解答排列组合应用题的策略.doc

解答排列组合应用题的策略解决排列组合问题要讲究策略，首先要认真审题，弄清楚是排列(有序)还是组合(无序)，还是排列与组合混合问题。其次，要抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原则进行“分类与分步”。加法原理的特征是分类解决问题，分类必须满足两个条件：类与类必须互斥(不相容)，总类必须完备(不遗漏)；乘法原理的特征是分步解决问题，分步必须做到步与步互相独立，互不干扰并确保连续性。分类与分步是解决排列组合问题的最基本的思想策略，在实际操作中往往是“步”与“类”交叉，有机结合，可以是类中有步，也可以是步中有类。 以上解题思路分析，可以用顺口溜概括为：审明题意，排（组）分清；合理分类，用准加乘；周密思考，防漏防重；直接间接，思路可循；元素位置，特殊先行；一题多解，检验真伪。 下面对几种典型的排列组合问题进行策略分析，拟找到解决相应问题的有效方法。 一、特殊优先，一般在后对于问题中的特殊元素、特殊位置要优先安排。在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。 例1 0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？ 解法一：(元素优先)分两类：第一类，含0，0在个位有 种，0在十位有 种；第二类，不含0，有 种。 故共有 。 注：在考虑每一类时，又要优先考虑个位。 解法二：(位置优先)分两类：第一类，0在个位有 种；第二类，0不在个位，先从两个偶数中选一个放个位，再选一个放百位，最后考虑十位，有 种。 故共有 。 练习1 （89年全国）由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 个（用数字作答）。 答案：36 二、排组混合，先选后排对于排列与组合的混合问题，宜先用组合选取元素，再进行排列。 例2 (95年全国)4个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒内，则恰有一个空盒的放法有几种？ 解：由题意，必有一个盒内有2个球，同一盒内的球是组合，不同的球放入不同的盒子是排列。因此，有 种放法。 练习2 由数字1，2，3，4，5，6，7组成有3个奇数字，2个偶数字的五位数，数字不重复的有多少个？ 答案：有 =1440（个） 三、元素相邻，整体处理对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其它元素进行排列，同时对相邻元素进行自排。 例3 5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？ 解：先把3个女生捆绑为一个整体再与其他5个男生全排列。同时，3个女生自身也应全排列。由乘法原理共有 种。 练习3 四对兄妹站一排，每对兄妹都相邻的站法有多少种？ 答案： =384 四、元素间隔，分位插入对于某些元素要求有间隔的排列，用插入法。 例4 5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？ 解：先排无限制条件的男生，女生插在5个男生之间的4个空隙，由乘法原理共有 种。 注意：必须分清“谁插入谁”的问题。要先排无限制条件的元素，再插入必须间隔的元素；数清可插的位置数；插入时是以组合形式插入还是以排列形式插入要把握准。 练习4 4男4女站成一行，男女相间的站法有多少种？ 答案：2 例5 马路上有编号为1、2、3、9的9盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？ 解：由于问题中有6盏亮3盏暗，又两端不可暗，故可在6盏亮的5个间隙中插入3个暗的即可，有 种。 练习5 从1、2、10这十个数中任选三个互不相邻的自然数，有几种不同的取法？ 答案： 。 五、元素定序，先排后除或选位不排或先定后插对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其它元素进行排列。也可先放好定序的元素，再一一插入其它元素。 例6 5人参加百米跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况？ 解法一：先5人全排有 种，由于全排中有甲、乙的全排种数 ，而这里只有1种是符合要求的，故要除以定序元素的全排 种，所以有 / =60种。 解法二：先在5个位置中选2个位置放定序元素(甲、乙)有 种，再排列其它3人有 ，由乘法原理得共有 =60种。 解法三：先固定甲、乙，再插入另三个中的第一人有3种方法，接着插入第二人有4种方法，最后插入第三人有5种方法。由乘法原理得共有 =60种。 练习6 要编制一张演出节目单，6个舞蹈节目已排定顺序，要插入5个歌唱节目，则共有几种插入方法？ 答案： 或 或 种 六、“小团体”排列，先“团体”后整体对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先按制约条件“组团”并视为一个元素再与其它元素排列。 例7 四名男歌手与两名女歌手联合举行一场演唱会，演出的出场顺序要求两名女歌手之间有两名男歌手，则出场方案有几种？ 解：先从四名男歌手中选2人排入两女歌手之间进行“组团”有 种，把这个“女男男女”小团体视为1人再与其余2男进行排列有 种，由乘法原理，共有 种。 练习7 6人站成一排，其中一小孩要站在爸妈之间的站法有多少种？ 答案： 七、不同元素进盒，先分堆再排列对于不同的元素放入几个不同的盒内，当有的盒内有不小于2个元素时，不可分批进入，必须先分堆再排入。 例8 5个老师分配到3个班搞活动，每班至少一个，有几种不同的分法？ 解：先把5位老师分3堆，有两类：3、1、1分布有 种和1、2、2分布有 种，再排列到3个班里有 种，故共有 。 注意：不同的老师不可分批进入同一个班，须一次到位(否则有重复计数)。即“同一盒内的元素必须一次进入”。 练习8 有6名同学，求下列情况下的分配方法数： 分给数学组3人，物理组2人，化学组1人； 分给数学组2人，物理组2人，化学组2人； 分给数学、物理、化学这三个组，其中一组3人，一组2人，一组1人； 平均分成三组进行排球训练。 答案： ； ； ； 。 八、相同元素进盒，用档板分隔例9 10张参观公园的门票分给5个班，每班至少1张，有几种选法？ 解：这里只是票数而已，与顺序无关，故可把10张票看成10个相同的小球放入5个不同的盒内，每盒至少1球，可先把10球排成一列，再在其中9个间隔中选4个位置插入4块“档板”分成5格(构成5个盒子)有 种方法。 注：档板分隔模型专门用来解答同种元素的分配问题。 练习9 从全校10个班中选12人组成排球队，每班至少一人，有多少种选法？ 答案： 九、两类元素的排列，用组合选位法例10 10级楼梯，要求7步走完，每步可跨一级，也可跨两级，问有几种不同的跨法？ 解：由题意知，有4步跨单级，3步跨两级，所以只要在7步中任意选3步跨两级即可。故有 种跨法。 注意：两类元素的排列问题涉及面很广，应予重视。 练习10 3面红旗2面黄旗，全部升上旗杆作信号，可打出几种不同的信号？ 答案： 例11 沿图中的网格线从顶点A到顶点B，最短的路线有几条？ 解：每一种最短走法，都要走三段“|”线和四段“”线，这是两类元素不分顺序的排列问题。故有 或 种走法。 例12 从5个班中选10人组成校篮球队(无任何要求)，有几种选法？ 解：这个问题与例12有区别，虽仍可看成4块“档板”将10个球分成5格(构成5个盒子)，是球与档板两类元素不分顺序的排列问题。但某些盒子中可能没有球，故4块“档板”与10个球一样也要参与排成一列而占位置，故有 种选法。 练习11 的展开式有几项？ 提示：因为每一项都是由a,b,c,d中的一个或多个相乘而得到的10次式，所以可以看成是10个球与3块档板这两类元素不分顺序的排列，故共有 项。 注意：怎样把问题等价转化为“两类元素的排列”问题是解题的关键。 十、个数不少于盒子编号数，先填满再分隔例13 15个相同的球放入编号为1、2、3的盒子内，盒内球数不少于编号数，有几种不同的放法？ 解：先用6个球按编号数“填满”各盒(符合起码要求),再把9个球放入3个盒内即可,可用2块档板与9个球一起排列(即为两类元素的排列问题),有 种。 十一、多类元素组合，分类取出。例14 车间有11名工人，其中4名车工，5名钳工，AB二人能兼做车钳工。今需调4名车工和4名钳工完成某一任务，问有多少种不同调法？ 解：不同的调法按车工分为如下三类：第一类调4车工4钳工；第二类调3车工4钳工，从AB中调1人作车工；第二类调2车工4钳工，把AB二人作为车工。故共有 + + =185种不同调法。 注：本题也可按钳工分类。若按A、B分类，会使问题变得复杂。 练习12 求无重复数字的六位数中，能被3整除的数的个数。 提示：因为能被3整除的数，它的各位数字之和能被3整除，所以将0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字按被3除所得的余数分成四类，并将每一类所选取的个数列表如下： 组别 各组中所选数个数 1、4、7 3 3 0 2 3 2 1 0 2、5、8 3 0 3 2 0 2 1 3 3、6、9 0 3 3 2 2 1 3 2 0 0 0 0 0 1 1 1 1 前四类的6位数个数为 后四类的6位数个数为 共有4680个。 练习13 有红、白、兰三色卡片各五张（都标有代号1、2、3、4、5），若每次取出五张，要求三色齐全，各代号都有，问有多少种不同取法？ 提示：按红色进行分类得 相加得150种不同取法。 练习14 在无重复数字的三位数中，能被3整除的数有多少个？ 答案：228个 十二、正难则反，间接处理对于某些排列组合问题的正面情况较复杂而其反面情况却较简单时，可先考虑无限制条件的排列，再减去其反面情况的总数。 例15 编号为1、2、3、4、5的五人入座编号也为1、2、3、4、5的五个座位，至多有2人对号的坐法有几种？ 解：问题的正面有三种情况：全不对号；有且仅有一个对号；有且仅有两个对号。这三种情况都较难处理。而反面只有两种情况：全对号(四人对号时一定全对号)；有且仅有3个对号。而全对号只有1种情况，3人对号时只要先从五人中选出3人(有 种)，其余两人不对号即可，此时只有1种情况，由加法、乘法原