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第2 1 卷第3 期 V 0 1 2 1 一N o 3 百色学院学报 J o U R N A Lo FB A l S EU N I V E R S I T Y 2 0 0 8 年6 月 J u I L2 0 0 8 伴随矩阵A 的一个性质的一种证明 黎勇 王松华 百色学院数学与计算机信息工程系 广西百色 5 3 3 0 0 0 摘要 文章从两个引理出发 给出降秩矩阵A 的伴随矩阵的特征值性质的一种证明方法 为 解决相关问题提供了一种思路 关键词 伴随矩阵 秩 代数余子式 特征值 分类号 0 1 5 1 2 1 文献标识码 A 文章编号 1 6 7 3 8 2 3 3 2 0 0 8 0 3 一0 0 2 2 一0 2 定义 设九阶方阵A 一 口1 1n 1 2 口2 1口2 Z 口n I乜 2 n l n 2 H n 则A A 1 l A 2 1 A 1 A 1 2 A 2 2 A 2 A 是元素n 的代数余子式 i 一l 2 咒 引理1 若齐次线性方程组 f n l l z l 口1 2 2 2 口l z I 口2 1 z l n 2 2 2 2 n 2 z 1 口 1 z l 口 2 2 2 n z 的系数行列式lAI O 而lAl 中某一元素乜d 的代数余子式A 乜4 f 2 从自 O O A l A 2 A 称为矩阵A 的伴随矩阵 其中 1 O 0 则这个方程组的解都可表示为 舱 证明 因为口 A 口 A 口h A f IU惫 l 又因为fAf 一0 所以 A A 恐 A 是 1 的一个解 且A 中的每一列都是 1 的解 因为fAf o 且元素口 的代数余子式A j o 所以系数矩阵A 中存在一个不为 的挖一1 阶子式 所以秩A 一行一1 即方程组 1 的基础解系仅含一个解向量 因为A O 所以 A n A A O 故线性无关 即 A z A 坨 A 是 1 的一个基础解系 所以原方程组的所有解均可表示为 酗n 融 融 志为任意实数 所以A 的每一列可表示为A A A 的适当倍数 即 A 志l A 1 志l A 挖 忌l A 白 志z A i l 志2 A j 2 志2 A i 收稿日期 2 0 0 8 一0 3 1 1 作者简介 黎勇 1 9 7 3 男 壮族 广西靖西县人 百色学院数学与计算机信息工程系讲师 王松华 1 9 7 0 男 壮族 广西隆林各族自治县人 百色学院数学与计算机信息工程系教师 2 2 黎 勇 三松竺 堡堕堑堕垒 塑二 丝垦塑二塑至望 f 咒若秩A 一 l 引理2设A 为行阶方阵 则秩A 1 若秩A 咒一1 o若秩A n 一1 证明 当秩A 2 时 IAI O 因为A A lA E 所以IA A l l lA El lAl 即lA I2A l 1 O 所以秩A 一7 l 当秩A 咒一l 时 A 的所有咒一l 阶子式都为o 所以A 的每一组成元素A 都是o 即A 是零矩阵 所 以秩A 一o 当秩A 咒一1 时 由引理1 知A 的每一列都可表示成A n A A 的适当倍数 所以 A 七1 A n 愚1 A 记 忌l A 忌2 A i l 五2 A 担 愚2 A 自 O O A f l O O 0 O A O O O 0A h 0 O 所以秩A 1 证毕 定理降秩矩阵A 的伴随矩阵A 的行个特征值至少有以一1 个为o 且另一个非 特征值 如果存在的 话 等于T r A f O若秩A 咒一1 证明 因为A 是降秩矩阵 所以由引理2 知秩A 2i 1 善簇A 一起一1 当秩A 一 时 A 为零矩阵 易知此时A 的行个特征值全部是o 当秩A 1 时 由引理2 证明知 厂A A I 腰一A I A 一是l A f l 一A i l 一是 A l 一忌l A i A A 一是 A 一足1 A 自 一A 加 A 一忌 A 新 J I 0A n O O 0 OA A 40 0 0 O A h O A A 1 A A 所以A 的特征值至少有力一1 个为o 若A 0 则另一个特征值为A A a 因为对矩阵A 来讲T r A 天 A 2 A 所以n A A l l A 2 2 A 一 O O O A d A 口 A 证毕 参考文献 1 张禾瑞 都柄新 高等代数 第四版 M 北京 高等教育出版社 2 0 0 0 2 徐德余 高等代数评估与测试 M 成都 四川科技出版社 1 9 9 0 责任编辑 李萍 2 3 伴随矩阵A 的一个性质的一种证明伴随矩阵A 的一个性质的一种证明 作者 黎勇 王松华 作者单位 百色学院 数学与计算机信息工程系 广西百色 533000 刊名 百色学院学报 英文刊名 JOURNAL OF BAISE UNIVERSITY 年 卷 期 2008 21 3 引用次数 0次 参考文献 2条 参考文献 2条 1 张禾瑞 郝柄新 高等代数 2000 2 徐德余 高等代数评估与测试 1990 相似文献 10条 相似文献 10条 1 期刊论文 王航平 伴随矩阵的若干性质 中国计量学院学报2004 15 3 系统讨论了伴随矩阵的秩 自伴随矩阵性质 伴随矩阵的运算性质及伴随矩阵对原矩阵性质的继承性 2 期刊论文 孙应德 杨德五 SUN Ying de YANG De wu 交换环上的伴随矩阵的一个注记 洛阳大学学报2006 21 2 讨论了交换环上伴随矩阵的若干性质 给出了整环上的一个主要结论 这些结果均推广了域上的结论 3 期刊论文 贾正华 伴随矩阵的一些性质 巢湖学院学报2004 6 3 伴随矩阵是一种很重要的矩阵 在这里我们初步探讨它的一些基本性质 4 期刊论文 刘敏捷 Liu Minjie m 重伴随矩阵 m A的若干性质 广西大学梧州分校学报2003 13 1 本文研究n n 2 阶方阵A的m 重伴随矩阵的性质 得到一些新的结果 5 期刊论文 高养恩 吴云天 马菊侠 GAO Yang en WU Yun tian MA Ju xia 关于伴随矩阵的有关问题 榆林高等专 科学校学报2002 12 4 给出伴随矩阵的性质 特征值及特殊矩阵的伴随阵 6 期刊论文 矩阵空间上保弱伴随矩阵的线性映射 纯粹数学与应用数学2009 25 3 为了刻画矩阵空间上保弱伴随矩阵的线性映射f 引入了保弱伴随矩阵的概念 以矩阵的弱伴随矩阵为不变量 得到了当n 3时数域F上从线性矩阵空间 Mn n F 到Mm m F 的保弱伴随矩阵的线性映射f的形式 7 期刊论文 马凤敏 李志梅 MA Feng min LI Zhi mei 方阵A的伴随矩阵A 的性质 邢台师范高专学报2001 16 2 本文讨论了n阶方阵A的伴随矩阵的性质 8 期刊论文 李艳 唐孝敏 Li Yan TANG Xiao min 三角矩阵空间上保伴随矩阵的加法算子 黑龙江商学院学报 自 然科学版 2000 16 1 刻划了任意域上的三阶上三角矩阵空间保伴随矩阵的加法算子的结构 9 期刊论文 叶留青 杜学武 伴随还原阵的一种简捷求法 工科数学2001 17