正定二次矩阵(论文).doc

正定（半正定）二次型的判定及其应用摘要：在二次型中，正定二次型占有特殊的地位，本文主要探讨了常见的正定二次型以及正定二次型的判定。重点讨论了正定二次型与行列式的联系，在函数最值问题中的应用。利用半正定二次型的性质，证明相关不等式，降低了证明的难度，简单易懂。关键字： 二次型 正定二次型 半正定二次型 相关应用目录引言1一、正定二次型111 定义11.2.常见正定二次型1二、正定二次型的判定2三、正定二次型的应用43.1 在函数极值问题中的应用43.2 正定二次型在线性最小二乘法问题中解中的应用63.3 利用半正定二次型的性质证明不等式6参考文献：8引言：设是一个数域, , 个文字的二次齐次多项式 称为数域上的一个元二次型, 简称二次型. 当为实数时, 称为实二次型. 当为复数时, 称为复二次型. 如果二次型中只含有文字的平方项, 即称为标准型.一、正定二次型11 定义：实二次型称为正定二次型，如果对于任意一组不全为零的实数，都有1.2.常见正定二次型1.2.1 二次型是正定的，因为只有在=0时，才为零。1.2.2实二次型是正定的，当且仅当1.2.3 设实二次型 (1)是正定的，经过非退化实线性替换 变成二次型 X=CY (2) (3)我们指出，关于的二次型也是正定的，或者说，对于任意一组不全为零的实数，都有 证明：事实上，令，代入(2)的右端，就得到对应的一组值，设其为，则因为C可逆，就有所以当是一组不全为零的实数时，则也是一组不全为零的实数显然二、正定二次型的判定定理6： n元实二次型是正定的充分且必要条件是它的正惯性指数等于n证 设二次型经过非退化实线性替换变成标准形 (4)上面的讨论表明，正定，当且仅当(4)是正定的，而二次型(4)是正定的，当且仅当，即正惯性指数为n定理5.4.1说明，正定二次型的规范形为 定义 实对称矩阵A称为正定的，若二次型正定因为二次型(5)的矩阵是单位矩阵，所以一个实对称矩阵是正定的，当且仅当它与单位矩阵合同引入：子式 ,称为的顺序主子式.定理7 实二次型是正定的充分且必要条件为矩阵A的顺序主子式全大于零证 必要性 设二次型是正定的对于每个k，1kn，令，则对于任意一组不全为零的实数，有因此是正定的由推论5.4.1，的矩阵的行列式故矩阵A的顺序主子式全大于零充分性 对n作数学归纳法当n=1时，由条件，显然有是正定的假设充分性的论断对于n-1元二次型已经成立，那么对n元情形，令，则矩阵A分块为由A的顺序主子式全大于零知道的顺序主子式也全大于零因此，由归纳假定，是正定矩阵，即有n-1阶可逆矩阵G,使取，则 再取， 则 令C=C1C2，a=ann- aGGa则有 两边取行列式，得由于|A|0，因此a0显然这就是说，矩阵A与单位矩阵合同所以A是正定矩阵，故二次型正定例1 判别二次型 是否正定解 的矩阵为，它的顺序主子式，所以，正定三、正定二次型的应用 3.1 在函数极值问题中的应用定理 设n元实函数在点P0的一个邻域中连续，且有足够高阶的连续偏导数，则函数在点P0近旁有性质：1）若正定，则P0为极小点；2）若负定，则P0为极大点；3）若不定，则P0非极大点或极小点；4）其余情形时，在点P0性质有待研究余项R的性质来确定。特别当是二次函数时，R=0，只要半正（负）定，则P0为极小（大）点例2：求函数的极值解：解方程组，易得，于是，经计算得 正定； 负定；不定。故在点，点，Z不取极值；在点，Z取极小值，；在点，Z取极大值，。例3 已知实数满足, 求的最大值和最小值.解 的矩阵为.,因此,特征值. 于是, 由定理可知, 在下的最大值为, 最小值为.3.2 正定二次型在线性最小二乘法问题中解中的应用众所周知，线性方程组可能无解。即任何一组都可能使得不等于0，我们设法找到，使得最小，这样称为方程组的最小二乘解。这种问题就叫最小二乘法问题。若记A为上述方程组的系数矩阵，。于是，使得值最小的X一定是方程组的解，而其系数矩阵是一个正定矩阵，它的惯性指数等于n，因此这个线性方程组总是有解的，这个解就是最小二乘解。3.3 利用半正定二次型的性质证明不等式其证明思路是: 首先构造二次型, 然后利用二次型半正定性的定义或等价条件, 判断该二次型（矩阵）为半正定, 从而得到不等式.例 3（不等式）设为任意实数, 则.证明 记因为对于任意, 都有, 故关于的二次型是半正定的.因而定理1知, 该二次型矩阵的行列式大于或等于0, 即. 故得.例4 证明 证明 记, 其中将矩阵的第2,3,列分别加到第一列,再将第2,3, 行减去第1行,得, 于是的特征值为0, 由定理可知, 为半正定矩阵, 即二次型是半正定的, 从而得, 即结论得证.例5 设是一个三角形的三个内角, 证明对任意实数,都有.证明 记，其中对做初等行变换得: , 于是的特征值为0, 1, , 从而得二次型是半正定的, 即对于任意实数, 得证.例6 设为阶半正定矩阵, 且, 证明.证明 设的全部特征值为, 则的全部特征值为. 因为为实对称矩阵, 所以存在正交矩阵, 使得 由于为半正定矩阵, 且, 则是半正定的, 且其中至少有一个, 同时至少有一个等于零. 故, 结论得证. 以上是根据不等式的要求证明该二次型为半正定二次型, 从而证明不等式. 使用这种方法简单, 方便.参考文献：1 王萼芳 石生明. 高等代数p205-231 M.高等教育出版社,20032 张禾瑞、郝鈵新高等代数 M. 北京: 高等教育出版社，