（基础数学专业论文）一类非自治扩散方程周期解及周期吸引子的存在性.pdf

中文摘要 本文主要讨论了一类非经典反应扩散方程蜥一a u t 一血+ 甙材) = 八，) ，在 厂( f ) 关于t 是丁周期的情形下的动力学行为一方面，采用g a l e r k i n 逼近方法 结合b r o u w e r s 不动点定理，证明了周期解的存在性另一方面，我们考虑了周 期一致前引吸引子的存在性首先将解半群离散化，考虑自治的离散动力系统 p o ( n t ) ，利用非紧测度和眇极限紧的方法，我们得到，对于每个0 ，p o ( n r ) 在空 间铲( q ) n 崩) 中存在全局吸引子由加) 关于时间t 是丁周期的，可知 ( 印关于0 是丁周期的最后验证了 ( l 眦的一致前向吸引性，这样就证明 了原系统周期一致前引吸引子的存在性 关键词：非自治；非经典反应扩散方程；周期解；周期吸引子；极限紧；g a l e r k i n 逼近 a b s t r a c t t h i st h e s i si sc o n c e m e dw i t ht h ed y n a m i c a lb e h a v i o ro fac l a s so f n o n c l a s s i c a ld i f f u s i o ne q u a t i o n s 撕一撕一a u + 甙“) = f ( oi nc a s e f ( 0i st - p e r i o d i ci nt f i r s t ，t h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n si se s t a b - l i s h e db yu s i n gt h eg a l e r k i na p p r o x i m a t i o nm e t h o da n db r o u w e r sf i x e d p o i n tt h e o r e m s e c o n d ，t h ee x i s t e n c eo f p e r i o d i cu n i f o r m f o r w a r da t t r a c _ t o r si si n v e s t i g a t e d u s i n gt h en o n c o m p a c t n e s sm e a s u r ew ef i r s ts h o w t h a tt h ea u t o n o m o u sd i s c r e t es o l u t i o ns e m i g r o u pp 0 dh a sag l o b a l a t t r a c t o r ( 口) i nt h es p a c e 俨( q ) n 砩( q ) t h e nw es h o wt h a t ( 回 i st - p e r i o d i ci n0 f i n a l l yw ec h e c kt h eu n i f o r ma t t r a c t i n gp r o p e r t yo f f ( 目) 日酿，t h u sp r o v i n gt h a t ( 们 眦i sp r e c i s e l yt h ep e r i o d i cu n i f o r m f o r w a r da t t r a c t o r so ft h eo r i g i n a ls y s t e m k e yw o r d s ：n o n a u t o n o m o u s ；n o n c l a s s i c a ld i f f u s i o ne q u a t i o n s ；p e r i o d i cs o l u t i o n ；p e r i o d i ca t t r a c t o r s ；l i m i tc o m p a c t n e s s ；g a l e r k i na p p r o x i m a t e 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得天津大学或其他教育机构的学位或证书而 使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意 学位论文作者签名：连生固签字日期：z 口d 了年6 月j 少日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解天津大学有关保留、使用学位论文的规息特授 权天津大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅同意学校向国家有关 部门或机构送交论文的复印件和磁盘 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：趋墨向 导师签名：锄掳 签字日期：z d 町午易月f y 日签字日期：如唧年f 月件日 第一章绪论 第一章绪论 l 1 问题的提出 扩散方程广泛出现在力学，物理学，化学及生物学等领域， 有十分丰富的背景和内涵，近几十年来一直倍受关注例如， 热传导问题，分子扩散问题等经过模型化处理往往会得到经典 的反应扩散方程下面以在三维空间中各向同性的介质q 内的 热传导问题为例，我们给出一个扩散方程的建立过程，主要参 考： 2 6 】 设t 为时间变量，o ，y ，力为空间点m 对于选定了直角坐标系的 坐标，选取温度”为表征此过程的物理量，u ( x ，y ，z ，f ) = 砜必力为温 度分布它表示在点m ( x ，弘z ) 处f 时刻的温度 热在介质q 内的传导遵守傅立叶( f o u r i e r ) 实验定律：设在q 内任意包括点m ( x ，y ，z ) 的一个小的面积微元凼，并指定好一个单 位法向畜，则在很小的时间i t ，t + 明内，通过凼流向磊所指的一侧 的热量是饱= 一妖五弘z ) 笔竽幽d t ，其中d s 同时表示微面积元的面 积，揪乃z ) 为介质在点必的热传导系数，加了负号表明热量由高 温区域的一侧流入低温区域的一侧 设f ( x ，y ，z ，f ) 是外加的体热源强度，以，y ，z ) ，c ( x , y ，乙) 分别为介质 的密度和比热在q 内任取一个小的微体元y ，a y 为其边界，根据 热传导定律，在时间区间i t 。，t 2 内此小微元内热量的平衡得等式 f d , f f f ( c p 窑) d x d y d z = ld t 辑羚d s + ld ts 髓f d x d y d z t l y t l d y i i y 其中囊表示关于a y 的外法向导数，右端两项分别表示根据 热传导定律通过边界流入y 内的热量和外加的热源提供给v 内 的热量，而左端表示由于温度的改变所需的热量 应用高斯公式，上述等式变为 f a , ( c p 窑) d x d y d z = f a , 瓦a 磊a u ) + 岳( 七雾) + 爰( 七象) + 用d x d y d 2 f i y i i y 由于i t ，t 2 和y 的任意性可得 印窑= 击 赛) + 而0l ，c 而o ) + 羞( 七老) + f ( x ，y ，z ，0 对于均匀介质，c ，p ，后均为常数而得 雾= a 2 ( 器+ 第+ 努) + 八五y , z ，r ) 第一章绪论 其中口= 专，f = c p 若，我们记”= 貉+ 貉+ 謦，i i t = 象则上式为 u t a 2 a u = a x ，y , z ，f ) 此方程称为热传导方程，它支配着温度场 所满足的一般规律 在实际中，我们还需要考虑介质q 与其周边环境进行热量 交换，若将其考虑进去，和上述建立数学模型的过程相似，我 们得到 蜥一a 2 a u + 甙功= 八工，y , z ，f ) 其中，烈材) 表示与周边环境热量交换有关的物理量 诸如热传导问题一样，许多扩散问题经过上述类似处理都 会得到反应扩散方程其中，经典的反应扩散方程的典型代表是 u t a u + 烈“) = ( 1 1 ) 由于这类方程有很好的应用背景，因此一直受到人们的重视 另一方面，在反应扩散方程的研究中，由于非线性项甙z ，) 的复杂 性，使得解的存在性、正则性和对初始值的连续依赖性以及长 时间动力学行为的分析等数学中的基本问题的研究难度增大， 因此，正引起越来越多的数学家、物理家、化学家、生物学家和 工程师的重视，然而当非线性项的主部是耗散的情形时，已经有 了许多深刻的结果r o b i n s o n 在文献【6 中给出了当非线性项反材) 是 任意阶多项式增长性条件时，问题( 1 1 ) 在l 2 ( f 0 中吸引子的存在 性；最近，文献 2 0 】分别得到了上述条件下4 ( q ) 和俨( q ) nh o ( q ) 中吸引子的存在性 但是，经典的反应扩散方程在许多情形下由于在建立模型 时忽略了太多的实际因素，所以只是理想化的模型，不能很好 的反映实际问题1 9 8 0 年，a i f a n t i s 在文献 1 】中指出，方程( 1 1 ) 并没 有包含反应扩散问题中的各个方面，即始终忽略了在固体扩散 过程中母质的诸如粘性、弹性、压力等因素而a i f a n t i s 在研究中 发现，作为揭示扩散的全部过程的能量方程，它的具体的构成 方程是随着扩散物质的性质的不同而不同的例如，反应扩散 过程中的固体母质有没有压力，有没有粘性或记忆，有没有弹 性等，其相应的构成方程是不一样的他通过多方面的例子，建 2 第一章绪论 立了扩散过程中考虑粘性、记忆、弹性、压力等因素的数学模 型，综合起来就是下面的非经典的扩散方程 甜，一l a a u r a u + g ( u ) = f( 1 2 ) 我们看到，粘性、记忆、弹性、压力等因素正是通过q 叫蜥”项 来反映的方程( 1 1 ) 可以看作是当粘性系数p _ 0 时，方程( 1 2 ) 的 极限方程正如a i f a n t i s 所说，文献的目的之一就是找到了描述 现代科技中出现的各种扩散过程的统一的数学模型非经典的 扩散方程广泛地出现在非牛顿流体、土壤力学及热传导理论等 领域，详见文献 4 ，1 4 ，1 6 从表面上来看，方程( 1 2 ) 含有项一血，这是它和经典的反应 扩散方程的最主要的区别，从而产生了本质的不同例如，经 典的反应扩散方程的解具有某种誓正则性”，或者是誓正则化 过程”，具体地讲，如果初值u 0 属于较弱的拓扑空间砩( q ) ，其 解将会进入正则性高的强拓扑空间h 2 ( n ) 因此；我们可以利用 s o b o l e v 嵌入定理得到吸引子的存在性但是，对方程( 1 2 ) 来讲， 由于项一蜥的影响，如果初始值”o 属于z 4 0 ( q ) ，其满足材( o ，砷= 蜘的 解u ( x ，f ) 将始终在空间磁( q ) 中，并不具有更高的正则性，这就使 得r t e m a m 1 5 中证明吸引子存在性的方法在这里并不适用，这 一点和双曲方程是类似的 有关非经典反应扩散方程的研究已有很长的历史，尤其是 在最近十几年有关这方面的研究迅速发展，并取得了许多非常 好的结果例如， 2 0 0 2 年，肖跃龙在文 1 7 中考虑了方程 甜f g a u f 一“+ 烈) = 。7 r u ) ，( 工，f ) qx 已+ ， 材o ，x ) = 0 ， x a q ，( 1 3 ) u ( o ，曲= u o ( x ) ， 工q 在砩( q ) 中吸引子的存在性问题，其中qcr 3 是具有光滑边界施 的有界区域该文要求非线性项g 满足条件( f ) l i m i s l - s o u p o 学 礼 j 其中a l 是a = 一a 在空间d “) = 铲( q ) n 础( q ) 上的第一特征值 3 第一章绪论 ( f 9 ： i g ( s ) l c ( 1 + 4 ) ，y s r ， ( 局) ：瓯占) i a 1 + i s f ) ，y 5y s r 这时得到了问题( 1 3 ) 在u o ( q ) 中吸引子的存在性问题 再如，2 0 0 5 年王素云在博士论文中应用无穷维动力系统中关 于全局吸引子和一致吸引子存在性理论的最新研究成果并结合能 量估计技巧，分别研究了非经典反应扩散方程u t - g a u ，一a u = 厂( ”) + g 弱解和强解的长时间行为正如上面例子一样，在自治系统中 已经得到了许多优秀的成果，但非自治系统的研究尚不成熟 本文主要考虑周期非自治系统，下面给出考虑的问题： 本文主要讨论非自治的非经典反应扩散方程 甜f a u f a u + 烈 ) = f ( t + d ， i nqxr + f 功= 0 ，x o i l( 1 4 ) u ( o ，神= u o ( x ) ， 工q 其中qcr 打是具有光滑边界a q 的有界区域，厂l 。( r ；l 2 ( q ) ) ，且f ( o 是t - 周期的，参数0 r 本文主要考虑以下两个方面的内容： 1 、问题( 1 4 ) 在砩( q ) 中周期解的存在性 2 、系统( 1 4 ) 周期一致前引吸引子的存在性 1 2 文章结构 文章主要内容安排如下： 第一章主要介绍非经典扩散方程产生的背景以及本文所讨 论的主要问题 第二章给出了本文用到的一些基本定义和基本理论 第三章给出了非自治的非经典反应扩散方程在u t - a u 广a u + g ( u ) = f ( t + 回，g 和厂满足适当的条件下t 一周期解的存在性 第四章，给出了非自治系统情形的非经典反应扩散方程 蜥一嘶一l ，+ 甙甜) = f ( t + d 的周期一致前引吸引子的存在性 第五章，问题与展望 4 第二章预备知识 第二章预备知识 2 1 简单记号和s o b o l e v 空间 在本节中，我们主要介绍一下本文中经常用到的记号以及 基本的s o b o l e v 嵌入定理，主要参考： 7 】， 1 0 】，【2 1 】，【2 3 】， 2 4 彤表示疗一维欧氏空间 v ：= ( 者，寿) 为梯度算子 a ：= 岳+ + 差为拉普拉斯( l a p l a c e ) 算子 记号x 代表实b a n a c h 空间记号r ，mz 分别表示实数、自然数 和整数集合彤，z + 分别表示非负实数和非负整数用q 记r ”中的 边界光滑的有界区域，讹是q 的边界 l p ( f 2 ) ( 1sp o o ) 表示使q 上所有p 次幂可积函数的全体，其范 数定义为： 陋叫j ! ：l u ( x ) rd x ) p 上”( q ) 表示q 上的本性有界可测函数的全体，其范数为 i l u l i l * = e s ss u p l l u ( x ) li 石2 s o b o l e v 空间w k p ( n ) = u 旷( 锄l e u 胪( q ) ，l a ls 纠，其范数规定 为： h = 瞻脚rr 当p = 2 时，砂2 ( q ) 为h i l b e r t 空间，简记为n k ( n ) 记号唠护( q ) 代表c ( q ) 在旷( q ) 中的闭包 我们还引入以下记号 l p ( o ，丁；= “： o ，明_ 御i l u l l p ( o r = ( ri l u ( t ) l l 如i t ) 咖 1 ，q = p l ( p 一1 ) ，则 口6s ；扑南砂 pq 掣| h 6 1 d e r 不等式设p f 彤( f _ 1 ，幼，1 1 p 1 + + 1 p k = 1 ，则 1 u ；- u k ( x ) l 出自( “舻r g r o n w a n 引理设“订c l ( t o ，t l 】) ，y 之6 并且有下面的不等式成 ( f ) + 认f ) ( ，) ( 2 1 ) 其中| l ，( f ) o ，y t t o ，t l 】，则 灭，) y ( t o ) e - h 卜幻) + 厂p 一“慨s ) d s ， y t 幻，f i 】( 2 2 ) 特别地，如果办( f ) 三c ，7 0 ，则 灭f ) s y ( t o ) e - “卜t o ) + c ，一1 ( 1 一e - y ( t - t o ) ) y ( t o ) e - 叫7 。幻+ c y ，y t t o ，t 1 ( 2 3 ) 一致g r o w a l l 引理设g , h ，y 是三个在( t o ，+ ) 上局部可积的函 数，少在( t o ，+ o o ) 上也是局部可积的，且 苦也v r 孙 6 第二章预备知识 厂荆幽鲕，r 琊灿鲰厂删凼鲰v t t o , 其中， 口l ，口2 ，0 3 是正常数则 m ) ( 等+ 口2 ) e x p ( 钔，v f 幻 ( 2 4 ) p o i n c a r e s 不等式设q 是彤中的有界开子集假设咙炉( q ) ，1 p 刀则有， i l u l l l , 0 和m 中的任意有界子集b ，存在f ( 日) 0 ， 使得 x ( u 似b j s ( t ) b ) 其中k 是非紧性测度，定义为 x ( b ) = i n f l 6 0 1 b 可被m 中有限个直径不大于6 的集合覆盖j 定义2 5b a n a c h 空间x 中的伊半群 s ( ，) 晓。称为满足条件( c ) ，如 果对任意 0 和任意的有界集b ，存在f ) 0 和有限维子空间 置，使得 l l p s ( t ) x l l l x b ，t f ( b ) l 有界，且当t f ) ，x b 时 i j u p ) s ( t ) x l l x 0 ，使得( s ) - l ，y s r ( g 2 ) 存在岛 0 ，使得瓯s ) l k l ( 1 + i s l , + 1 ) ，y s 尺； 其中0 y 0 ，存在正常数g ，g 使得 ( g 5 ) ：g ( s ) + 6 ，一岛， y s r ( g 6 ) ：s g ( s ) 一乜g ( s ) + 6 s 2 一g ， y s r 3 2 解的存在性结果 本节我们将给出问题( 3 1 ) ( 3 3 ) 的抽象方程，并讨论其解的存 在性 第三章方程撕一蜥一“+ 甙甜) = f ( t + 回周期解的存在性 首先，令h = l 2 ( n ) ，n = a m ( q ) ，圪= n 2 ( n ) n h o ( q ) 我们分别用( ，) 和卜l 表示日的内积和范数，记v l 和圪的内积分别为( ( ，) ) 和 ，】， 其定义分别为 ( ( “，v ) ) = iv u v v d x ， v ”，1 ，n ， 队川= j ! ：u a v d x ，v 川圪 用i ，表示ko = 1 ，2 ) 的范数我们知道范数l ，等价于通常定义 的圪的范数i i i i 瞻 定义n 上的算子彳。如下：对任意的”n ，有a 。z ，w ，并且 = i n v u v v d x ，v v n ， 这里= n 0 1 ( q ) 是巧的对偶空间 定义圪上的算子彳2 为：a 2 = 一a 对u 圪，我们对甙 ) 圪，定义 。 = ig ( u ) v d x ， v v 圪， 这里 是圪和形的对偶积这样，我们可以得到问题( 3 1 ) ( 3 3 ) 在圪。中的抽象方程： 材f + ，“，u t + a ，”+ 甙“) = f ( t + 回，材( 0 ) = l l o ( 3 4 ) 根据二阶偏微分方程的基本理论，我们知道如果用，表示恒 等算子，则j + 彳，是从圪到圪的同构算子( 注意到圪= 奶那么，抽 象方程( 3 4 ) 就可以改写为： “r + z ，u + 虿( “) = f ( t + 回，甜( o ) = 甜o ( 3 5 ) 其中 厶= ( ，+ 彳，) 一1 彳，7 = ( ，+ 4 ，) 一1 工虿= ( ，+ 彳。) g 显然，厶映圪到自身又由于 厶= ，一( ，+ a 。) 一1 因此厶是圪上的有界线性算子 考察算子g 的性质，有如下结果， 1 2 第三章方程嘶一嘶一“+ a ( u ) = f ( t + 回周期解的存在性 定理3 1 1 5 设g 满足( g 2 ) ，则算子g 从k 到日是局部l i p s c h i t z 的也就是说，存在一个常数g ，使得 i 甙甜) 一g ( v ) l c g ( 1 + i l u l l + i l v l l i ) l l u v l ， y u ，1 ，n ( 3 6 ) 成立 由上述引理，我们立即可得g ：圪_ 是局部l i p s h i t z 的，因此， 一g ：= ( ，+ 彳，) 。1 9 ：圪- 圪 也是局部l i p s h i t z 的 根据b a n a c h 空间中抽象的常微分方程的基本理论，我们就可 以得到如下的解的存在性结果 定理3 2设g 满足条件( g 1 ) 一( g 4 ) ，厂r 俾；印，则对任意的f 0 和初值条件u 0 n ，初边值问题( 3 1 ) ( 3 3 ) 在区间 o ，力上存在唯一 的解甜= ”( f ) = 甜( f ；u o ) ，满足 材c 1 ( e o ，砷，v 1 ) ， 进一步，如果u 0 圪，初边值问题( 3 1 ) ( 3 3 ) 在区间 o ，丁) 上存在唯 一的解u = ”( f ) = “( f ；u o ) ，满足 甜c 1 ( 0 ，力，圪) ， 并且对固定的t ，”在u 。是连续的 进一步根据下文4 2 节中的定理4 1 和定理4 2 得到的一致耗散估 计，我们知道初边值问题( 3 1 ) ( 3 3 ) 的解还是全局存在的 3 3 周期解的存在性 本节主要考虑问题( 3 1 ) - ( 3 2 ) t 一周期解的存在性首先，做一 些准备工作 定理3 3设f 三。僻；忉，g 满足条件( g 3 ) - ( g 4 ) 设u 是问题( 3 1 ) ( 3 3 ) 的解，则存在， 0 ，使得 l l u ( t ) l l v , n v t 0 ( 3 7 ) 1 3 只要i l u o l l v ， 证明设掰是问题( 3 1 ) ( 3 3 ) 满足初始条件掰( o ) = 2 0 的解。用材作 用于方程( 3 1 ) 的两端，并在q 上积分，得 三妄( f 矿出+ j ：v 拦v 叫+ j ：v 掰v 础+ 上甙嚣，础= 上郧+ 缈础e 3 固 根据( g 5 ) ( g 6 ) 可得，对任意的6 0 ，总存在常数g o ， 0 使得 上g ( v ) d x 删v 1 2 + g o v v 巧 蜮力，d 一恕厂g ( v ) a x + 艿m 2 + c ：o ， y y 巧 j o 由上面两式得， 似v ) ，力奶i g ( dd x 一6 1 v 1 2 一g 一( k 2 + 1 ) , ，l v l 2 一k 2 g c ； y v k j q 由上式及( 3 8 ) 得 票( 怕( ，) l i 移。) + 2 正v u v u d 】【一2 ( 包+ 1 ) 纠”( f ) 1 2 2 叭f + ，材) + 2 乜c j + 2 锈 根据h 6 1 d e r 不等式，我们可得 o q f + ，“) s l u ( t ) 1 2 + c ( e ) t f ( t + o ) 1 ， v 0 另外，根据p o i n c a r e s 不等式，我们知：y u v i ，l u ( t ) l 6 1vu ( t ) l ，b 仅仅 依赖于行和q 由以上三式可得， 叠( 怕( f ) l 晚) + 上lv 砰d x + ( 吉一2 他+ 弦一拓) 上叭驯2 d x c 其中 c = 2 c ( e ) l f ( t + 0 ) 1 2 + 2 k 2 c d + 2 锈 令6 = 而i，= 壶，口= m i n 1 ，击 ，我们可得 。o - ( h 酬暖) + 口愀) l j 2 。c ( 3 。9 ) 根据g r o n w a l l s 引理，由上式可得 i l u ( 驯i 乱( 1 1 0 1 1 参1 一石c 厂 、- - a r t + 鲁 1 4 第三章方程嘶一嘶一a u + g ( u ) = 八r + d 周期解的存在性 由上式我们知，若1 , 1 0 b ，则“( 力曰，v f 0 ，其中，= ( 等) 1 2 ，b ，代表n 中球心为0 半径为，的闭球 由定理3 1 ，我们知：若初值u o 属于闭球研，则解甜( f ) 始终在闭 球b ，中故我们可知p o i n c a r e s 映射是映b ，到b ，的如果能够证明 p o i n c a r e s 映射存在不动点，则可得到t 一周期解的存在性但由 于p o i n c a r e s 映射缺乏紧性，使得在无穷维空间中证明不动点存 在性常用的s c h a u d e r s 不动点定理在这里不再适用；由于n 是无 穷维空间，故也不能直接使用b r o u w e r s 不动点定理，给问题的解 决带来很大的困难我们采用g a l e r k i n 逼近和b r o u w e r s 不动点定理 相结合的方法解决了此困难，完成了t 一周期解的存在性的证 明思路是这样的，利用g a l e r k i n 逼近方法，可以将无穷维空间h 中的问题转化到由正交基张成的有限维空间中处理，这样就 可利用b r o u w e r s 不动点定理证明在每个有限维空间中都存在 t 一周期解，而这些有限维空间风随m 增大是逼近h 的在对 方程的解进行先验估计的基础上，对取极限，则可得到在无 穷维空间中的t 一周期解 定理3 4设厂l o o ( 尺；，且八f ) 是t 一周期的，g 满足条件 ( g 1 ) ( g 4 ) 则问题( 3 1 ) 一( 3 2 ) 在l 2 僻；n ) 中存在t - 周期解 证明证明过程采用标准的g a l e r k i n 逼近方法 令a = 一a ，由h i l b e r t s c h m i d t 定理知，存在空间h 的正交基 哟l 删， 使得w m = l ，2 ，) 是算子彳具有齐的d i r i c h l e t 边值条件的第，个特 征向量，且有 a t o y = , t j 哟， v j ， 0 0 ，都 存在正常数e l ，p 1 和t l 俾) ，使得对于方程u ，一a u ，一a u + 甙“) = 八x ) 初 边值问题的任一解u ，有 u l h e 1 僻) t 0( 4 1 ) 1 8 第四章周期一致前引吸引子的存在性 u l h p l ，t 之f i 僻) 这里i l u o l l l r ，而e 。僻) 和，l 僻) 是与r 有关的常数 证 ( 4 2 ) 明设r 0 ，且i l u o i i r 并设z f 是方程u f a u f a u + 烈”) = f ( x ) 初边值问题满足初始条件掰( o ) = u o 的解用婊+ 材作用于方程的两 端，并在q 上积分，得 三未( m 2 + 2 1 1 砌+ i i 训；岫r 1 2 + i | 础+ ) , d + u t ) = + 甜f ) ( 4 3 ) 根据( g 5 ) 可得，对任意的6 0 ，总存在常数g 0 ，使得 上g ( v ) d x 删y 1 2 + g 0 v y 巧 由于五l i 评i l v l l ；( v ，n ) ，我们有 上g ( v ) d x + 砉i i v i l 2 + g 0 v v 巧， 其中 。是算子一在空间屹中的第一特 个常数k 。 0 ，使得 上g ( dd 】【夸暗怕 o ， 征值取6 = a 。4 ，则存在某 v ，n 类似地，由( g 6 ) ，存在常数如 0 ，使得 ( 4 4 ) ( g ( v ) ，d 一心点g ( v ) d x + 扣1 2 + 恕 0 vy “ ( 4 5 ) 注意到 似“) , u + t 4 t ) = 坝以甜) + 未正g ( “) 氓 因此，由( 4 3 ) 可得 互l 五d ( 川2 + 2 1 2 + 2 厶g ( 甜) d ) 【) + i i 圳；+ 1 2 + 1 1 蜥旧+ 乜厶g ( u ) d x s 1 u l l ；+ 屯+ 甜+ 嘶) s 1 l u l l ；+ 恕+ 圭i z ，f 1 2 + i 刀2 + 材) 1 9 第四章周期一致前引吸引子的存在性 从而 未( 川2 + 2 删；+ 2j ! ：g ( “) _ + i i 圳j + 1 2 + 2 恝上g ( ”) d x 2 k 2 + 们2 + 2 我们得到 面d ( 评+ 2 删；+ 2 厶g ) d x + 2 k 1 ) + + a l l u l 2 + i l u l l ；+ 2 也厶g ( ”) d x + 2 h 2 k 2 + 2 i | l + 们2 + 暑们2 + a l l u l 2 令口= m m l a , ， ，尥l ，我们有 石d y + 口l y c l ， 其中 y = 川2 + 2 l + 2 正g ( ) d 】【+ 2 轧 c l ：2 k 1 + 2 k 2 + 们2 + ；孵 c l 由( 4 4 ) 容易检验 y 扣训； ： 应用g r o n w a l l 引理，我们从( 4 7 ) 可得 灭f ) 灭。) 州一口l 力+ 石c i ，v t 0 我们设i l u o 1 r 由上式( 4 8 ) 得，存 ( 4 6 ) ( 4 7 ) ( 4 8 ) 在常数e 。僻) 0 和 僻) 0 ，满足 i l u l h e 1 俾) ， i i ( 、2 c 1 ，5 + 1 ：p l ，o q 、， 至此，定理证毕 vr 0 v t t l 僻) ( 4 9 ) ( 4 1 0 ) 定理4 2设4 0 圪，g 满足条件( g 1 ) ( g 4 ) ，则对任意的r 0 ，都 存在正常数e 2 ( r ) ，p 2 和t 2 ( r ) ，使得对于方程蜥一血，一a u + 甙甜) = m ) 初边值问题的任一解u ，有 i l u l h e 2 僻) ，t 0 ， 2 0 ( 4 1 1 ) 第四章周期一致前引吸引子的存在性 、 i l u l hsp2,t2t 2 t k ) 一1 z j 这里i l u o l l 2 r 。 证明 第一步用一a u 作用于方程两端并在q 上积分，计算后可得 三未( i | 2 + 陋o ；) + 物；+ ( g ( 功，一”) = 一”) ( 4 1 3 ) 根据结构条件( g 1 ) ，有 似础一血) ：i = ( ) v 甜v d x 一l l l u j ( 4 “) 注意到 一蚴们2 + 扣臣， 我们有 三未( 陋l 片+ 陋l l ；) + 三五1 i l 圳i + 丢陋i 睦1 1 1 圳| 2 + i 门2 ( 4 1 5 ) 因此有 三未( i i t + i i ；) + 三五l i l 圳片+ 知训；店；僻) + 们2 ， v ，o ( 4 1 6 ) 和 三未( i 曙+ i l ；) + 三五l l l 圳；+ 如圳；橱+ 们2 ，v f f 。僻) ( 4 1 7 ) 令a 2 = m i n a j ， ) ，应用g r o n w a l l 引理可得到 ；+ ；驯圳+ i i ；) e - 口：t + 2 e 2 _ ( r ) - + 2 一i l l 2 ，v t o , ( 4 1 8 ) i 圳l ；+ o 材幢( “o - ) l i ；+ l i 材o 。) 嗳) p 一( ，- n ) + 三笙王三竽，vf f 。但) ( 4 1 9 ) 在( 4 1 8 ) 和( 4 1 9 ) 两端对f 从tnf + 1 积分可得，分别存在常数c 2 僻) 0 和p 0 ，使得 ，q + 1 f i l u ( s ) l l ；d ssc 2 俾) ， y t 0 ， ( 4 2 0 ) ，i 2 1 第四章周期一致前引吸引子的存在性 厂惭( s ) t t ；a s 鳙v 川l 第二步用一a u ，作用于方程两端并在q 上积分，计算后可得 圭扣l i ；+ i i 础+ l | 堋+ ) , - a u t ) = 一a u t ) ( 4 2 2 ) 依据条件( g 2 ) 获得 i ( 甄甜) ，- a u ，) i = 睹 ) l l v ”i i v 训d x q 幻j = y l v u 啊圳d 】【+ k 上i v 圳v 圳d x k ( 正i 矿附叫j 1 1 圳圳l i l 州l 0 是一对共轭数，即1 p + 1 q = 1 ，而c 2 是正常数，满足 叫忙( j 巳1 1 2 q d x ) 三2 洲拴冀z ： 由此可得 ( g ( “) ，一“，) i 戈- 暖e j 俾) 怕1 1 2 i i 嘶i it + 扣训片+ 2 砰e ；僻) 丢i l u , l 片+ 2 砰q e ：7 僻) i 睦+ 扣训1 2 + 2 砰e 职) 三i l u , ；+ 2 砰q 印俐啪+ 2 砰e 2 ( r ) ，v f o ( 4 2 4 ) 第四章周期一致前引吸引子的存在性 和 i ( g ( 破一 s 确咖m | 2 i + 扣l 片+ 2 材 丢i l u , l i ；+ 2 喇邗圳；+ 扣l | + 2 纠 去i l u , l l ；+ 2 彳嘞；y i i 圳层+ 2 砰衍，vf f l 僻) ( 4 2 5 ) 因为 一a u t ) sl i 刀片+ 1 1 蜥i i ， 结合( 4 2 4 ) 和( 4 2 5 ) 即得 未l 睦+ i i 蚓片+ 2 1 1 州睦g ( r ) i i 圳；+ c 4 僻) ， v f o ，( 4 2 6 ) 和 舢i 睦+ l l 堋+ 2 1 1 圳c s l l 圳；+ g ， v t h ( r ) ，( 4 2 7 ) 其中 c 3 ( r ) = 4 砰q e ；y 俾) ，c 4 俾) = 4 砰e ；( r ) + 2 1 1 1 1 ； 岛= 嘶嘞；y ，c 6 = 4 砰彳+ 2 1 1 f l ； 分别依据g r o n w a l l 引理和一致g r o n w a l l 引理，我们获得 1 1 2e x p ( c 3 ( r ) t ) + 器，vf o ， 和 l l u ( t ) l l ；4 加；+ 2 p ；+ 4 i ，1 2 + g ) e x p ( c 5 ) ，t t l ( r ) + 1 下面，我们给出解半群 s ( f ) 脚在巧中吸引子的存在性需要 指出的是，由定理4 2 可知 s ( f ) k 在中存在吸收集，但是这却 并不蕴含 s ( ，) 2 。在h 中的一致紧性，从而使得常用的有关吸引 子的一般存在性结果，在这里不再适用幸运的是，一极限紧的 方法在这里是适用的本节的主要结论之一如下： 定理4 3方程u ，一a u ，一a u + 甙材) = 俐初边值问题的解半群s ( f ) 在n 中有全局吸引子，且按照n 的拓扑一致吸收v i 的每一 个有界集 第四章周期一致前引吸引子的存在性 证明设a = - a 在n 中对应于齐d i r i c h l e t 边界条件的特征值为 厶伽= i ，2 ，) ，并且满足 0 0 ，使得 i ( ，一尸。) u l = l u 2 1 ，v f t l 全t 1( ) 成立由于s 具有任意性，不妨取 l u 2 1 p ， v t t l ( r ) ( 4 2 8 ) 同时，对vg 0 ，存在m 0 ，使得 i u 一厶) 们岛 ( 4 2 9 ) 用u ：和方程在中作内积有 三旦d t ( 榭+ i l 枷) + 枷+ 铽以蝴= ，均 ( 4 3 0 ) 这里五= u 一厶矿依据条件( g 2 ) ，有 顷j ) i ( 1 + + 1 ) ，y s r 从而 i 似z ，) ，材2 ) i s 厂顷甜) l 蚓d x 上( 卯“) l u l l d x ( 1 + 川j 蹦t + ，l 圳) m 2 1 ( 4 3 1 ) 第四章周期一致前引吸引子的存在性 由于刀3 时，2 0 + 1 ) s 赢2 n ，根据s o b o l c v 嵌入明( 踢ql 箍( q ) ，有 。l 掰i 2 【7 + 1 ) sc l l u l h 其中c 只与q 有关上式对n = 1 ，2 的情形亦成立故 l ( g ( 材) ，甜2 ) i ( 1 + c l l u l l ： + 1 ) l “2 i ( 1 + c p t “) s 全西s 其中百= q ( 1 + 印j + 1 ) 结合( 4 2 9 ) 、( 4 3 0 ) 、( 4 3 1 ) 和( 4 3 2 ) ，有 三未( 1 甜：1 2 + i i z i i ；) + i i 材z i l 2 ( 弓+ 冷 即有 圭五d ( 1 甜：1 2 + i