M1、M2、M3，余数分别为a1、a2、a3，除数的最小公倍数的整数倍为C,那么公式为：N=M1a1+M2a2+M3a3-C”，对小学生而言“数论倒数”权当是一个数学名词，不必深究。下面就针对“701+212+153-105=52”列式中的每一步推理演算作一一说明：要求出这个最小整数必须符合三个条件：即除以三余一，除以五余二，除以七余三。若要一次性找出其答案实属不易，为此，我们的思路是化难为易，步步推进。假设一个整数除以三余一，能被五和七整除，求这个最小整数。大家都知道，能被五和七整除的数是35，但35不满足“除以三余一”条件 ，因为353=112，最小的是70，因703=231（我们把70这个数称为35相对于3的数论倒数，注意余数是1的时候。），70除以三余一，又能被五和七整除，所以这个最小的整数为70. 即701 。又假如一个整数能被三整除，除以五余二，又能被7整除，求这个最小整数。能被三和七整除的数是21， 215=41（这时我们说21相对于5的数论倒数为21），但不是余2，怎办？先看一个例子，65=11、125=12、185=13、245=14等，我们发现：被除数扩大几倍，除数不变，余数也扩大几倍。于是便知，因余数为二，所以21需要扩大两倍，即212能满足“被三整除，除以五余二，能被7整除”这三个条件，所以这个最小的整数为212。再假如一个整数被三整除，能被五整除，除以七余三，求这个最小整数。能被3和5整除的数为15，而157=21（这时我们说15相对于7的数论倒数为21）但不是余3，同理，153能满足“被三整除，能被五整除，除以七余三”的条件，所以这个最小的整数为153。列式中701+212+153，为什么把701、212、153它们的积相加呢？也得先看一个例子：117=14、（11+7）7=24、（11+14）7=34、（11+21）7=44、（11+28）7=54等等，我们发现：被除数加上（或减去）除数的倍数，除数不变，余数也不变。为此，701满足“除以三余一，能被五和七整除”的条件， 212是3的倍数，可得701+212也满足“除以三余一，能被五和七整除”的条件。反过来说，因701是5的倍数，不仅212满足“被三整除，除以五余二，能被7整除”的条件，所以加上701也满足该条件 ，即(701+212)满足“被三整除，除以五余二，能被7整除”条件；同理，既然（701+212）满足“除以三余一，能被五和七整除”和“被三整除，除以五余二，能被7整除”这两个条件，因153既是3的倍数又是5的倍数，由此可得（701+212+153）也能满足“除以三余一，能被五和七整除”和“被三整除，除以五余二，能被7整除”的条件。反过来说，因153满足“被三整除，能被五整除，除以七余三”的条件，因（701+212）又是7的倍数，所以（701+212+153）也能满足“被三整除，除以五余二，能被7整除”条件。综上所述，（701+212+153）同时满足“除以三余一，能被五和七整除”、 “被三整除，除以五余二，能被7整除”和“被三整除，除以五余二，能被7整除”这三个条件，即（701+212+153）满足“除以三余一，除以五余三，除以七余二”的条件，也就是说，这个整数可以是（701+212+153）=157，但它不是最小的，根据“被除数加上（或减去）除数的倍数，除数不变，余数也不变。”所以157可以减去3、5、7的最小公倍数105（有时需要减去最小公倍数的倍数）得52，所以，这个最小的整数为52.在中国古代著名数学著作孙子算经中，有一道题目叫做“物不知数”，原文如下:有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？ 即一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。中国数学家秦九韶于1247年做出了完整的解答，口诀如下：三人同行七十希，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知。其中的70、21、15其实是对应的数论倒数，所以列式为：702+213+152-1052=23.根据上述方法，可以这样推理演算：35直接满足“除以三余二，能被五、七整除”，213满足“除以五余三，能被三、七整除”， 152满足“除以七余二,能被三、五整除”，故列式为：35+213+152=128，因其大于105，所以这个最小的整数为128-105=23.为此，若设要求的这个最小整数为N,数论倒数（即除以