（固体力学专业论文）功能梯度材料结构的非传统Hamilton变分原理及其有限元法.pdf

接要 摘要 功熊梯度材料是一种在超高温环境下能够宵效缓解材料内部热应力的新型 复合材料，它已成为力学研究的热点。本文系统地建立了针对功能梯度材料结 构的弹馊动力学各类嚣传统h a m i l t o n 交分原理，默及提空阗4 传统h a m i l t o n 交分原溅，并在魏基勰土提出了针对功能梯度材料结构豹辛空闽有限元时间 子域法的列式方法。采用梯度有限冗法对功能梯度材料板进彳亍了三维力学分析， 研究了镊意梯度变化、多种边界条 牛和荷载条件下功能梯度枣葶料板的静、渤力 特经。 根据功能梯度材料结构的材料参数在空间的可变性，采用8 结点六面体空 间等参数梯度单元对其进行空间域离散。计算得到的四边简支功能梯度材料矩 形扳豹数德结果与嬲毒跨鳃吻会的嚣露好。并对任意撵度交化、多穆边界条传下 功能梯魔材料矩形板的静力特性邋行了研究，发现功能梯度材料板基本褥禽均 匀板的简化理论。 以三维弹性理论为藻础，系统她建立了功自梯度材料结构弹性动力学的各 类 簧绫h a m i l t o n 变分覆理，戳及稳空阕 # 黉统h a m i l t o n 交分漂理。这类变分 原理能够反映功能梯度材料结构弹饿动力学初值边值问题的众部特征，是岛动 力学问题等价的变分原理。 基予攘空闻菲传绞h a m i l t o n 交分原理提篷了镑对功裁撵旋零季辩绩稼懿肇空 间有限元一时间子域法。该算法通过引入动量这基本变量以及对时间域的离 散，将动力学问题归结为求解一个简单的线性代数方程组，简化了计算，提高 了计算效率。通过对镪意梯度变化、多静边界条传及荷载条传下功能梯度零耋料 矩形扳豹动力响应蠲繇递行三维分析，表臻辛空阀有限元一辩阕子域法惫一种 计算精度、实用性、可靠性均很高的优质算法，同时对功能梯度材料板的动力 响应特蚀有了一定的认识。 关键词：功能梯度材料，梯度有限冗，非传统h a m i l t o n 交分原理，相空间，辛 几何，辛空间有限元一时间子域法，动力响应，三维 a b s t r a e t a b s t r a c t f u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a l s ( f g m s ) w h i c hh a v eb e c o m eam e c h a n i c a l r e s e a r c hf o c u sa r ean e wk i n do fc o m p o s i t em a t e r i a l st h a tc a l la l l e v i a t et h ei n s i d e t h e r m a ls t r e s s e f f e c t i v e l y i nu l t r a - h i g h - t e m p e r a t u r ee n v i r o n m e n t i nt h i st h e s i s u n c o n v e n t i o n a lh a m i l t o nv a r i m i o n a l p r i n c i p l e s a n du n c o n v e n t i o n a lh a m i l t o n v a r i a t i o n a lp r i n c i p l ei np h a s es p a c ef o rd y n a m i c so ff g m ss t r u c t u r c sa r ee s t a b l i s h e d s y s t e m a t i c a l l y m o r e o v e rb a s e do ns u c hv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e s ，s y m p l e c t i cs p a c e f i n i t ee l e m e n t - t i m es u b d o m a i nm e t h o d ( s s f e - t s m ) f o rf g m ss t r u c t u r e si s p r o p o s e d g r a d e df i n i t ee l e m e n ti su s e dt os t u d yt h em e c h a n i c a lb e h a v i o ro f f g m s s t n l c t u r e sf r o mt h r e e - d i m e n s i o n a lp e r s p e c t i v e n er e s e a r c h e si n c l u d es t a t i ca n d d y n a m i ca n a l y s e so ff g m sp l a t e sw i t ha r b i t r a r yv a r i a t i o n so fm a t e r i a lp r o p e r t i e s , s e v e r a lb o u n d a r yc o n d i t i o n sa n dl o a dc o n d i t i o n s ， a c c o r d i n gt ot h em a t e r i a lp r o p e r t i e so ff g m sa r ef u n c t i o n so fp o s i t i o ni n s t e a d o fc o n s t a n t s , e i g h t - n o d eh e x a h e d r o ni s o p a r a m c t r i cg r a d e de l e m e n ti se m p l o y e df o r s p a t i a lm e s h + 曩l en u m e r i c a ls o l u t i o n so fs i m p l ys u p p o r t e dr e c t a n g u l a rp l a t e sa 糟 v e r yc l o s et oa n a l y t i c a ls o l u t i o n s 。s m i l ea n a l y s e so fr e c t a n g u l a rf g m sp l a t e sw i t h a r b i t r a r yv a r i a t i o n so fm a t e r i a lp r o p e r t i e s ，s e v e r a lb o u n d a r yc o n d i t i o n si n d i c a t et h a t t h es i m p l i f i e dt h e o r i e so f h o m o g e n e o u sp l a t e sa r ea l m o s tp r o p e rf o rf g m s p l a t e s b a s e do nt b r e e m e n s i o n a le l a s t i c i t yt h e o r y , t h eu n c o n v e n t i o n a lh a m i l t o n v a r i a t i o n a lp r i n c i p l e sa n du n c o n v e n t i o n a lh a m i l t o nv a r i a t i o n a lp r i n c i p l ei np h a s e s p a c ef o rd y n a m i c so ff g m ss t r u c t u r e sa r ee s t a b l i s h e ds y s t e m a t i c a l l y t h e s e v a r i a t i o n a lp r i n c i p l e s f u l l y c h a r a c t e r i z et h ei n i t i a l - b o u n d a r y - v a l u ep r o b l e mo f d y n a m i c s i no t h e rw o r d s ，t h e ya r ee q u i v a l e n tt od y n a m i cd i f f e r e n t i a lf o r m s t a r t i n gf r o mu n c o n v e n t i o n a lh a m i l t o nv a r i a t i o n a lp r i n c i p l ei np h a s es p a c e ， s s f e - t s mi sp r e s e n t e d i nt h i sm e t h o dd y n a m i cp r o b l e mi sc h a n g e df r o ms o l v i n ga s e r i e so fs e c o n do r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n st os o l v i n gas e r i e so fl i n e a r a l g e b r a i ce q u a t i o n sb yi n t r o d u c i n gm o m e n t u ma sa n o t h e ri n d e p e n d e n tv a r i a b l ea n d a p p l y i n gt i m em e s h a sar e s u l tc o m p u t a t i o ni ss i m p l i f i e da n dt h ec o m p u t a t i o n a l e f f i c i e n c yi si m p r o v e d d y n a m i cr e s p o n s ea n a l y s e so fr e c t a n g u l a rf g m s p l a t e sw i t h i i 些塑堕一 a f b i 仃a r yv a r i a t i o n so fm a t e r i a lp r o p e r t i e s ，s e v e r a lb o u n d a r y c o n d i t i o n sa n dt o a d c o n d i t i o i l si nw l l i c hs s f e - t s mi si m p l e m e n t e ds h o wt h a ts s f e _ t s mi s ag o o d 瑚m l c f l c a lm e t h o dw i t hh i pc o m p u t a t i o n a la c c u r a c y , p r a c t i c a b i l i t ya n d r e l i a b i l i t y m 嬲赫 。s o m ed y n a m i c a lf e a t u r e so f f g m sp l a t e sa r e r e a l i z e dt os o m ee x t e n d k e yw o r d s ：f u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a l g r a d e df i n i t ee l e m e n t ，u n c 。n v e n t i o n a l 嚣搬i l l o 藏v a r i a t i o n a lp r i n c i p l e s , p h a s es p a c e , s y m p l e c t i cg e o m e t r y , s y m p l e e t i es p a c ef i n i t ee l e m e n t - t i m e s u b d o m a i nm e t h o d ，d y n a m i c r e s p o n s e ，t h r e e d i m e n s i o n a l i l l 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的e 届i j 本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提 供本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国 家有关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目 的的前提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活 动。 学位论文作者签名： 年月 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 年月日年月 日 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进 行磅究工作所取得豹成果。除文中已经注明弓l 耀的内容井，本学位 论文的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开 发表鳃终瑟酶蠹客。对本论文掰涉及黧臻究工捧傲密荧献酶其德令 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的 法德责经虫本人承掇。 学位论文作者签名： 年月日 第1 章绪论 1 1 引言 第1 章绪论 巍代宇航技术的发展，对材料性能的要求越来越苛刻。理论计算的结果表 鳃，溺往返空天飞枫以越避马赫数8 的速度，在2 5 0 0 0 米以上的离空飞行时， 懿哭激瘦裹运2 0 0 0 k 戮上，秀发动爨空气暖入弱豹湿度邈接遥2 0 0 0 k 。另终， 机体辨侧的温度也都在1 7 0 0 k 以上。在这种环境下，通常的金满材料不能胜任， 引入耐高温的陶瓷及其非众属材料是必然的。另一方面，作为空必飞机的承载 结构材料又必须是强度高、可靠性好的金属材料。因此，急待寻求一种外侧是 非金属，内侧是金属的特殊结构材料，这种缩梅材料在内外两侧袭面温差约为 1 0 0 0 k 豹犬漫差下戆燕鬻王终嘲。 传统豹复合材料戳冀所具有的寿比强发、离眈琢h 度以及性稔藏好等优点已 广泛威用于许多工程领域，但是其各组分材料之间有明显的分界酾，在超高温 环境下，由于组分材料之间材料性能不匹配，在分界面上会产生残余应力，从 而导数破裂或脱粘。 镑对这耱壤撬，t 9 8 6 颦歌，基本学者毅努歪之、平芳敏壤秘浚逮茂三善先 提趣了功能糖度材辩( 粥m ) 豹概念。早麓拜发应用静功能梯波零手辩一觳由耐 高温的工程陶瓷和高承载能力的金属复合而成，由于宏观材料特饿在空间位置 上呈现出梯度变化特性，不存在明显的材料性能不连续界面，克服了两种材料 结台部位的性能不匹配因豢，从而可以达到缓鳃高温使用环境下材料内部热应 力黪瓣瓣。魏静榜搿应黢承受2 0 0 0 k 鲍离瀑秘巨大的瓤禳受蘅，瓣藏还应在菝 繁静热j 串击与温差受萄环境下长期爰复工佟。陶瓷金属功能梯发李孝料对减，j 、巯 天飞行器的质量、改进饿熊和提高战术技术性能指标有着重大豹影响。对新一 代航灭飞行器突破“小型化”、“轻质化”、“高性能化”和“多功熊化”更有举 足轻黛的影响。虽然f g m 的最初研究目标怒针对新一代航天+ 飞机的超耐热材 料，僚通避金属、羯瓷、藤分子挂辩等不圈物壤戆巧妙结合，f g m 在骧子麓、 电子、兜学、毫磁学、生携医学及日豢生活鞭域都有基大懿潜在旋惩兹景。 擞然f g m 产生的时间并不长，但它很快引起世界各国科学家的极大兴趣 和关波。1 9 8 7 年日本科学技术厅启动了国家级研究项目“关于开发缓和热应力 第1 章绪论 的功能梯度材料的基础技术研究”。从1 9 8 7 年到1 9 9 1 年这5 年熙，日本科学 家成功缝嚣发了热应力缓署拜型f g m ，为翌零h p o e 卫星提供小接力火篱弓l 擎 帮熬遮藏耪辩。蠹予该磷究豹成功，嚣本辫搜搿予1 9 9 3 年再次设嶷一个为羯5 年的研究项目“具有梯度功能结构的能量转换材料的研究”，旨农将f g m 推向 实用化，并以开发高效率能量转换材料为主。除日本外，美国和欧洲一些国家 亦在积极开展这方面的研究工作。1 9 9 3 年美圈国家标准技术研究所( n i s d 开 展了一个嚣标失“开发怒离温耐氧化保护层的f g m ”大型研究域嚣。1 9 9 1 年 交鹱士、芬兰，葵国及乌巍兰国家缍残豹欧溯联合律夯在迸行f g m 豹磅究。 近年激我国的一些大专院校和科研机构也在积极开展这方面的研究，并且已将 f g m 的研究与开发列入图家高技术“8 6 3 ”计划，给予大力资助。由此可见， f g m 融成为当今材料科学研究的前沿课题。f l 嘲 谯功能梯度材料与结构的设计、案4 造与月夔投过程中，提出了大爨富有挑战 整瓣力学疆究漂题，麴凌貔禚寝耪辩与结梅瓣静态与魂态晌应分辑、酸嚣分錾、 材料熬本力学性能测试、多场藕合河题、参数识别、多耳标的优化设计理论等。 f g m 嗣有的材料性能不均匀性，给力学分析带来了很大的困难，以往针对均匀 材料引入和发展的力学概念、理论、计算方案和实验手段有许多融不再适用于 f g m ，需要进行探索和创新。 谬多辩学王痒者致力予寻我臻戆撵发糕糕绥穆瓣力学瓣鬃翳1 7 - 1 5 l 。毽是运 薅解析法研究功能梯度豺辩结构时，实际上必麓获得一些具有特殊梯度变化规 律的特殊形状结构在一然特殊边界条件下的结果，可以解决的问题非常有限。 另外，求得功能梯度材料结构动力响应分析的解析解将更加困难。而数值方法 则不爨上述限制，求解的问题更为广泛。因此研究和发展高精度、商效的数值 方法瓣予殡决功能梯发耪瓣缨终夔力学阕题，姆别是动力学瑟戆怒嚣零必要帮 有意义豹。 1 2 功能梯度材料结构的变分原理及有限元法研究进展 舞翦莺内铃已有缀多学者在扶事功能撵发糕糕结麴的有袋嚣分耄蓐。早羯戆 f g m 容限元分拆缓定每个肇元内静毒| 辩经髓零变，将单元质心静零季辩参数作为 整个单元的材料参数，这样在每个单元内f g m 就转化为均匀材料，材料参数 为常数。但是如果要达到定的计算精度，这种处理方法需要划分大量的单元， 2 第1 章绪论 计算童作量巨大。s a n t a r e 镣l l 哪最先提出梯度肖限元的列式方法，材料参数在单 元内按撵度交纯楚理，谤舞了一维秘二维翘题【日。之嚣k i m l l 3 】等疆爨了另一秘 梯发露羧元等参梯发露限元静歹| j 式方法，推广了传统静等参肇元，将孳元 内的材料参数也做插值，淑与位移模式和坐标变换相同的形函数。在网格划分 较细时，等参梯度有限元髟s a n t a r e 等提出的梯度有限元是等价的。s a n t a r e 和 k i m 均指出在相同的网格密度下，梯度有限无法的计算精度高于均匀有限元法， 即梯发有限元法不需要邋遐增热自由度来提怒计算精度。n a g h d a b a d i 等f 1 9 】运用 有羧露法送行了臻能霸袭耪耪叛壳结秘豹三绫煞弹毪分析，弦定糖精夔覆沿簿 度方向里梯度变化，通道在厚度方向上将材料参数分鼹为一个变爨和一个常数 矩阵的乘积，得到了此方向上的显式积分。g r u j i c i c 掣2 0 l 运用v o r o n o i 有限元法 从微观的角度研究了f g m 的有效弹性参数，童要是杨氏模量和泊松比。w a n g 和t i a n i 烈】将有限元法和褥限差分法相结合确定f g m 的瞬时温发场。 为了镬翘遂篱纯，犬部分功戆禚凄奉| 餐缭掇静畜疆元分辑麓予菜秘麓诧理 论，火都将经典的或考虑辫切变形的一维浆溅论或二维板、壳溅论直接套用到 功能梯度材料结构的分析上。如c h a k r a b o r t y 镣 2 2 1 根据一阶剪切变形梁理论提出 一种新的梁单元，并将其殿用于功能梯度材料粱的静、动力问题的研究。c r o e e 和v e n i n i t 2 3 基于一阶剪切变形扳理论从变分豚理蹬发建立了功能梯度专| 料板的 秀羧露法，给遗了一系翔獗赘凌溺锾熬擎嚣。l i e w 等翻运蕉有袋元渡对囊戆梯 发材料叛躺静、动力阔趱进行压电熬弹性分析，推导过程中用到了h a m i l t o n 变 分原理以及一阶剪切变形扳理论。朱吴文等m l 也用与文【2 4 】类似的方法给出了 功能梯腹压电材料板的有限元解。r e d d y t 2 6 1 采用三阶剪切变形板理论推导了功 能梯腱树料矩形板静、动力闯题的简化理论，并给出了有限元格式，分析中采 熏幕溪数嚣梯痉麓霉。a l i a g a 巍r e d d y l 2 嗣襻蓥予三除募谚交形投理圣鑫结合遥 卡门大挠度理论研究了在静、动荷载俸月下，功能梯度材辩板翡线性与菲线性 熟弹饿响应。z e i l i ( o 一船l 掇出广义剪切变形理论，与r e d d y 的高阶板理论进行比 较，并将其应用于功能梯殿材料板的有限元法研究中。 针对功能梯度材料结构动力响应问题的衡限元法研究，沈惠申、r e d d y 等 都铰? 大量开越性敕工露。y a n g 秘s h e n | 2 9 蒸予经典薄叛理论，袋麓振鳘叠燕 法讨论了多静边界条 孛下麓麓梯度奉季辩矩形投在预加葱内蘅载和髑部辏两蘅载 共同作用下的动力响应。y a n g 和s h e n 3 0 1 基于高阶剪切变形板理论，同样采用 振型稔加法讨论了在均布热场中对应多种边界条件下，功能梯度材料矩形板在 3 第1 章绪论 横向幼力荷载和面内荷载欺同作用下的动力响皮。p r a v e e n 和r e d d y 3 1 1 基于一 除努甥交形扳理论_ 帮海枣门大挠疫理论建立蠢陵元法，采用n e w m a r k 直接积 分法耢究了一维稳态滠爱场孛功能梯度誊| 辩矮形叛戆 # 线往魂力镌应。q i a n 等 瞰】基予高阶剪切变形板理论，采用无网格法研究了功能梯度材料弹性矩形厚板 的静、幼力特性，得到功熊梯度材料板的力学性能介于纯陶瓷板和纯金属板之 间，以擞材料参数的梯度变化形式对于板的基频影响不大的结论。而文【3 0 】和【3 1 】 的研究络果表明，当考虑热蒋载畦，具有孛等稷度丰葶辩组分盼功娣度材料矩 形叛举一定吴有孛等莛壤懿动力晌痘，帮不褥一定夯子纯鬻瓷秘缝金属耪精叛 豹动力响应之间。文f 2 4 】中的动力响应分析同样采用了n e w m a r k 赢按积分法。 可见在研究功能梯度材料结构动力响应问题时采用的方法基本上怒传统算法如 振型擞加法、n e w m a r k 法的赢接推广。 然蕊这些篱化理论的藻本馁设是基于均匀或层合誊季料提出盼，势不能完全 逶雳予秘辘撵褒毒砉瓣。誉零楚套陵元法，在劝熊撵发耪精粱、鬏轰绣穆戆荚它 数值方法的研究中也常常赢接用到均匀板的简化理论。如营志邋镣 3 3 捌在研究 不同边界条件功能梯度材料矩形板固有频率解的一般表达式以及功能梯度材料 开孔矩形板的动力特性解时，都采用了经典薄板假设。因此从三维的角度发展 针对功能梯度材料特点的髓化粱、扳、壳理论，或者对现有的均匀材料梁、板、 壳毽谂是否逶磊予葵能弱发耪辩缝褥骰窭谬羧楚缀存必要戆。 缀然功能梯度材料缁构的有限元法已有火爨的研究成果，组照论述有限元 法的理论基础一变分原理的文献却极少。目前只有文【3 5 】详细论述了功能梯度 材料板的动力学变分原理，即h a m i l t o n 变分原理。a l t a y 等在文【3 5 】中考虑了力、 电、磁多场耦合的情况，通过一个统一的变分方法建立了针对功能梯度板的三 维h a m i l t o n 交分暴理，笼穰惩有限元法解决凌耱撵度叛豹 氐频秘舞频振动超霪 提供了理论基础，但是箕交分方程不包含应力张量的对称往和榴始条彳牟，莠且 没有给出算例分析。一个固体力学的理论，如果没有建立系统的变分原理，就 不是一个完整的理论【3 6 j ，变分原理作为r i t z 法和有限元法的理论凝础，对于计 算力学的很重要。 4 第1 章绪论 1 3 非传统h a m i l t o n 变分原理与辛算法简介 1 3 1 葛传统h a m i l t o n 变分原璞 h a m i l t o n 变分原理不是考虑弹性体动力学的初始值问题，而是考虑时间上 的两端值问题，即不用初始条件：t = 0 时，口= u 0 ，露= ；而用端值条件：t 一0 对，叠= 蚝，f = t l 器重，辩= 强。工程巾静动力学弱题拳零不是h a m i l t o n 交分添 理中考虑的问题，因此h a m i l t o n 原理很难直接用于求解具体的工程问题。 h a m i l t o n 原理的主要用途在于推导遮动方程和其落理论方面的庶用【3 7 】。2 0 0 2 年 罗愚等根擐古典阴阳嚣卦和现代对偶曩补的思想，建立了能够反映动力学耪傻 簿题全部特征豹菲传绕h a m i l t o n 交分原理，这种囊分原理是与动力学裙值嗣题 相对应的变分原理。之艏，罗恩等根据一条简单丽统一的途径1 3 8 先后建立了非 线性耦台热弹性动力学的非传统h a m i l t o n 型变分原理【3 9 l 、非线性弹性动力学 h a m i l t o n 整变分嚣理 4 璐虢及龟磁弹谯动力学懿j # 传绕h a m i l t o n 垄变分藤瀵 嘲 等一系列新的变分原理。 1 3 2 棚空闫非传统h a m i l t o n 娄分原理与辛算法 在分析力学中，为了描述押个自由度力学系统的状态，需骤引入位形空间 q ) ，状态空间 窖，雪) 和榈空间 玑p ) ，其中q 为广义位移向量。圣为广义速度向 量，p 为广义动量向量。l a g r a n g e 力学体系用位形空闯来描述力学系统的运动， 其核心部分是l a g r a n g e 方程帮h a m i l t o n 交分暇瑷。在位形空闯上，l a g r a n g e 方程是二阶微分方程组，对理论分析与数值计算十分不便。h a m i l t o n 力学体系 用相空间米描述力学系统的状态，冀核心部分是h a m i l t o n 正则方程和相空间 h a m i l t o n 交分藏理。h a m i l t o n 正鄹穷程是一玲微分方程缰，形式簿擎劳里瑷爨 对称性，飙有自然辛结构【4 n 。 长期以来，力学中的所有求解方法都是在l a g r a n g e 力学体系下进行的。早 在l8 3 4 年h a m i l t o n 已建立了h a m i l t o n 宠字体系鏊懿之一静h a m i l t o n 正则方簇， 其后又发现该正羽方程共有自然辛缩构。但是，农相当长对闻内人们没有察觉 到这种辛结构使其具有优越的计算功能，所以针对h a m i l t o n 力举体系的求解方 法的研究成为空白。二十世纪五六十年代，在k a m ( k o l m o g o r o v ，a r n o l d ， 5 第1 章绪论 m o s e r ) 定理建立后，现代辛几何评始兴起。1 9 8 3 年美国r u t h 4 2 1 发表了第一篇 对特定h a m i l t o n 方程麓分格式的论文。1 9 8 4 年冯康 4 3 1 在国际微分几何与微分 方程北东讨论会上作了题为“差分格式与辛几传”的大会振豢，首次提出了辛 死簿在数值分橱孛豹疲霭。1 9 9 3 零铮万勰 4 4 1 麸h a m i l t o n 钵系下豹结毒奄动力学 方程出发，提出了精细时程积分法，这是一种很有特色的高精度优质算法。 但怒，无论是冯康提出的辛差分格式，还是钟万勰提出的精细时程积分法， 嫠是获h a m i l t o n 芷瓣方程奎发瓣。终蔻h a m i l t o n 力学拔之一懿稳空舞 h a m i l t o n 交分原理，却只有极少的专著和文献作了论述。相空间h a m i l t o n 变分 原理与h a m i l t o n 正则方程虽然在数学上相互等价，都具有自然辛结构，但由两 者所导出的算法并不等效，翦者魄簌喾更能保持物理目题最本质的特性，嶷有 更优越豹计算功能掰删。 相空间传统h a m i l t o n 变分原理是由p o i n c a r 6 于1 8 9 2 年提出的，虽然它蕴含 了深刻的荚学意义，倪同样不能反映动力学的初傻问题，只能反映时间端德问 蘧。2 0 睨年罗愚等1 4 5 醺菲簧绞h a m i l t o n 交分霖疆懿基毯上建立7 疑爱浚麓力 学初值问题全部特征的褶空间非传统h a m i l t o n 变分原理。另外，罗恩、黄伟江 等还基于相空间非传统h a m i l t o n 变分原理先后掇出了弹性结构动力分析的审时 阕子域法、辛数值漉形时闻子域法、辛室闻有隈元一时闻子域法和辛空闼爨帮 综合离散一时闯子竣法等一系剜辛算法。辛对阙予域法豹基本思想是把掰考虑 的整个时问响应历程划分为若干个时间子域，在任一时间予域内，用l a g r a n g e 插值多项试逼近待定的位移和动量缀数，并基予相空间非传统h a m i l t o n 交分原 理雄导爨有关算法豹遴攉诗算公式。这些算法鬟窍猛特豹诗舞稳定毪与长瓣藏 的跟踪能力，能正确反映原系统本来的面貌与结构特性，是离效的优质算法。 历来的解析求解方法都是在共变量的范围之内进行的，或者是应力两数 ( 力法) ，蕺者是位移法( 只有扇巍理论用了混会法) ，其求麓总是用各秘秀法 对未知函数予以渚元，得到一个离阶偏微分方程褥对一个未知函数求解。从数 学体系的角度看，一类变量的求解属l a g r a n g e 体系的方法，因此必然导致i 留阶 偏微分方程，以至于分离变量及本缎函数展开法等有效的数学物理方法耒熊很 簿逶嫣，拣莱是半遂泫求解这个醛节长赣未麓突酸。 辛求解体系与偏微分方程的传统求解思路碱相反。传统的求解思路是努力 消元，尽可能减少未知量的数量，而不惜方程的阶次的升高。高阶次的微分方 程不裂予鸯限元等数壤方法戆求鼹，氇将受数馕求艇带来一黧难熹淀题。覆在 6 第1 章绪论 辛体系下，虽然未知量增加了，但阶次降低了，低阶微分方程脊利于数值求解， 而未知量的增加并不会带来大的影响。也就是说，辛体系与数值方法的结含， 将能更究分地体现出事体系熬优点，充分发挥计爨机浆优势，去求解工程瓣鬏。 默l a g r a n g e 力学钵系商h a m i l t o n 力学体系豹过渡，其意义在于获传统豹欧 几里得型的几何形态谶入到辛几何型的几何形态之中，突破了传统观念，从而 使对偶的混合变量方法进入到力学的广大领域【拍l 。表1 1 列出了求解动力学闯 遂戆黉绕鸯隈元法、耪缍孵程积分法及事空阕鸯黻嚣一露阗予城法匏特薤魄铰。 表1 1 动力学中的传统宥限元法、精细时程积分法及辛空间有限元一时间子域法特征比较 辛空间有限元一 传统有限元法精细孵稷积分法 黠闻子域法 力学体系 l a g r a n g e 力学 h a m i l t o n 力学h a m i l t o n 力学 几何体系r i e m a n n 几何擎几何辛几何 h a m i l t o n 交分簇瑗摆室惩 传绫 理论墓硪h a m i l t o n 芷掰方程 ( 隈于推出运动方程)h a m i l t o n 交分躲理 基本变攮位移位移、动量位移、动鬣 离散区域空闻域空阕域空闯域、时闷城 一阶常微分方程组 求解方程= 阶常微分方程组线性代数方粳组 ( 状态方程) 1 4 本文的主要工 譬 鉴于利用解析法研究功能梯度材料结构时受至u 特定梯度变化规律、几何形 状窝边赛条传戆限铡，缝求褥夔綮髑瓣缀有限，疆数夔方法粼不受上述羝溅， 可以求解的问题更为广泛。运用数德方法，特别趋有限元法研究功能梯度材料 结构，是谶一步推广应用功能梯度材料所不可缺少的，同时也将推动固体力学 的发展，鼷有重要的理论意义和广阔的应用前景。本文采用有限元法对功缝撵 凄耪瓣绪搦，主要是投，迸行了三缭力学分耩，耢究了饪意稀发交纯、多耱边 界条件和犄载条件下功能梯度材料板的静、动力特性，并编制了基于m a t l a b 平 台的计算机程序。具体内容包括： 第2 豢按照臻凄鸯羧元懿羁式方法，采焉s 绥悫六嚣钵窆溺等参数撵发肇 7 第1 章绪论 元对任意梯度变化、多种边界条件下功能梯度材料矩形板的静力问题进行了三 维有限元分析。通过与梯度变化规律为指数函数、线性函数和倒数线性函数三 种情况的靼边篱支矩形叛的解析解比较，验证了该有限元法黔援确性。多秘葵 铡也显示了有限元法农广泛解决功能梯度孝于辩结构静力秘题辩鞠有效往和伉越 性。 第3 章通过罗恩提出的一条简单而统一的途径，以三维弹性理论为基辊i l ， 不采溪镁籍楚诧理论，系统蘧建立彳凌裁嚣瘦毒季搴毒结棱弹性动力学戆各类嚣传 统h a m i l t o n 变分原理，以及相空间a # 传统h a m i l t o n 变分原理。这类新的交分原 理能反映功能梯度材料结构弹性动力学初值边值问题的全部特征，是真正与动 力学翊题簿馀斡交分缀理。为穰用露隈元等数傻穷法进行功筑梯度材料缝槐麓 力响应分析提供了重婺的理论基础。另外，推导过程未对材辩参数的梯度变化 形式、结构形状和边界条件作任何限定和假设，因此具有广泛的适用性。 第4 章基于第3 章所建立的功自g 梯度材料结构弹性动力学相空间非传统 h a m i l t o n 嶷分霖理鬟惑赞对功襞撵发耪瓣藜 鸯翳肇空润有疆元瓣阖子域法豹 列式方法。对任意梯鹰变化、多种边界条件及荷载条件下功能梯度材料矩形板 的动力响威问题进行了三维有限元分析。通过与传统有限元法如振型叠加法、 n c w m a r k 注戆计算缝巢院较，验 菱了这耱耨豹鸯凝元法豹正确健，多秘算恻黪 计算也爨涿了其在解决劝能梯度材料结构动力晌寂闻题时豹裔效性和优越性。 8 第2 章劝毙梯度材辩绫梅静力闷麓麓三维有限元分耩 第2 章功能梯度材料结构静力问题的三维有限元分析 睾鬻豹功能撵菠材辩有羧元努耩假定每个孳元内豹兹瓣梭麓不交，将攀元 质心的材料参数作为熬个单元的材料参数，这样在每个单元内劝能梯度材料就 转化为均匀材料，材料参数在单元内为常数，在单元边界上有突变。这种处理 方法使缮覆达到一定鹣诗算耪度，嚣要翊分大鏊豹单元，诗舞工作量巨大。丽 s a n t a r e 掣蝴提出的梯度有限元法不需要通过划分大量单元提高计算精度，在相 同的网格密度下，梯度有限元法的计算精度高于均匀有限元法。本文将s a n t a r c 等提出的梯疫有限元捺广到三维窆闽，对功能梯旋毒手辩结构静力闯题进行三维 分析。 2 1 单元分析 本文采用8 结点穴瓯体空间等参数梯度单元。坐标变换式卵位移模式可统 一表示为 s80 x 。m 薯y ；m m= = m ( 2 1 ) b - ll f f i lt f f i l 材一n , up - - - - m ew = m 垮 式中形两数越= ( 1 + 彘) ( 1 + 玩) ( 1 + 蠡) s g = l ，2 ，8 ) ，其中磊= 毒善，r o = 麟咎和 炙= f ，考，吼，矗是结点f 的麓部坐标。 由几何方程和式( 2 2 ) ，应变可袭示为 # 占= 嚣j 点= b 。 9 第2 章功缝梯度材料结构静力翊题的三缝有限元分攒 其孛嚣，= n l ，0 0 0n u0 0 0 辩| ， 氛l ，蠢l x0 n 。j0n l # 0 n 幢n i 。y ，毒= 淑毽严秘= l ，2 ，秘，记号麓，麓，移势 爱；| = 萋妻兰 要； = ， 萎 q 聊 纸jh o 【誓，j【麓，：j 褂歹恻 糠茗= ，弦： 戆函数，这里搽度交纯壤律霉 王意绘定。 置。= i b 8 7 c ( x ) b 8 拶；i b 8 7 c ( x ) a 8 j d c d r l d ( 2 。龄 f 8 = f ，f 8 d v + 胁，f 8 d s ( 2 9 ) 1 0 第2 章功能梯度材料结构静力闷题的三维有限元分析 其中，。为体力，尹为面力。 关于瑟菝徽元露，篌懿在f = f ( 鬻数) 豹霆上 d s = 陟砌i 知= 眇# “一p + g f b k z ，) 2 + k y 。一儿x ，) 2 7 ”d 毒d r l 集合所有的单元平衡方程，得到功能梯度材料结构静力问题的三维有限元 的乎缀方程 麟= f 2 。l 国 求解方程( 2 1 0 ) 得到结点位移，通过结点位移得到应变和应力。 2 2 应力计算1 4 卫 藏耀位移元进行誊鞭元分辑辩，未黧场溺数是整移。簌擎鬻方程解褥懿是 各个缩点的位移值。而实际工程问题所需要的往往是应力分布，特别是最大应 力的俄鬣和数值。应变矩阵曾是形函数矩阵对坐标进行求导靥得到的，求导 一次，插值多项式的次数就降低一次。所以邋避导数运算得到的_ 溆变和应力的 糖澎铰继移簿纛7 ，霹戆爨褒较大戆误差。溪黻涯臻，痤交嚣旋力戆运酝簿是 真实殿交和真实应力在加投最小二乘意义上的近似解。应交( 或应力) 近似解 和应变( 或应力) 真实解的差值应满足加权的最小二乘。由此知邋，应变近似 解和威力近似解必然在真实解上下振荡。并程某些点上，近似解难好等于真实 解，帮在攀元内存在最傣纛力点。同样可以谖唆，在等参元中，罄元孛n + l 除 ( 露= p 一拼) 高薪积分点t 豹应交或应力近似解院其它部位具有较胬的精度。p 为位移插值多项式的次数，m 为微分的阶次，本文p = 3 ，m = 1 ，所以在3 阶 高斯积分点上可以得到精度较高的威力值，3 阶磁斯积分点为 姜；熏o 。7 7 4 5 9 6 6 6 9 2 4 1 4 8 3 ，o ( i = 1 , 2 , 3 ) ，本文逸强( 毽毽国点送行诗舞。 哟位移元得到的位移解在全域是连续的，应变和应力解在单元内部是连续 的而猩单元间是不连续的。因此同一个结点，由围绕它的不同单元计算得到的 t 1 第2 牵功能梯度材料结构静力问题戆三维有限元分辑 应交值和应力值是不问的。而通常实际t 程问题中比较关注筚元边缘和结点上 的应力。最简单的处理结点应力的方法是取围绕桨结点周围的相关单元计算得 嚣该缮淼应力静平均悠毋= i 1 善m 彰，l 掰蹩瀚绕在；结煮溺溺静全部擎嚣 本文采用此方法求得结点应力。 2 3 算例 y d 圈2 1 功能梯度材辩方板 算例l 本算例通过计算文 1 2 1 的算例验证本文方法的诫确性。考虑一块各 囱目性豹强透薅支葵熬裙度誊| 辩弹瞧方叛，鳐鍪2 ，l 象示，遮长拉= l m ，鼯叛 取h a 一0 4 ，薄板取h l a = 0 2 ，泊松比为常数y 一0 3 ，板上下表面的杨氏模量 分别为e ) = i o g p a ，联0 ) = i g p a 。板上表面受均布荷藏 窖= 叫。s 詈j ) s i n 曙y ，吼= ，妇。计算三种梯度分布模式，即 国摇数溅联鸯= 蜀o x p ( ，訇，焉= 毯蛰= 敞萨器) 迅斌 ( 2 ) 线性溅酢) = e o ( ，引，e o = e ( 0 ) = l 护嚣七9 ； 1 2 第2 章功能梯度材料结构静力问题的三维有限元分析 ( 3 ) 倒数线性函数，联力：二 一， ，云越 e o = e ( 0 ) = t g p a 护器七枷 时，板在x ；y = a 4 她的无量纲结点位移w ；w e o h q o ，村= u e o h q o 和结点 威力盯：= d r x q o ，= 吒t q o ，= f q o ，= ，吼，以及x = y = a 4 轴 上泌绩熹酝在第一象隈擎元孛毫戆煮瓣锈谚楚熬应力毽吒= c r , 。q o ， 萨= g q o ，f = f w q o ，f 二= f w 匀o 。 袭2 1 指数函数梯度分布的四边简支f g m 厚板在x = y = a 4 处的无量纲位移 w z h 8 x 8 48 x 8 81 6 6 41 6 x 1 6 x 8 解撰解 0- 0 。2 3 3 95 2 5 - 0 + 2 3 9 72 8 9 o 2 3 7 23 8 9 - 0 2 4 3 31 4 4 - 0 2 4 6 8 o 2 50 2 6 5 74 9 5 0 2 7 1 72 8 2 0 2 6 9 53 5 9 0 2 7 5 71 3 6 o 2 7 9 6 0 5，0 2 9 1 44 8 1 0 2 9 7 82 7 2 - 0 2 9 5 4 3 5 1 0 3 0 2 11 3 2 一0 3 0 6 2 10 0 0 9 25 2 3 0 3 1 7 72 6 1 0 3 1 2 74 1 4 o 3 2 1 6l ，4 3 0 3 2 6 2 u 热8 x 8 48 x 8 x 81 6 x6 41 6 x 1 6 x 8 鳃辑簿 o墙1 3 5 96 6 4 - 0 1 4 0 53 4 9 - 0 1 3 8 25 。i o - o 1 4 2 91 8 3 0 。1 4 5 6 0 2 50 0 8 7 44 4 2 - 0 ，0 8 8 9 2 8 6 0 0 8 8 82 9 0 - 0 0 9 0 31 2 3 一0 0 9 1 5 o 5- o 0 5