构造函数证题.doc

构造函数证题的妙想与思维方法的探讨1引言构造函数法在数学领域中广泛地被采用着，它们起着桥梁式的作用，甚至有些是起着无法替代的作用因此想通过本论文给大家介绍一些构造函数法的基本思路首先给出构造函数法及构造法的定义，然后重点从实例出发，研究构造函数及其思维方法在具体问题中的应用，最后简单介绍构造思维方法解题的过程和解题策略所谓构造函数法，就是利用数学中的概念和方法，按固定的模式经过有限个步骤，达到能够定义辅助函数和实现命题论证的方法而构造函数，就是为了使某一数学命题或者某一数学概念，通过已知的数学概念和方法，在题设的约束条件下，去达到证明或者说明某结论或概念的正确性的目的相信本论文对初学者能起到一定的帮助作用，一方面帮助大家抓住构造函数及其思维方法的关键所在，另一方面又配有相应的典型例题解说，使大家少走弯路提高学习效率，同时开阔学术视野2 数学中常见的构造函数法及其思维方法的应用2.1构造函数法在解、证等式、不等式中的应用有关解、证等式、不等式的问题，一般运用比较法、分析法、综合法等然而对有些问题运算比较麻烦，且不易得到结果这时，如针对所解决的问题构造一个辅助函数，则原来问题的求解或证明，就转化为对这一函数性质的研究.可以运用函数的图像、单调性、奇偶性、最值、连续和微积分等性质来帮助解决，运算过程就会变的比较容易了2.1.1构造函数在证明等式中的应用 例1 已知 ，求证：分析 由，可联想到三角函数中的关系式，若令，则 ，此时用、表示、，再计算的值是否为就行 证明 设，则 ,由上面的两式分别得 ， ,故2.1.2构造函数在证明一般不等式中的应用 例2 设、是的三条边，证明分析 根据不等式的结构特征，经过等价变形，从一个含多元的数学问题里，选定合适的主要变元，从而把问题转化为研究函数的性质证明 由题意不妨设 ，令 ，原不等式等价于，由函数的图像是一条开口向上的抛物线，知函数在上单调递减又，要证明，只须证明即可，而 ，又，则，即，故命题得证例3 求证： 分析 此题有多种证法，这里介绍一种颇具新意的、用构造函数求导数的证题思路导数的一个重要应用是能快速的判断函数的增减性证明 先构造函数 ，再求出其导数 ，因，则当时，为增函数， 又因, 所以有即 2.1.3构造函数证数列不等式 例4 求证 分析 可以尝试用数学归纳法证明，但较繁琐，注意到原数列不等式等价于 ，启发我们构造数列，利用数列的单调性去探寻证明 设 , 由 ，知是递增的 ,又，故有，从而命题得证2.2构造函数法在求极限和求解方程方面的应用构造函数法是数学解题中最富有活力的数学转换方法如能恰当的运用，不仅能把问题变繁为易、变抽象为具体，达到难题巧解的目的，而且能大大丰富学生的想象能力，培养学生解题的整体意识和创造性思维能力2.2.1构造函数在求极限中的应用例5 求 解 构造辅助函数 ，而，则当时，是型的不定式由罗必达法则，有 ,又由是关于的连续函数，得 ，由此思路总结 构造恰当的辅助函数；化离散变量为连续变量，而且还必须考虑连续变量相应的极限过程，如本例中用到罗必达法则的过程；求解的关键在于考虑辅助函数极限的求得2.2.2构造函数在讨论方程根中的应用论证方程根的题目，主要有两类，一类是结合闭区间上连续函数的零点定理去思考；另一类是在已知函数的基础上论证导函数方程根的情况，此时就要考虑罗尔定理了例6 设、 为满足 的实数证明：方程在内至少有一根 分析 函数虽然在上连续，但却难以验证在上的某个子区间的端点处的函数值是否异号但是经分析的原函数 ，在处的函数值恰好是式子的左边，因此该命题可利用罗尔定理来证证明 构造函数，显然函数在上连续，在内可导，又因为，由罗尔定理，存在一个，使得,即，命题得证2.3微分中值定理证明中辅助函数的构造及其应用“构造函数法”是微积分学里经常用来证明一些重要定理的重要方法许多文献中， 中值定理、罗尔定理和中值定理的证明都运用到了构造辅助函数，其推理过程简单明了具体的来说罗尔定理证明中是构造出了满足引理的辅助函数，进而推导出了结果；而中值定理和中值定理则都是构造出了满足罗尔定理条件的辅助函数，来推导出了最终的结果微分中值定理的证明实现了函数与其导数之间的沟通，是利用导数的局部性质研究函数整体性质处理这类问题，关键在于如何构造出能够满足罗尔定理，中值定理和中值定理条件的辅助函数下面以举例的形式介绍几种常用的辅助函数的构造方法2.3.1凑导数法（原函数法）例7 设函数在上连续，在内可导，证明：存在，使证明（证明一） 将欲证明的结论变形得 ，将等式中的自变量记为新的自变量，即 ,然后积分得 ，其中为任意的常数，得到的辅助函数为 ,显然在上连续，在内可导，又因为，满足罗尔定理的条件，所以存在， 使得 ，故 我们可将上述过程归纳总结为：将结论通过恒等变换，化为容易积分的函数形式，在结论积分不是很复杂的情况下,常用的方法是移项将等式一端变为常数；用替换变换后等式中的自变量；用观察法或者凑微分法求出原函数，则原函数即为所要构造的辅助函数；最后结合微分中值定理，推导出结论来证明（证明二） 将要证明的等式中的变量记为，然后积分得 ，得到的辅助函数为，可知， ，故由罗尔定理可得 ，存在，使得 ，即有 2.3.2 常数值法此法适用于常数已分离出来的命题，具体作法为：将常数部分定作，恒等变形，使等式一端为及，另一端为及构成的代数式；然后分析关于端点的表达式是否为对称式或轮换对称式，如把端点改为，相应的改为，则变换后的端点表达式就是所求的辅助函数例8 设在上连续，在内可导， 证明：在内至少存在一点，使得 分析 令，恒等变形为（对称式）证明 作辅助函数，即有 ,显然在上连续，在内可导，又 ，故由罗尔定理知，在内至少存在一点，使得， 即 2.3.3 乘积因子法例9 若在上连续，在内可导，且，证明：对 ,，使得分析 是个恒为正的因子，所证明的等式或不等式的两端都乘以或除以这样的一个因子，等式或不等式任然成立，于是想到是个理想的乘积因子证明 引入辅助函数，由题设知，在上连续，在内可导，满足罗尔定理条件，故在内至少存在一点，使得 ，即 ，所以注 对于某些关于函数的导数与函数之间关系的证明，直接构造函数往往比较困难，将所证结论的两端都乘以或除以一个恒正或恒负的函数，证明的结论往往不受影响，（为常数）是常用的乘积因子2.4 具体问题中应用构造函数法证题新解 通过构造函数，并运用函数的性质求解一些看似与函数无关的问题，继而将其转换为函数问题求解，构思巧妙，见解独到，极富思维的创造性2.4.1 运用复数乘法运算构造辅助函数 在给出例子之前，首先作一个必要的提示：由于复数与平面上的点，相对应，所以我们可以把复平面与直角坐标平面看成是一致的此外,应该说明的是:这代表的是一个类型，对结论形如的中值证明问题，只要函数、满足在上连续，在内可导，且的条件，都可以采用这里的方法进行处理下面我们采用此种方法来重新证明例7和例8，从而进一步阐述此种方法的证题思路例10 设函数在上连续，在内可导，证明：存在，使证明 所证等式即为 ， 令 ，对复数作复数乘法运算得 ,并取乘积的虚部作为辅助函数 ，则由 ，有 ，由题设条件知，满足罗尔定理的条件因此，存在一点，使得，即 ， 命题得证说明 复数是由的分母、分子所对应的函数，作为其实部和虚部构成的.例11 设在上连续，在内可导， 证明：在内至少存在一点，使得 证明 令，则 ，且 ,对复数作复数乘法运算得 ,并取乘积的虚部作为辅助函数，则有 ，由题设条件知，满足罗尔定理的条件，因此，存在一点，使得，即 说明 一般地，如果我们选择时，对于所作的复数乘法运算中的乘数即为.如果我们选取时，所作的复数乘法运算中的乘数则应为.对选取或时，所作的复数乘法运算中的乘数则应分别为或.并取其乘积的虚部作为辅助函数，即可证明这类问题.注 采用这里的方法还可以证明拉格朗日中值定理和柯西中值定理2.4.2 以变上限积分函数为工具构造函数例12 不等式：设、在区间上均连续，证明：.两种常用的证明方法：方法一 利用一元二次函数至多有一个零点，所以其判别式必定非正，由，其中为任意实数，从而有 , 即 ,将上式左端看作是的一元二次函数，那么上述不等式成立就意味着的一元二次函数至多有一个零点，所以其判别式必定非正，从而不等式成立方法二 用二重积分的方法证明 由于 ，其中，积分区域 ， ，且 ，又因 ，从而不等式成立新证法 利用变上限积分函数构造辅助函数，令 ，则显然，所要求证明的不等式，也即要证明，从而可以转化为证明在上为单调不增的函数即可由于、在区间上均连续，所以由变上限的积分函数的性质可以知道在上可导，并且可以由求导法则计算得到 ， ， ，所以当时， 故在上为单调不增，从而3总结本文主要介绍了构造辅助函数在一些数学问题中求解、证明的巧妙应用，从而体现了构造辅助函数法的重要性此论文分别从构造函数法在解、证等式、不等式中的应用、求极限和求解方程方面的应用、微分中值定理证明中辅助函数的构造及其应用、一些具体问题中应用构造函数法证题的新解这四方面举例说明辅助函数的巧妙之处，然而构造函数的内涵是非常丰富，没有固定的模式和