（应用数学专业论文）由弱基定义的空间及其相关结果.pdf

博士学位论文 摘要 映射与空间的分类原则 即a 1 e x a i l d r o 雕a r h a n g e l s k i i 思想在于用映射作工具 揭示各种拓扑空间类的内在规律 许多拓扑学家跟随该思想 研究度量空间在各 映射类下的象和逆象的内在特征 弱基是由a v a m 觚g e l s l i i 引入的 它是广义度量空间理论中的一个重要概 念 由弱基可定义各种空间 它们都属于广义度量空间 其中9 可度量空间 即具 有盯 局部有限弱基的空间 就得到了f s i w i e c y 1 抽出a l f o g e d 林寿 刘 川等国内外拓扑学者的深入研究 得到不少满意的结果 本论文旨在研究其它一些由弱基可定义的空间 分为五个部分 第一部分包括第一章 我们回顾了问题产生的背景及发展概况 简要综述了 本文的主要工作 同时介绍了一些预备知识 第二部分包括第二 四 五 六章 我们给出了由弱基定义的各种空间 即 具有一致弱基的空间 具有伊一局部可数弱基的空间 具有局部可数弱基的空间和 具有盯 紧有限弱基的空间的内部特征 并且 利用弱开映射 7 r 映射 m s s s 映 射 s s 映射 m s 七映射 一些复盖映射等建立了它们与度量空间之间的联糸 其 中m 幽映射是我们引入的 第三部分包括第三章 我们给出了度量空间的弱开7 r 映象的内部特征 证明 了度量空间的弱开丌映象等价于9 一可展空间 第四部分包括第七章 我们给出了9 可度量空间的一个新映射定理 第五部分包括第八章 我们引入了弱紧七网络的概念 给出了局部紧度量空 间的闭映象的一个新特征 主要结果如下 定理2 2 1 对于空间x 下述条件是等价的 1 x 具有一致弱基 2 x 是具有一致c s 网络的g 第一可数空间 3 x 具有由点有限c s 覆盖构成的弱展开 4 x 是度量空间的弱开紧映象 定理3 2 1 对空间x 下述条件是等价的 1 x 是度量空间的弱开7 r 映象 2 x 具有由c s 覆盖组成的弱展开 3 x 具有由s n 覆盖组成的弱展开 4 x 是c o 缸c 幻空间 5 x 是夕可展空间 i 由弱基定义的空间及其相关结果 定理4 2 1 空间x 具有盯 局部可数弱基 当且仅当它是度量空间的弱开 m s s s 映象 定理4 2 2 对于空间x 下述条件 1 骨 2 兮 3 成立 1 x 具有盯一局部可数弱基 2 x 是具有盯一局部可数c s 网络的9 第一可数空间 3 x 是具有盯 局部可数惫网络的g 第一可数空间 定理5 2 7 对于空间x 下述条件是等价的t 1 x 具有局部可数弱基 2 x 是局部可分度量空问的紧覆盖 商 紧 s s 映象 3 x 是局部可分度量空间的商 紧 粤s 映象 4 x 是局部可分度量空间的商 7 r s 8 映象 5 x 是局部可分度量空间的1 序列覆盖 商 s s 映象 定理6 2 3 对空间x 下述条件 1 令 2 牟号 3 毒 4 成立 1 x 具有盯一紧有限弱基 2 x 是具有仃 紧有限s n 网络的忌空间 3 x 是具有仃 紧有限c s 网络的夕第一可数空间 4 x 是具有盯一紧有限七网络的夕第一可数空间 定理6 2 4 空间x 具有盯一紧有限弱基当且仅当它是度量空间的1 序列覆盖 商m s 七映象 定理7 2 3 对于空间x 下述条件是等价的 1 x 是9 可度量空间 2 x 是度量空间的强序列覆盖 商 7 r 盯映象 3 x 是度量空间的序列覆盖 商 丌 仃映象 4 x 是度量空间的商 丌 盯映象 定理8 2 5 空间x 是局部紧度量空间的闭映象当且仅当它是具有点可数的弱 紧奄网络的f 厄c h e t 空间 关键词 弱基 度量空间 s n 网络 射 7 r 映射 m s 尼映射 仇s s s 映射 c s 网络 后网络 弱开映射 序列复盖映 s s 映射 夕可度量空间 9 第一可数空间 博士学位论文 a b s t r a c t t h ec l a s s i f i e dp r i n c i p l eo f m a p p i n g 锄ds p a c e s t h a ti s 舢e x a i l d r o 昏触锄g e l s k i i s i d e ai st 0e s 饭b l i s hm ei n t r i n s i cl a wo fv a r i o u sc a t e g o r i e so ft o p o l o g i c a ls p a c e sb ym e a n s o fm 哪 i n g s al o to ft o p o l o g i s t sw h 0a r cf o l l o w i n gt l l i si d e 如s t i l d ym ei n t r i n s i cc h 小 a c t e r i z a t i o n sf o ri m a g e sa i l di n v e r s ei m a g e so fm e t r i cs p a c e su n d e rv 碰o u sm a p p i n g s 7 i t l ec o n c e p to fw e a k b a s e 锄i m p o 咖l tc o n c e p ti nm e o 巧o fg e n e r a l i z e dm e t r i c s p a c e s w 硒i n n o d u c e db ya v a r h 锄g e l s k i i v r a r i o u ss p a c e sd e 矗n e db yw e a k b a s e s b e l o n gt 0g e n e r a l i z e dm e t r i cs p a c e s i nw l l i c h 夕一m e t r i z a b l es p a c e s i e s p a c e s w i t l l 盯 l o c a l l yf i n i t ew e a k b a s e s a r ef u m l e rs t u d i e db y s o i i l et o p o l o g i s t si nt h ew o d d s u c h 硒 f s i w i e c y 1 觚a k a l f o g e d l i ns h o u l i uc h u a i i 觚d s oo n a i l dm a i l yn o t i c e a b l e r e s u l t sha v eb e e no b t a i n e d 7 r h ep i l r p o s eo ft l l i sp a p e ri st 0s m d ys o m eo m e rs p a c e sd e f i n e db yw e a l b a s e s 觚d m e p a p e r c o n s i s t so fm ef 0 u o w i n gf i v ep a r t s i l l e 觚tp a r ti n c l u d e sc h a p t e r1 t h eh i s t o r i c a l b a c k g r o u n d 孤dm e 僦e n t d e v e l o p m e n to f l ep r o b l e m sa r er e v i e w e d 锄d 廿l em a i nc o n t e n t so fm ep 印e ra r eo u n i n e d a tt h es 锄et i m e w ei n 臼o d l l c es o m ep r e l i m i n a r yk n o w l e d g e 1 l l es e c o n dp a n c o n s i s t so f c h a p t e r2 c h a p t e r 4 c h a p t e r 5 觚dc h a p t e r6 w eg i v e m ei n t r i n s i cc h a r a c 矧z a t i o n sf b rv a r i o u ss p a c e sd e f i n e db yw e a k b a s e s i e s p a c e sw i t l l u n i f o mw e a k b a s e s s p a c e sw i m 仃 l o c a l l yc o u n t a b l ew e a k b a s e s s p a c e sw i t l l1 0 c a l l y c o u n 油l ew e a k b a s e s 觚ds p a c e sw i m 盯 c o m p a c tf i n i t ew e a k b a s e s w be s t a b l i s hm e r e l a t i o n s t l i p s 锄o n gt t l e ma i l dm e t r i cs p a c e sb ym e a i l so fw ea k o p e nm 印p i n g s m s s s m a p p i n g s s s m 印p i n g s m s 尼一m a p p i n g s s o m ec o v 嘶n gm a p p i n g s a i l d s oo n t h ec o n c 印to fm s 七一m a p p i n g si s 丘r s t l yi n 廿0 d u c eb y u s t h et h i r dp a ni n c l u d e sc h 叩t e r3 w eg i v em ec h 砌蛐捕z a t i o n so fw e 越o p e n7 r i m a g e so f l e t r i cs p a c e s 锄dp r 0 v em a tas p a c ei sa w e a ko p e n7 r i m a g eo fm e t r i cs p a c e i f 锄do n l yi fi ti sa9 d e v e l o p a b l es p a c e 1 1 l ef b u n hp a r ti n c l u d e sc h a p t e r7 an e wm a p p i n gm e o r e mo n 夕 m e t r i z a b l e s p a c e si sg i v e n 1 k 矗趾p a ni n c l u d e sc h 印t e r8 w ed e f i n et h ec o n c e p to fw e a kc o m p a c t n e t w o r k a i l dg i v ean e wc h a r a c t c i i z a t i o nf o rc l o s di m a g e so f1 0 c a l l yc o m p a c tm e t r i c s p a c e s t h em a i nr e s u l t so b t a i n e db yu sa r ea sf o l l o w s t h r e m2 2 1t h ef o l l o w i n gi se q u i v a l e n tf o ras p a c ex 1 xh a sau n i f o mw e a k b a s e 由弱基定义的空间及其相关结果 2 xi sag f i l l s tc o u n t a b l es p a c ew i mau n 0 ms 礼一n e t w o r k 3 xh 硒aw e a l d e v e l o p m e n tc o n s i s t i n go fp o i n t f i n i t es 礼一c o v e r s 4 xi saw e a l 一叩朗c o l n p a c ti m a g eo fam e t r i cs p a c e t h e o 他m3 2 1t h ef o l l o w i n gi se q u i v a l e n tf 研as p a c ex 1 xi saw e a l o p e n7 r i m a g eo f m e t r i cs p a c e 2 xh 私aw e 出一d e v e l o p m e n tc o n s i s t i n go fs n c o v e r s 3 xh 硒aw e a l 一d e v e l o p m e n tc o n s i s t i n go f5 几 c o v e r s 4 xi sac a u c h ys p a c e 5 xi sa 夕一d e v e l o p a b l es p a c e t h e o 咒m4 2 1a s p a c eh 弱a 口一l o c a l l yc o u n t a b l ew e a k b a s ei fa 1 1 do n l yi fi ti sa w e a k o p e nm s 3 鲥m a g eo fam e t r i cs p a c e t h e o 豫m4 2 2f o ras p a c ex 1 号 2 争 3 b e l o wh o l d 1 xh 舔a 仃 l o c a l l yc o u n t a b l ew e a l b a s e 2 xi sa 夕一f i r s tc o u n t a b l es p a c ew i t ha 盯 1 0 c a l l yc o u n t a b l es 竹 n e t w o r k 3 xi sa 夕一f i r s tc o u n t a b l es p a c ew i ma 盯一1 0 c a l l yc o u n t a b l e 七一n e t w o r k t h e o 陀m5 2 71 1 1 ef o l l o w i n gi se q u i v a l e n tf o ra s p a c ex 1 x h a sl o c a l l yc o u n t a b l ew e a k b 硒e 2 xi sac o m p a c t c o v e r i n g q u o t i e n t c o i l l p a c ta i l ds 8 一i m a g eo fal o c a l l ys 印a r a b l em e t r i cs p a c e 3 x i saq u o t i e n t c o l p a c t 锄ds s i m a g eo fal o c 蛆ys 印a r a b l em e t r i cs p a c e 4 xi saq u o t i e n t 7 r i m a g e 锄ds s i m a g eo fal o c a l l ys 印a r a b l em 嘶cs p a c e 5 x i sa 1 s e q e n c e c o v 面n g q u o t i e n t 锄ds s i m a g eo f a l o c a l l ys e p 删b l em e t r i c s p a c e t h e o n m6 2 3f b ras p a c ex 1 号 2 告令 3 亨 4 b e l o wh o l d 1 xh 勰a 盯一c o m p a c tf i n i t ew e a k b a s e 2 xi sa 七一s p a c ew i mm e 仃 c o m p a c tf i n i t es 礼 n e t w o r k 3 xi sa 夕一丘r s tc o u n t a b l es p a c ew i t l la 仃 c o l p a c tf i n i t es n n e t w o r k 4 xi sa 夕一f i r s tc o u n t a b l es p a c ew i t l la 仃一c o m p a c tl i i l i t e 七一n e t w o r k t h e o 他m6 2 4a s p a c eh a sa 盯一c o m p a c tf i n 沁w e a k b a s e i f 锄do n l yi fi ti sa 1 一s e q e n c e c o v e r i n g q u o t i e n ta i l dm s 七 i m a g eo fam e t r i cs p a c e t h e o m m7 2 3t h e f o l l o w i n gi se q u i v a l e n tf o ras p a c cx 1 x i sa9 一m e t r i z a b l es p a c e 2 xi sas t i o n gs e q u e n c e c o v e d n g q u o t i e n t 7 ra i l d 盯 i m a g eo fam e t r i cs p a c e 博士学位论文 3 x i sas e q u e n c e c o v e r i n g q u o t i e n t 7 ra i l d 仃 i m a g eo fam e t r i cs p a c e 4 xi sa q u o t i e n t 7 r 锄d 仃一i m a g eo f a i n e t r i cs p a c e t h e o n m8 2 5as p a c ei sac l o s e d i m a g eo fa1 0 c a l l yc o m p a c tm e t r i cs p a c ei f a i l do n l yi fi ti saf r 芭c h e ts p a c ew i map o i n t c o u n 诅b l ew e a l c o m p a c t 七一n e t w o r k k e y w o r d sa i l dp h r 嬲髑 w b a k b 嬲姻 m e t r i cs p a c 鹪 s 扎 n e t w o r l 心 c s n e t w o r l 噶 七一 n e t w o r k s w e a k o p e nm a p p i n g s s e q u e n c e c o v e r i n gm a p p i n g s 7 r m a p p i n g s m s 七 m a p p i n g s m s s s m a p p i n g s s s m a p p i n g s 夕一m e t r i z a b l es p a c 鹪 9 矗r s tc o u n t a b l e s p a c 鹤 v 由弱基定义的空间及其相关结果 符号 并 交 属于 不属于 小于 小于或等于 逻辑连词 蕴含 逻辑连词 不蕴含 逻辑连词 等价 和 自然数集 非负实数集 集a 的势 集a 与集b 的笛卡尔积 乘积 拓扑和 空集 a 是b 的子集 x 的幂集 第扎项为z 他的序列 b b u n 譬 o 可验证 s s 映射是s 映射 度量空间上的紧映射是7 r 映射 定义1 3 6 设 x y 是映射 则 1 称为紧覆盖映射 3 0 如果y 中的任一紧子集是x 的某一紧子集的象 2 称为1 序列覆盖映射 3 4 如果对任意可 y 存在z 厂1 可 满足t 如果y 中的序列 鲰 收敛于 那么存在x 中收敛于写的序列 z n 使得每一 厂1 3 称为强序列覆盖映射 3 6 如果y 的任一收敛序列 包含它的极限点 都是x 的某一收敛序列 包含它的极限点 在 下的象 4 称为序列覆盖映射 3 8 如果y 中的任一收敛序列 包含它的极限点 是x 中某一紧子集在 下的象 可验证 1 序列覆盖映射辛强序列覆盖映射 扛 紧覆盖映射兮序列覆盖映射 定义1 3 7 3 9 设尹是空间x 的覆盖 则 1 尹称为x 的c s 覆盖 如果x 中的每个收敛序列终于p 的某个元素 2 尹称为x 的s 礼覆盖 如果p 是x 的覆盖 p 的每个元素是x 中某点 的序列邻域 且对于每一z x 存在点z 在x 中的序列邻域p 使得p 尹 定义1 3 8 1 空间x 称为七空间 8 如果acx 使得对于x 的每一紧子 集k 有kn a 是k 的闭子集 则a 是x 的闭子集 2 空间x 称为f 托c h e t 空间 如果z 五cx 那么 存在a 中的点组成的 序歹 l z n 使得在x 中 z n 收敛于z 3 空间x 称为l 硒n 洳空间 如果它是度量空间的闭映象 注1 3 9 1 对于一个空间 基 争弱基 争s 礼网络 兮 网络 争 网 络 基 争七网络 序列空间的s n 网络是它的弱基 c s 网络 辛c s 覆盖 肌网 络昔肌覆盖 参见 2 3 3 9 5 由弱基定义的空间及其相关结果 2 n 空间等兮具有伊局部有限c s 网络的空间 令盯 局部有限c 8 网络的 空间 参见 4 0 中定理4 3 r o 空间号n 空间号盯空间 4 夕可度量空间弓具有仃 紧有限弱基的空间号具有点可数弱基的空间 哥g 第一可数空间号序列空间昔七空间 5 第一可数空间 净f r 芭c h 瓯夕第一可数空间 参见 1 2 6 f 托c h e t 空间号后空间 定义1 3 1 0 3 9 设是空间x 的覆盖序列 则 1 r 称为x 的点星网络 如果对每一z x 武 z r 是点z 在x 中 的网络 2 r 称为x 的展开 如果对每一z x 及x 的开覆盖r s t z r 是点z 在x 中的邻域基 3 r 称为x 的弱展开 如果对每一z x s t z r 是点z 在x 中的 弱邻域基 注1 3 1 1 对于 个空间 展开号弱展开考点星网络 6 博士学位论文 2 1 引言 第2 章具有一致弱基的空间 a v a 曲锄g e l s k i i 引入了一致覆盖的概念 证明了一个空间是度量空间的开 紧映象 当且仅当它是度量空间的伪开紧映象 当且仅当它具有一致基 参见文 献 4 1 4 2 林寿 4 3 证明了一个空间是度量空间的商紧映象当且仅当它具有由 点有限覆盖构成的弱展开 y 泓a 刘川和y 1 钿a k a 4 4 也研究了度量空间的商 紧映象 证明了一个空间具有点正则弱基当且仅当它是度量空间的序列覆盖商紧 映象 林寿 燕鹏飞 4 5 获得了同样的结论 最近 夏省祥 3 5 引入了弱开映射 的概念 利用这一概念 g 第一可数空间被刻画为度量空间在弱开映射下的象 此外 在文献 4 6 中 我们证明了一个空间是9 可度量化的 当且仅当它是度量 空间的弱开口一象 本章研究具有一致弱基的空间 证明了一个空间具有一致弱基 当且仅当它 是度量空间的弱开紧映象 并讨论了相关问题 定义2 1 1 设p 是空间x 的覆盖 则 1 p 称为x 的一致覆盖 4 1 如果对每一z x 是伊k 无限可数子 集 则 是点z 在x 中的网络 2 尹称为x 的点正则覆盖 4 4 如果z u r 则 尸 夕 z pzu 是有限的 引理2 1 2 4 5 1 对于空间x 的覆盖p 下述条件等价 1 尹是x 的一致覆盖 2 对每一z x 若 r 是 p 霉的无限子集 且u 是点z 在x 中的序列 邻域 则存在m r 使得对任意n m rc 3 p 是x 的点正则覆盖 2 2 主要结果 定理2 2 1 对于空间x 下述条件是等价的 1 x 具有一致弱基 x 具有点正则弱基 4 x 是具有点正则c s 网络的夕第一可数空间 5 x 是具有由点有限c s 覆盖构成的弱展开 7 由弱基定义的空间及其相关结果 6 x 是度量空间的弱开紧映象 证明 1 3 和 2 营 4 由引理2 1 2 得证 3 4 由 4 4 中的定理9 得证 3 专 5 假设p 是x 的点正则弱基 置 妒 x z z 是x 中的孤立点 p m r p 若rcp p 则p r 尹 p 仇 u 妒 x a p 在x 中是点可数的 假设伊 霉是不可数的 由于p 在x 中是点正则的 对每个可 z p 伊 茹 可 一是有限的 则存在伊 z 的无限子集 r z n r z 且七 使 得卯d p 卫 七 于是 由引理2 1 2 z 因为p 是x 的c s 网络 所以存 在 只 c 泸 薯 及 z n 的序列 使得 n m c 只cx z 唧 歹 是z 在x 中的网络 置口 啦 则口 m 且 q z 所以 是满射 假设a 佻 m 且 a z u 丁 x 则存在n 使得r cu 置 y p m p 的第n 个坐标是q n 则a y r m 且 y c cu 因此 是连续的 对每一z x 及i 置 鼠 啦 凡 z 只 则n 鼠在n 凡中是紧的 若a q n 鼠 则 如 是g 在x 中的网络 于是n m 且 q g 因此 nbc 1 0 若q q 广l z 则z n 黾 于是 q h 最 因此 1 z cn 鼠 从而 广1 z n 鼠 由此推断 是紧的 我们将证明 是弱开的 对每一z x 因为 任意只是x 的3 钆覆盖 所 以存在瓯 凡 使得只 是z 在x 中的序列邻域 由 只 是x 的点星网 得知 如 是z 在x 中的网络 置尾 做 n 则风 1 z 设 仉嗍 是风在m 中下降的邻域基 且置 玩 收 m 召 u 玩 z x 则召满足定义1 3 3 中的 a b 假设g 是x 中的开集 对每一z g 由 尾 一1 0 则厂1 g 是尾在m 中的开邻域 因此 对于m 幌c 1 g 9 由弱基定义的空间及其相关结果 于是 风 cg 且 她 玩 另一方面 假设gcx 且对于z g 存在 b 魄使得bcg 对于m 记b 艮 让 z n 是x 中的收敛于z 的序列 由于对每一t r 是z 在x 中的序列 邻域 则 z n 是终于如的 对每一n 若z n 令 啦 若 叠 选取 使得z n 厶n 因此 存在啦 使得对所有的n 仉 q 于是 q t n 收敛于啦 对每一n 置 风 i l 凡 t 则 风 和 风 收敛于风 因为u 以是忍在m 中的开邻域 所以 风 是终于己k 氏的 所有 z 住 是终于g 的 因此g 是z 的序列邻域 于是g 是x 中的序列开集 根据 4 3 中定理a x 是序列空间 故g 是x 中的开集 由此推断出召是x 的弱基 根据8 的含意 是弱开的 6 号 4 假设 m x 是弱开紧映射 其中m 是度量空间 令 碥 是 m 的局部有限开加细 使得对m 的每一紧子集k 毹 k 形成k 在m 中的 邻域基 参见 2 3 中定理1 3 3 对每一n 置r 碥 由于 是紧映 射 则 r 是x 的点有限覆盖序列 若y 是x 中的开集和z y 则广1 z c y 因为广1 z 在m 中是 紧的 所以 对于n s 亡 广1 z 碥 c 广1 y 于是武 z r cy 因此 s t z r 形成z 在x 中的网络 所以 r 是x 的点星网络 我们将证明任意r 是x 的c 8 覆盖 由于 是弱开映射 存在x 的弱基 8 u 魄 z x 且对每一z x 存在 k 广1 z 满足下列条件t 对 k 在 m 中的每一开邻域u bc u 其中b 统 对每一七 若 z n 在x 中收 敛于z x 则存在u 玩 使得慨 u 因此 对于b 魄 bc u 因为 b 是点z 在x 中的弱邻域 由 2 3 中定理1 6 1 8 所以b 是z 在x 中的序列邻 域 于是 u 也是z 在x 中的序列邻域 因此 z n 终于 u 由此推出r 是x 的c s 覆盖 令蹦 u 亿 因为由点有限c s 覆盖构成的点星网络是c s 网络 则 是x 的c s 网络 对每一z x 及七 由上述论证知 u 是z 在x 中的 序列邻域 则s t z r 也是z 在x 中的序列邻域 显然 x 是序列空间 于是 s t z r 是z 在x 中的弱邻域基 因此 x 是9 第一可数的 同理 对z 在x 中的每一开邻域 s t z r cw 从而推断出 u 似 茹 un 0 是 有限的 因为每一 是点可数的 所以 x 是具有点正则c s 网络的夕第一可数 空间 据定理2 2 1 或定理2 2 1 的证明和 3 5 中的定理2 5 我们可得到t 1 0 博士学位论文 推论2 2 2 对于空间x 下列 1 租 2 成立 1 若x 具有一致弱基 则x 具有点可数弱基 2 若x 具有一致c 3 网络 则x 具有点可数c s 网络 定理2 2 3 对于空间x 下述条件是等价的 1 x 具有一致基 2 x 是具有一致弱基的f 托c h e t 空间 3 x 是具有一致c s 网络的雕c h e t 空间 4 x 具有点正则基 5 x 是具有点正则弱基的f r 芭c h c t 空间 6 x 是具有点正则c s 网络的f r h e t 空间 证明 1 号 2 和 2 兮 3 是明显的 3 号 1 假设x 是具有一致c 8 网络的f r 苣c h e t 空间 由 4 5 中的定理l x 是度量空间的序列覆盖紧映象 设 是从m 到x 上的序列覆盖紧映射 由 2 3 中的命题2 1 1 6 2 是商映射 于是 由 2 3 中的命题2 1 1 6 3 是伪开映射 因而 x 具有一致基 参见文献 4 2 1 营 4 2 营 5 和 3 6 由引理2 得证 最后 我们给出几个例子说明定理2 2 1 例2 2 4 度量空间的商紧映象不是度量空间的弱开紧映象 让 表示单位区间 o 1 表示ou l n n 对z l 设s 0 同胚于 岛 置 m o os z z j 尉m 是局部紧度量空间 让x 是将z 与s z 的极限点贴合成一点得到 的商空间 用 表示这个商映射 由 2 3 中例2 9 2 7 可知 是商 紧 紧复盖 映射 且x 不具有点可数c s 网络 于是x 是度量空间的商紧映象 由推论2 2 2 可知 x 不具有一致c s 网络 因此 根据定理2 2 1 x 不是度量空间的弱开紧映 射 例2 2 5 度量空间的弱开紧映象不是度量空间的开紧映象 设x 是a n s 空间岛 参见 2 3 中例1 8 6 或 2 3 中例1 5 1 则x 具有点 正则弱基 于是 由定理2 2 1 x 度量空间的弱开紧映象 因为x 不是蚴e t 空 间 所以x 不是度量空间的伪开映象 于是x 不是度量空间的开紧映象 这个例子也说明tx 具有一致弱基务x 具有一致基 例2 2 6 度量空间的伪开s 映象不是度量空间的弱开紧映象 由弱基定义的空间及其相关结果 设x 是序列扇既 参见 2 3 中例1 8 7 则x 是f r 百c h e t 且r o 空间 于是 x 是度量空间的序列覆盖且伪开8 映象 由于x 不是9 第一可数空间 因此 由 定理 3 5 中2 5 x 不是度量空间的s 映象 所以 x 不是度量空间的弱开紧映 象 这一例子也说明 1 x 具有点可数c s 网络务x 具有一致c s 网络 2 x 是具有点可数c s 网络的f r 芭c h e t 空间务x 具有一致弱基 1 2 博士学位论文 第3 章度量空间的弱开7 r 映象 3 1 引言与定义 寻找度量空间的特定象的内部特征的刻画是一般拓扑学的 个中心问题 文 献 1 3 4 4 4 7 5 1 对度量空间的7 r 映象 开7 r 映象 伪开7 r 映象 的内部特征的刻 画获得了一些很好的结果 最近 夏省祥 3 5 引入了弱开映射的概念 利用它 把9 第一可数空间刻画为度量空间在弱开映射下的象 此外 我们 5 2 证明了空 间是9 可度量的当且仅当它是度量空间的弱开盯 映象 在本节中 我们给出了度量空间的弱开7 r 映象的一些刻画 证明了一个空间 是9 可展空间当且仅当它是度量空间的弱开7 r 映象 对r w h e a n i 在文献 4 7 中 的相应结论进行了推广 定义3 1 1 5 3 对于集合x 映射d x 一珏i 称为x 上的对称距离映 射 若对任意z 耖 x 下述条件成立 a d z y 0 当且仅当z b i d z 暑 d 可 z 对于 x 和s o 令b z g 妇 x d z 可 o 使得b z cu 这时d 称为x 的对称度量映射 定义3 1 1 5 3 1 设 d 为对称度量空间 1 x 中的序列 z n 称为d c a u c h y 序列 如果对每一 0 存在七 使 得对所有n m 七有d 收敛于致 3 2 主要定理 定理3 2 1 对于空间x 下述条件是等价的t 1 3 由弱基定义的空间及其相关结果 1 x 是度量空间的弱开7 r 映象 2 x 具有由c s 覆盖组成的弱展开 3 x 具有由s n 覆盖组成的弱展开 4 x 是c 肌c h y 空间 5 x 是9 可展空间 证明 1 令 2 假设x 是度量空间 m d 在弱开7 r 映射 下的象 对任意 n 令r b z l n z m 其中j e i z 1 n 可 m d z 1 n 取m 使得m 2 n 若z m 且z b z l m 贝4 厂1 z nb z 1 m d 若b z 1 m 茌 1 u 则 d 一1 z m 一1 u 2 m 1 n 矛盾 因而b z 1 m c 1 u 所以 b z 1 m cu 从而s t z cu 因 此 r 是x 的点星网络 下面证明每个r 是x 的c s 覆盖 因为 是弱开的 存在x 的弱基召 u 玩 z x 并对任意的z x 存在仃k 厂1 z 满足下面条件t 对矾 在m 中的任意开邻域u 存在某些b 玩使得bc u 对任意七 若 z n 在 x 收敛于z x 由 是弱开的 存在b 既使得bc b m 1 七 因为b 是z 在x 中的弱邻域 由文献 2 3 中推论1 6 1 8 可知b 是z 在x 中的序列邻 域 所以 b 慨 1 七 也是 则 z 住 是终于 b m 霉 1 七 的 这意味着r 是 x 的c s 覆盖 对任意z x 和七 因为 b 佻 1 忌 是z 在x 中的序列邻域 s t z r 也是 显然 x 是序列空间 所以 s t z r 是z 在x 中的弱邻域基 总之 r 是x 的由c s 覆盖组成的弱展开 2 兮 3 假设 乒k 是x 的由c s 覆盖组成的弱展开 可以假定对任意n r 1 比r 精细 对任意z 矽 x 记 t z 可 仃玩n 佗 zgs t r z 夕 定义 m i 则d x x o o o 是x 上的对称距离 博士学位论文 注对任意z 秒 x z 时 秒 r 当且仅当亡 z 可 1 实际上 充分性是显然的 下证必要性 假设z 就 y r 但t z n 因为 k 比r 任 掣 精细 s t 掣 7 c 毹 y 取霉 p 注意zgs t 掣 r 霉 们 所以 zgs 亡 可 r 矛盾 对任意z x 和n 由注 8 亡 z z n j e i 0 1 2 n 因为 只 是x 的点星网络 x d 是对称的 且d 具有以下性质s 对任意z x 和g 0 存在6 6 z g o 使得d z 可 6 和d z z 6 意味着d 秒 z o 和x 中的两个序列 和 使得无论d z 1 2 n 和 d z 1 2 l 有d 印 因为r 是x 的点星网络 和 巯 均收 敛于矗选定七 使得1 2 知 七 因此 d 1 2 2 跏 l 2 七 翮 矛盾 对任意z x 和佗 选定6 6 z n 无论d z 暑 6 和d z z 6 有 d 箩 名 1 n 设9 死 z b z 6 z n 因为r 是x 的c s 覆盖 s t z r 是z 在x 中的序列邻域 所以9 7 i z 也是 令 歹麓掌 夕 死 z z x 则每个磊是x 的肌覆盖 若 兀 不是x 的点星网络 则存在z g f x 和x 中的两个序列 及 鲰 使得z 9 佗 且 夕 n g 所以 z n 不收敛于z 且 d z 6 n d 6 由以上性质 d z z n 构成的通常乘积空间所诱导的的子空间拓 扑 财m 是度量空间 因为x 是h 孤s d r o f r 空间 在x 中是唯一的 对任意 a m 由 q z a 可定义 m x 对任意z x 和i 存在啦 a 使得z r 因为 只 是x 的点星网络 如 蕾 j v 是点z 在x 中的网 1 5 由弱基定义的空间及其相关结果 络 令口 铫 则口 m 且 q z 所以 是满射 假设q 啦 m z u 7 x 则存在n 使得 cu 令 y p m 口n 是p 的第n 个坐标 则a y 7 m 且 y c cu 因而 是连续的 对任意q p m 定义 d q p a x 1 七 丌南 口 孤 昌i 乞 反 则d 在m 上是离散的 因为m 的拓扑是离散空间族 i 构成的通 常乘积空间所诱导的子空间拓扑 所以 x d 是可度量空间 对任意z u 7 i x 记 r 是x 的一个点星网络 所以存在n 使得s t z r cu 对 q 广1 z p m 若d 口 p 啦使得 啦 所以 啦n 收敛于q t 对任意n 令 风 口t n 气 1 6 博士学位论文 则 风 z 竹和 风 收敛于风 因为 艮是风在m 中的开邻域 风 终于 砜哦 所以 z n 终于g 因而g 是z 的序列邻域 因为g 在x 中是序列开的 所 以x 是序列空间 g 在x 中是开的 这意味着召是x 的 个弱基 由召的定义 是弱开映射 2 冷 4 假设 b 是x 的由c 8 覆盖组成的弱展开 则可假设对任意只 1 精细于z k 类似于 2 兮 3 的证明 可定义x 上的对称距离映射d 使得对任意 2 x 和n 有s z r j e i z 1 2 n 所以 x d 是对称度量空间 对x 中 收敛于z x 的序列 z n 和e o 存在七 使得1 鲈 膏 因而无论 n m z d z m l 2 加 1 2 奄 e 所以 z n 是d ca u c h y 序列 这意味 着x 是c a h y 空间 4 令 2 假设x 是c 锄c h y 空间 对任意n 令 7 气 acx s u p d z 暑 z 暑 a 1 n 则对任意z x 有武 z r b z 1 n 所以 r 是x 的点星网络 则显然x 是序列空间 我们只需证每个r 都是x 的c s 覆盖 对x 中任意收敛于z 的序列 因为 2 协 是出c a u c h y 且x 对称的 则由文献 5 5 中引理9 3 存在m 对所有i j 仇有d z 戤 1 n 1 和d 毛 l n 1 令 尸 z u z t i m 所以p r 因而每个r 是x 的c s 覆盖 4 营 5 由文献 5 4 中的定理2 3 可得 由定理3 2 1 5 4 中的命题2 2 文献 2 3 中的命题2 1 1 6 3 和命题2 1 1 6 可 得 命题3 2 2 空间是可展的当且仅当它是度量空间的弱开 7 r 伪开映象 推论3 2 3p 钉 空间是可展的当且仅当它是度量空间的开7 r 映象 最后 我们给出例子来说明本章的定理3 2 1 例3 2 4 设x 是觚空间s 2 参看文献 2 3 中的侈 1 8 6 因为x 是c 锄c h y 由定理3 2 1x 是度量空间的弱开7 r 映象 但由于x 不是第一可数的 所以x 不 是度量空间的开7 r 映象 因此 下述论断成立 度量空间的弱开霄映象不一定是度量空间的开7 r 映象 例3 2 5 设x 是 1 3 中例2 1 4 3 的弱c a l l c h y 空间 由 4 4 中的定理1 2 x 1 7 由弱基定义的空闻及其相关结果 是度量空间的商7 r 映象 但x 不是c a u c h y 由定理3 2 1x 不是度量空间的弱开 7 r 映象 因此 下述论断成立 度量空间的商7 r 映象不一定是度量空间的弱开7 r 映象 例3 2 6 设x 是m r o w r k a 空间妒 参看 2 3 中的例1 8 4 因为x 是可展 的 x 是度量空间的开7 r 映象 但x 没有点可数c s 网络 则由文献 2 3 中的推 论2 7 6 x 不是度量空间的商s 映象 因此 下述论断成立 1 度量空间的弱开7 r 映象不一定是度量空间的弱开紧映象 2 度量空间的弱开7 r 映象不一定是度量空间的弱开s 映象 1 8 博士学位论文 第4 章具有矿 局部可数弱基的空间与m s s s 映射 在一般拓扑学中 寻找度量空间在某些映射下的象的内部特征是是一项重要 的工作 林寿 5 6 引入了仇s s s 映射的概念 分别给出了具有盯一局部可数七网 络的空间和具有口 局部可数基的空间与度量空间之间的关系 本章借助仇s 8 s 映 射 弱开映射和各种序列复盖映射 分别建立了具有仃一局部可数弱基的空间 具 有伊 局部可数s n 网络的空间 具有仃 局部可数基的空间 具有口 局部可数s 网 络的空间 具有仃 局部可数c s 网络的空间与度量空间之间的关系 并且 给出了 具有盯 局部可数弱基空间的一个内部特征的刻画 4 1 定义 在本章中 所论的空间均为正则且噩空间 定义4 1 1 设 x y 是映射 则 1 称为仇s s s 映射 5 6 即可度量分层强s 映射 如果x 是度量空间族 咒 i 构成的通常乘积空间n 五的子空间 并且对每一掣 y 存在g 的 开邻域序歹 k 使得每一鼽广1 k 在x 中是可分的 2 称为2 序列覆盖映射 3 4 如果对每一影 y 及z j f 1 秒 满足条件 宰 如果y 中的序列 收敛于 那么存在x 中收敛于z 的序列 z 住 使得每 一 一1 3 称为强紧覆盖映射巧7 如果 既是强序列覆盖映射也是紧覆盖映射 4 称为序列商映射 5 8 如果对rcy 和x 中的序列开集 1 冗 冗是 y 的序列开集 定义4 1 2 5 9 对于空间x 设尹是x 的子集族 它满足t 对每一z 存在见cp 具有下列性质一若 r 死 则 只 n 是z 在x 中的下降 网络 记p u 死 z x 1 p 称为x 的s 网络 即序列网络 如果pcx 且对于z p 及每一 r 兄 p mc 尸 其中m 则p 是x 中的序列开集 2 尹称为x 的序列拟基 如果pcx 且对于z p 及每一 r 兄 p 仇cp 其中m 则p 是x 中的开集 3 尹称为x 的f r 良h 戗拟基 如果pcx 且对于z p 及每一 r 亿 c 户 其中仇 则p 是点z 在x 中的邻域 易验证 对于 个空间 f f 缸h c t 拟基