（应用数学专业论文）矩阵的广义逆理论及子式的研究.pdf

矩阵的广义逆理论及子式的研究 摘要 研究复数域上矩阵的广义逆雒 利用求极限的思想应用子式给出其整体 表达式 并利用c r a m e r 法则求解相应的矩阵方程 研究复数域上矩阵的加m 权 力口n 权谬脓因子 指导出彳的 个具有给定值域r 和零空间s 的 2 3 m 逆 群 川的表示 给出加权群逆的一种计算方法 讨论 彳 馏 的主子式的和的性 质 给出满足r a o 条件的整环上矩阵的m o o m p e n r o s e 逆的 个等价刻画 研究 整环上矩阵的加权m o o r e p e n r o s e 逆存在的充分必要条件 关键词 交换环整环广义逆子式 t h e g e n e r a l i z e di n v e r s e o f m a t r i c e sa n dt h er e s e a r c ho fi t sm i n o r s a b s t r a c t 田1 ed e t e r m i n a n t a lr e p r e s e n t a t i o n so ft h eg e n e m l i z e di n v e r s e 织 w h i c hi s b a s e do na n a l o g so ft h ec l a s s i c a la d j o i n tm a t r i xw e r ei n t r o d u c e d u s i n gt h eo b t a i n e d a n a l o g so ft h ea d j o i n tm a t r i x t h ec r a m e rr u l e s 衙m eg e n e r a l i z e di n v e r s e 织 s o l u t i o no fr e s t r i c t e dl i n e a re q u a t i o n sw e r eg i v e n s o m ed e f i n i t i o n sa b o u tm a t r i x m w e i g h t e d n w e i g h t e d s y m m e t r yf a c t o r sa n di t sc o n s t r u c t i o nw e t ep r o p o s e d 硼1 e e x p l i c i te x p r e s s i o no f t h eg e n e r a l i z e di n v e r s e 气a 2 s 3 川 w h i c hi sa 2 3 m i n v e r s eo f ah a v i n gt h ep r e s c r i b e dr a n gta n dn u l ls p a c es w a sd e r i v e d a na l g o r i t h mf o r w w e i g h t e dg r o u pi n v e r s eo f m a t r i c e so v e rc o m p l e xf i e l dw a sg i v e n n l ep r i n c i p a j m i n o r ss h l a so fm a t r i x a 毋 mw e r ed i s c u s s e d ac h a r a c t e r i z a t i o no ft h eg e n e r a l i e d m o o r e p e n r o s ei n v e r s eo fm a t r c e so v e ra ni n t e g r a ld o m a i ns a t i s f y i n gr a oc o n d i t i o n w a sg i v e n s o m en e wn e c e s s a r ya n ds u 伍c i e n tc o n d i t i o n so f t h ee x i s t e n c eo f w e i g h t e d g e n e r a l i z e dm o o r e p e n r o s e i n v e r s eo v e r i n t e g r a ld o m a i n s w e r es t u d i e d k e y w o r d s c o m m u t a t i v e r i n g i n t e g r a ld o m a i n g e n e r a l i z e di n v e r s e m i n o r s 论文独创声明 本人郑重声明 所提交的学位论文 是本人在导师的指导下 独立撰写完成 的 除文中已经注明引用的内容外 本论文不合其他个人或其他机构已经发表 或撰写过的研究成果 也没有剽窃 抄袭等违反学术道德规范的侵权行为 对 本文的研究做出重要贡献的个人和集体 均已在文中以明确方式标明 本人愿 意承担由本声明而引起的法律责任 研究生签名 擤琢卉龟 日期 沙7 年6 月 幺日 论文 使 用授权声明 本人完全了解广西民族大学有关保留 使用学位论文的规定 学校有权保 留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子文档 可以采用影 印 缩印或其他复制手段保存 汇编学位论文 除在保密期内的保密论文外 允 许学位论文被查阅和借阅 可以公布 包括刊登 论文的全部或部分内容 日期 沙7 年莎月 岳日 嗍 哆阳 1 1预备知识与引理 1绪论 1 9 5 8 年 美国著名数学家d r a z i n 发表论文 p s e u d o i n v e r s ei na s s o c i a t i v er i n g sa n d s e m i g r o u p s 开辟了环上矩阵广义逆理论这一新领域 1 9 8 3 年 k p s b h a s k a x a 应用子式研究整环上正则矩阵 指出a 留x n 正则等价 于存在c a 满足 c a ia a 口i 1 其后 r b b a p a t d w r o b i n s o n k m p r a s a d 等应用子式研究整环上矩阵广义逆 分别给出整环上矩阵广义逆存在的等价条件及其表 达式 1 9 9 6 年 d w r o b i n s o n 引入r a o 正则矩阵 r a o 指标 r a o 幂等元等概念研究交 换环上矩阵广义逆 利用r a o 正则矩阵给出交换环上矩阵的分解 给出交换环上r a o 正则矩阵广义逆存在的等价关系 2 0 0 2 年 k p s b h a s k a r a 在专著 t h et h e o r yo fg e n e r a l i z e di n v e r s eo v e rc o r n m u t a t i v er i n g s 中系统的介绍了交换环上矩阵的广义逆的研究成果以及发展的方向 2 0 0 5 年 d w r o b i n s o n 应用子式研究交换环上矩阵的m o o r e p e n r o s e 逆 给出交 换环上矩阵m o o r e p e n r o s e 逆的整体表达式 设a 霹 n 若v o l 2 a r 可逆 则a 存在 此时 a v o l 2 a 1 l 才磊lq 口a n a d p r a p 2 0 0 4 年 王国荣 魏益民等在专著 g e n e r a l i z e di n v e r s e t h e o r ya n da p p l i c a t i o n s 上系统地介绍了矩阵的广义逆子式的计算方法 2 0 0 5 年俞耀明 王国荣对交换环上矩阵的广义逆a 之进行了研究 给出了整环上 矩阵的广义逆a 名的表达式 进一步拓宽了广义逆研究的广度和深度 2 0 0 6 年 俞耀明在 结合环上矩阵的广义逆a 挈之的理论与计算 博士论文中系统 的讨论了整环上矩阵的广义逆 并给出广义逆的子式表示 2 0 0 7 年 杨虎 刘德强等讨论了a5 1 善 的结构及存在的充分条件 本文主要用子式和矩阵加边来研究交换环上矩阵的广义逆 定义1 1 1 设a c m 加 m c m m 其中m 是正定矩阵 如果m a x 为 h e r m i t e 矩阵 则矩阵x 为a 的一个加m 权右对称因子 定义1 1 2 设a c m 黼 n c 似n 其中 是正定矩阵 如果n x a 为h e r m i t e 矩阵 则矩阵x 为a 的一个加 权左对称因子 由上面的定义 我们知道a 的加m 权右对称因子和加 权左对称因子分别 是 3 m 逆a a m 和 4 逆a 4 n 第1 页 引理1 1 1 1 l 对任意a c m 孙 a p l 彳a a 筒r a cl a p l m a 铮mc a b n a r a 上 n a r a 上 c a a 1 和月 1 月都是幂等矩阵 且 r a a 1 r a 1 a r a d r a a 1 r a n a 1 a a r a 1 a r a 引理1 1 2 1 1 设a 锣 n tcc n scc m 其中击m t d i m s 上 t r 则a 有一个 2 逆x 使得r x t n x s 当且仅当 a tos c m 其中x 是唯一的 表示为a 关 定义1 1 3 1 2 r l 设a c 仇 n w 伊 m 若存在矩阵g 伊 n 使得 w 1 a w g w a a w 2 g w a w g g w 5 a w g g w a 则g 称为a 的 一加权群逆 且唯一 记作a 翥 引理1 1 3 1 2 4 1 设a 为满足r a o 条件的整环z 上的矩阵 则a t 存在当且仅当 存在置换矩阵p 和q 及一个可逆矩阵m c a 使得a p m q t 且 a t q m a 兰 p t 引理1 工4 设p a 三 是整环z 上的矩阵 其中a 是可逆的 则r c 尸 r a 当且仅当d c a b 定义1 1 4 2 4 j 设a z m n 若在z 上存在一个n m 矩阵x 使得 1 a x a 2 x a x 3 a x 4 x a a x a x xa 则称矩阵x 是a 的m o o r e p e n r o s e 逆 若a 的m o o r e p e n r o s e 逆存在 则唯一 记作 x a 当x 满足方程 1 时 称x 为a 的正则逆 当x 满足 1 2 还满足方程 5 a x x a 时 称x 为月的群逆 记作月襻 第2 页 定义1 1 5 2 2 l 设a z 黼 m 和 分别是z 上的仇阶和几阶可逆矩阵 若z 上存在一个nxm 矩阵x 使得 1 a x a 2 x a x 3 m m a x 4 n n x a a x m a x n x a 则称x 是关于矩阵m 和 的a 的加权m o o r e p e n r o s e 逆 简称a 的加权m o o r e p e n r o s e 逆 记作a 荔 1 2本文的主要内容和创新 本文共分三章 第一章主要给出与本文相关的背景知识 介绍交换环上矩阵广义逆 的定义和发展现状 以及本文的主要结果 第二章研究复数域上矩阵的广义逆及子式 第三章研究整环上矩阵的广义逆 本文的主要结果列举如下 以下定理给出a 夥的一种行列式的表示 定理2 1 3 设a c m 黼 tcc n scc m 若存在一个矩阵g 四一使得 r g t n g s 则a 关圣可表示成 织2 旦d t g a 1 1 其中x i j i g a 如 j 卯i d t g a i g a a a l p i o 卢 或 a 咎 卫d t a g 1 2 其中 l a g j 俄 a a i d t a g i a g a 口i 我们给出含有给定值域t 和零空间s 的矩阵的加m 权右对称因子的结构 定理2 2 2 设a 煳 m c m x m 其中m 是正定矩阵 t 和s 分别 为c n 和c m 的子空间 并且d i m t d i m s 上 t f 为某个矩阵满足r f t 及 r m a f s 上 若w 为任意的h e r m i t e 矩阵使得r w s 上 则x f m a f 1 w 是a 的一个加m 权右对称因子且满足r x t 及l v x s 其中x 与 m a f 1 的 1 逆的选取无关 第3 页 定理2 2 3 设a c m 黼 m c m m 其中m 是正定矩阵 t 和s 分别是c n 和c m 的子空间 同时r m a f d i m s 上 其中f 为某个矩阵满足r f t 设 为某个h e r m i t e 矩阵使得r w s 上 则x f m a f 1 w 是矩阵a 的一个加 m 权右对称因子且满足r x t n x s 当且仅当r m a f s 上 其中x 与 m a f o 的 1 逆的选取无关 定理2 2 4 设a c m 炳 m c m m 其中m 是正定矩阵 t 和s 分别是c n 和c 仇的子空间 同时 d i m t d i m s 上 t 假设只 为某两个矩阵满足r f t r w s 上 并且 w 是一个h e r m i t e 矩阵使得w w m w 则x f m a f 1 是矩阵a 的一个 2 3 m 逆且满足r x zn x s 当且仅当r m a f s 上 其中x 与 m a f 1 的 1 逆的选取无关且x 是唯一的 下面定理给出加权群逆的一种计算方法 定理2 3 1 设a 印黼 a c r 其中c 印x r r q 跏 存在矩阵 w 伊一满足r w c 是可逆的 令b w a w 则a 有w 一加权群逆a 嚣 且对任 意q l k n p l k 仇 1 k 7 有 d e 雠够一1 d e 删 1 2 j 赢郇 出 凡力南旧 i 1 3 以下定理讨论 月 t b m 的子式的性质 定理2 4 1 设a b g 若a 是正定矩阵 b 是半正定矩阵 则多项式 品 m d e t a t b m 的次数最多是佗m 其系数全为正数 定理2 4 2 设a b g 若a 是半正定矩阵 b 是正定矩阵 则关于t 的n m 次的多项式 m d e t a t b m l 的系数全为正数 下面定理讨论满足r a o 条件的整环上矩阵的m o o r e p e n r o s e 逆的一个等价刻画 定理3 1 1 设a 为满足r a o 条件的整环z 上的mx 佗矩阵 且r a 若a t 存在 则存在唯一的死xn 矩阵x 使得 a x 0 x x x 2 x r x n 一7 1 4 存在唯一的mxm 矩阵y 使得 y a 0 y vy 2 7 y m r 1 5 第4 页 存在唯一的n m 矩阵w 使得 r 二x r n 矩阵w 为a 的m o o r e p e n r o s e 逆a t 且 x 一a t a y j a 以t 1 6 1 7 1 8 定理3 1 2 设a 为满足r a o 条件的整环z 上的m n 矩阵 且r a 1 若 a t 存在 a q 吲是r 7 的可逆矩阵 则 a t 一x j v l p a q i 纠 1 j y q i m 1 9 其中x y 的含义和 1 4 1 5 中一样 第5 页 2 复数域上矩阵的广义逆 本章在2 1 节研究复数域上矩阵的广义逆a 关冬 利用求极限的思想 应用子式给出 其整体表达式 并利用c r a m e r 法则解相应的矩阵方程 2 2 节研究复数域上矩阵的加m 权 加n 权 对称因子 推导出矩阵a 的一个含有给定值域t 和零空间s 的 2 3 m 逆a 2 3 m 的表示 2 3 节给出加权群逆一种计算方法 2 4 节讨论 a t b n 主子式的和 的性质 2 1 复数域上矩阵的广义逆a5 j 名 我们知道六种重要的广义逆 m o o r e p e n r o s e 逆a t 加权m o o r e p e n r o s e 逆a k d r a z i n 逆a d 群逆a 9 b o t t d u f f i n 逆a l 1 和广义b o t t d u f f i n 逆a 出都是广义逆 a 关圣 具有指定值域t 和零空间s 的a 的 2 l 逆 2 逆有很多方而的应用 如在迭 代法解非线性方程及统计方面 设口 a 1 q 七 1 m p 风 仇 1 n 其中1 k m i n m n i a a p i 表示行标为o t 列标为p 矩阵a ec m 黼 的子式 i a i 表 示行标和列标都为o l 矩阵a 的主子式 o l o a j c i a i 表示矩阵a ec 似n 中 元 的余子式 l k n q q o t l q 七 1 q l q 知 礼 1 k n 表示从 1 n 中选取的k 个整数并按严格递增的顺序排列构成的一组数 n k l k m l k n 对固定的o t l p 肌p l p n 1 p 七 设 厶 q i l k m i q 以 n p j j l k n j2p m q p 厶 m a n p 对i q 歹 p 氏 i n q l k m i q 以 n 歹 p p l k n j p a 的 2 逆a 关名的行列式的表示在 1 0 中讨论过 主要的结果包含在下面的定 理中 定理2 1 1 1o 设a c 煳 tcc n scc 仇 若存在一个矩阵g 四 m 使得 r a t g s 则下面的条件是等价的 i a 熟存在 i i p d e t a g 1 1 0 i i i r g r g a g 第6 页 当p 0 时 a g 9 和 g a 9 存在 并且 a 关 a a a 9 g 月 9 g g g a g 1 g 及a 关 的元可表示为 4 器 巧 p 越 装 础 乇 乩m 而 坳 丽 引理2 1 1i l l j 设a g m 姗 tcc n scc m 若存在一个矩阵g c n x 仇使 得r c g t n g s 则 a 器 l i m o a i g a 一1 g m l i mg a g a 矿1 定理2 1 21 1 2 l 设西表示a ec n 的r 阶主子式的和 a 的特征多项式p a t 可以表示成 p a t d e t t i a t n d l t n 一1 d 2 t n 一2 一 x n d n 设口 和a i 分别表示矩阵a e 沪x n 的第j 列和第i 行 n 和口 分别表示 h e r m i t e 伴随矩阵小的第j 列和第i 行 a 6 表示矩阵a 的第歹列被向量b 替换 后所得到的矩阵 a 6 表示矩阵a 的第i 行被向量b 替换后所得到的矩阵 引理2 1 2 设a c m n g 曰 m 则r g 月 i 9 t 证明 设只七 一o j k c n n 七 i 其中 i 忌 元为一口j 七 对角元都为1 其它 元都为o 这是一个初等变换矩阵 有下面的事实 g a 夕 j i ip i k a j k k i 右边的矩阵可分解成如下形式 夕1 七鲰l 9 l j g l k a k n k j七 j t一 t一 l 鳜七 1 lg n k a k n 七 j k i i t h t t一 乙g l k a k l g l j lg l k a k n 七 jk j lg n k a k l 9 町 2 一鲰七 七n t 一 t k j七 j i t h 第7 页 9 1 1 夕1 2 i l 仍1 勉 2 i r 娠j 9 n 2 g l m 9 2 m g r i m 矩阵经过初等变换不改变秩的大小 类似可得到下面的引理 卜a 1 1 叠0 a l n 一 引理2 1 3 设a g m n g 凹 m 则7 a g t 夕j t 设o a 表示矩阵a c ec 的谱 r 表示正实数集 定理2 1 3设a c 黼 tcc n sc 伊 若存在一个矩阵g 凹 使得 兄 g t j g s 则a 关0 可表示成 a 黔 土d t g a 其中 l g a i 9 j 卵i d t g a i g a p a l 卢 j t i o p j t n 或 a 黔 生d t a g n m 其中 f a g j 吼 a a i d a g i a g q 1 a e l t m d l 口 i t 2 1 2 2 证明 首先 我们来证 2 1 若入 r 一ag 盯 g a 则矩阵 m g a 伊姗 是可逆的 并且 删 赤i x n 2 篓 x 1 2 l i i i yj 1 r i l l 其中 歹 而 是 入 g 4 巧元的余子式 由引理2 1 1 a 笋 溉 入j g a g 则 a 绍 溉 地d e t 群 a l g a 堂d e 辫t a i g a 1 l 型黜 一det ai ga n g m det ai ga j i d e t a g a 2 3 由定理2 1 2 得 d e t m g a 入n d l a 一1 d 2 a 一2 d r i 其中d t vt r 而 是g a 的t 阶主子式的和 厶 d e t g a 由定理2 1 1 r g r c a g 同时 我们有r g a g r c a r c t 则r g a r g 因此 厶 厶一1 唬 1 0 且 d e t m g a a n d 1 a n 一1 d 2 n 一2 d a n 一 2 4 类似地 对1 i 几 1 j m 由定理2 1 2 d e t m g a i 夕j z p 入n 一1 z 妒 入n 一2 z 2 其中对任意1 k 几一1 z 雕以 i g a i 9 j 阳i z d e t g a i 的 由引理2 1 2 r g a i 夕 j t 由此 若k t 则i g a i 夕 j 卯i 0 即 而 坳 r 示 若t 1 k n 则z 胀以 懈i g a i 劬 卯i 0 且z 妒 d e t a a i 夕 j 0 m 而 巧 r 示 则 d e t m o a 9 j p a n 一1 z a n 一2 z a n 一 2 5 2 4 和 2 5 分别代人 2 3 得 a 挈 l i m j a 0 隹d t 鲁d t 第9 页 努磐等 孓 兰 兰妒 入一d a d餐餐 推论2 1 1 13 矩阵a 印 nm o o r e p e n r o s e 逆a 可表示成 a 硒l o 两 n 其中 铲胀东埘m 饿 q 筇l d r 删 p 姜j r a 筇 卢 n i o p n a 而r i 晒j n m 其中 2 f 互mi a a j 口 口a i d 中 a a 善i a a a 口f 2 6 2 7 在下面的推论中 我们用口豸表示矩阵月社的第歹列 推论2 1 2设a 掣 n a 带 n 一1 a m 其中m 和 分别为m 阶和仡阶的 h e r m i t e 正定矩阵 则a 的加权m o o r e p e n r o s e 逆4 荔 可表示成 a 荔 2 瓦了丢警可 n m 2 8 其中d r a 静月 2 卢三 i a 孝a 阳i 聊2胀毛协l a带a n豸 卯l m 一1 njr 卢 n口 j r n f i i 7 p p 证明 参考 1 4 我们有a 荔 a 襻 a 孝 类似于定理2 2 3 的证明此推论得 证 推论2 1 3 13 设a 伊黼 若i n d e x a k 且r a n k a k 1 r a n k a 七 r n 则a 的d r a z i n 逆a d 可表示成 以 高 2 9 其中d c a 1 卢善 i a 1 筇i 奶2 胀毛料i a 1 口哆 卯i 歹 而 卢 矗 n卢 i p 卢i 注 由定理2 1 1 求a 笋 的元需计算 哦 嚷t 一1 1 嚷t 一1 1 次t 阶行列式 由 2 1 需 计算 噼 c t 1 1 次t 阶行列式 由 2 2 需计算 嚷 c t 一1 1 次t 阶行列式 因此 求 月关 的元用定理2 1 3 比用定理2 1 1 简单 设a c 加 b r a tcc n 关于一类约束线性方程 a x b z t 2 1 0 的唯一解的c r 锄e r 法则在 1 5 l 中讨论过 主要内容包含在下面的定理中 第1 0 页 圹0 坠塑坚掣型脚 一1 n 2 11 d 山j t g a j 一 7 量三至 z 号 c 2 1 2 a 丁 g ga 10 4 d 2 g a 10 o 2 1 4 00 第1 1 页 2 5 0 o 2 x 1 1 10 0 2 1 4 00 2 z 月笋 6 三1 三 蚕言三 号 兰言三 号 弘 1 班三 10 22 1 1 0 2 壮三 l 11 00 l一4 oo 一2 0 2 5 0 0 i 一1 0 2 2 复数域上矩阵的加m 权 加 权 对称因子 定理2 2 l 设a 掣煳 a u 0 y 为a 的奇异值分解 其中u 和 v 都是酉矩阵 d i a 9 盯1 a 西 月 m c m 是某个正定矩阵 则a 的一 l j 2 一 吨o o 2 1 o 吨2 o 2 0 0 解 一 1 互 唯 的 s 动 心l 1 a 程 方 得 法方阵矩由 接 直 lj则 可 木 士 y q 毛 1 三 u m 其中q 是任意的一个7 xr 阶的h e r m i t e 矩阵 c 和e 分别是7 佗一r 阶和 n r 佗一r 阶的任意矩阵 x y 0 h u m 0 h q 0 c e 其中q 是任意的一个r 7 阶的h e r m i t e 矩阵 c 和e 分别是r n r 阶和 n r 亿一7 阶的任意矩阵 现在我们来考虑含有给定值域t 和零空间s 的矩阵的加m 权右对称因子的结构 定理2 2 2设a c m 加 m c m m 其中m 是正定矩阵 t 和s 分别 为c n 和c m 的子空间 并且d i m t d i m s 上 t f 为某个矩阵满足冗 f t 及 r m a f s 上 若w 为任意的h e r m i t e 矩阵使得r w s 上 则x f m a f 1 是a 的一个加m 权右对称因子且满足r x t 及n x s 其中x 与 m a f 1 m a x m a f m a f 1 w p r m a f m a 即 m 月 m 月即 p r m a f n m a f m a f w 由x f m a f 1 则n x cr f 同时 t d i m s 上 r f r z r m a x r w t 于是r f r x r m a x 且r x r f t 另外 由n x cn m a x 与r m a x r x 得 n x n m a x r m a x 上 r m a f 上 s 下证x 与 m a f 1 的 1 逆的选取无关 由冗 s 上 r m a f 存在矩阵y 使得w m a f y 因此 我们有 x f m a f 1 w f m a f 1 m a f y f p r m a f 1 m a f n m a f o m a f y f p r m a f o m a f n m a f y 由于d i m t d i m s 上 r m a f s 上及冗 f t 我们有r f r m a f 同时n m a f f 得n m a f f 因此 x f y 依据引理1 1 a 定理2 2 3设a c m 跏 m c m m 其中m 是正定矩阵 丁和s 分别是c n 和c m 的子空间 同时r m a f d i m s 上 t 其中f 为某个矩阵满足r f t 设 w 为某个h e r m i t i a n 矩阵使得r w s 上 则x f m a f 1 是矩阵a 的一个 加m 权右对称因子且满足r x t n x s 当且仅当r m a f s 上 其中x 与 m a f 1 的 f 1 逆的选取无关 证明充分性 类似于定理2 2 2 可得 必要性 注意到x 是矩阵a 的一个加m 权右对称因子 且r x 瓦n x s r f t 由引理1 1 b 我们有 另外 由 r m a f r m a x n m a x 上c x 上 s 上 r x d i m r x d i m n x 上 d i m s 上 t r m a x r m a f z 推出r m a f s 上 x 与 m a f 1 的 1 逆的选取无关性的证明类似于定理2 2 2 现在我们考虑矩阵a 的含有值域丁和零空间s 的f 2 a m 逆的结构 定理2 2 4设a c m x n m g m m 其中m 是正定矩阵 t 和s 分别是g 住 和c 的子空间 同时 d i m t d i m s 上 t 假设只w 为某两个矩阵满足r f t r w s 上 并且 w 是一个h e r m i t e 矩阵使得w w m w 则x f m a f o w 是矩阵a 的一个 2 3 m 逆且满足r x zn x s 当且仅当r m a f s 上 其中x 与 m a f 1 的 1 逆的选取无关且x 是唯一的 证明充分性 由定理2 2 2 知 我们只需证明x 是a 的一个 2 逆 由于w 是 一个h e r m i t e 矩阵 且满足w w m 1 w 及m a x w 依据定理2 2 2 我们有 x a x x m w f m a f 1 w m w f m a f 1 x 第1 4 页 即x 是月的一个 2 逆 必要性 由于x 是矩阵a 的一个 2 3 m 逆 且r x t n x s r f t 则由引理1 1 b 得 r m a f r m a x n m a x 上c x 上 s 上 另外 由x 是矩阵a 的一个 2 逆 我们知道 r x 7 x a x r a x r m a x 7 x 因此 n m a x 上 x 上 推得r m a f s 上 x 与 m a f 1 的 1 1 逆的选取无关性的证明类似于定理2 2 2 下面证明x 是唯一的 由于彬是一个h e r m i t e 矩阵满足w w m 1 w 及r w s 上 我们知道 是唯一的 另外 注意到f m a f 1 w 与 m a f 1 的 1 逆的选取无关 我们就有 唯一的x f m a f 1 w 注类似地 我们可以得到 a 个 2 9 4 的相应结果 例2 2 1设矩阵 月 言 m 三 t 为向量 1 o t 生成的c 2 的子空间 s 为向量 0 f a m 1 了 易知r f zr w t s 上 r m a f x 是矩阵a 的一个 2 3 m 逆 且满足r x t n x s 2 3w 加权群逆的子式 的子空间 易知 设a 陋 例表示行标为q 列标为p 的a 的子矩阵 m a 幼表示矩阵a 中划去行标 为o l 列标为p 剩下的元素按原来的排法构成的新的矩阵 i 和j 都表示指标集 a 第1 5 页 c 的成生 li r 2 l d 0 0 1 o 贝 一 弘 彤 丁 ll 4 0 加4志 m o 夕 0 0 诣 0 钮 m 砭 i 一 m 螂 表示行标属于 的a 的子矩阵 a 表示列标属于j 的a 的子矩阵 a 表示行标为 列标为 的月的子矩阵 a 表示a 的仇阶复合矩阵 对a 锣加 i a l r m r a r j a j l r a r n a j l r l m l r a 1 s r n a r a j a 对o t l k m p l k m q i a o tc j z j j a pcj q p j n a qc pc q p q j b j a c o b i 恒等式 对任意q 卢 l k n d e t a 一1 p q 一1 q 仞错 而0 一1 s a 5 所d e 州a 动 引理2 3 1 2 7 j 设a 印x n a c r 其中c 掣x r r g 黼 则a 翥存在 当且仅当r w c 可逆 且 a 碧 c r w c 2 r 2 1 3 引理2 3 2 设a 昭期 a c r 其中c 昭舯 r g n 且存在矩阵 w c 似m 使得r w c 可逆 令b w a w 对任意a l k n p l k m 有 证明 由c a u c h y b i n e t 公式 2 1 4 d e t b i q 冈 d e t w c 1 a r d e t n w r 绷 r o 一 r f 2 1 5 d e t w c i a p 7 d e r p 7 p 7 y e l k r 其中p 1 2 r 第1 6 页 引理2 3 3 设r g 期 c 印 r 存在矩阵w c n m 使得r w c 是可 逆的 若e 是r w 的右逆 f 是w c 的左逆 即r w e i f w c i 对任意 7 l k r p l k m 妣 啪 j 磊 妣 剐赢舱刚 2 1 6 对任意q l k 朋7 l k 础 州删 心e d e t 剐丽 彬c h i 2 1 7 证明 令 2 1 6 等号右边为e 卢m 则 e f t 1 2 赢 丕 如2 e 高酬棚 j i r w i d e t e f l 州 一1 5 相 7 d e t e j p 日 d e z r w 山 y 用 j e j f 1 f l r d e t e f l 刳 一1 3 8 d e t e r p 1 d e 尺 p y r 1 f e l r 七 m 暑e l 七 r n 口 注意到若f l 一七 m rn z d 则 一1 3 d e t e f l 刳 d e t 即 p y 0 f l 七 r 因此 印一 1 北 恸即州 妣 r 刚们 r 妣 即 瞅 l k r r l r i i 由于g k r w c r k e i 则 f e 善lk d e z c c r w 肛 7 r d e c c e r p 孑兰喜 r 一 ni 1 一 即得e f t 1 d e t e f l 7 引理2 3 4 设a 昭黼 a c r c 印 r 研黼 存在矩阵w 册 m 使得r w c 是可逆的 令b w a w 若存在g c m n 使得 w 1 a w g w a a w 2 g w a w g g 对任意q l k 加p l k m l k r 有 妣 啪q j e n a 棚妣 g 川南酬 2 1 8 j 卢 u y 第1 7 页 证明 设e g w c f r w g 由a w g w a a 我们有c r w g w c r c r r w g w c 因此 r w e i f w c i 则e f g 令 2 1 8 等号右边为 则由e f g 得 1 丕 品 批c 孤嘉南旧 川 e 1 a d e t f 1 赢i c c hi d e t e d 州 d e t f h q d e t g p q 定理2 3 1 设a 掣黼 a c r 其中c 锣x r r c 煳 存在矩阵 w c 似 满足r w c 是可逆的 令b w a w 则a 有w b n 权群逆a 学 且对任 意q l k n p l k m 1 k 7 有 酬珊枷出邪嘲 j e n a 脚妣 锄 南酬 2 1 9 口 证明 由引理2 3 1 a 翥 c r w c 2 r 及c a u c h y b i n e t 公式 有 d e t a j 1 d e t r w c 2 d e t a j t d e t r w c d e t a j 即 d e t 月意 p q 1 2 i j 善 郇 d e t 兄 c 2 d e z a 否苗 ii b 川 1 j a 卢 i 上 n 卢 det rwc 脚de a 南i岛 ij en a ii j 卢 ud a p 2 4 a t b m 的主子式的和的性质 g 表示所有他 竹的复矩阵组成的集合 k m n 是正整数 x g 瓯 n x 记作x 的 级主子式的和 设a b g 文f 2 8 讨论了当月 且都是正定矩阵 时 在 1 七 礼 任意m 2 仇 3 任意k 几 3 2 1n 3 k 礼 任意仇 4 2 9 k 1 m 6 任意佗 5 1 3 0 ik 1 m 6 t 3 这五种情况下 m a t b 是关于t 的正系数多项式 下面我们讨论a 与b 中有 个为正定矩阵 另一个为半正定矩阵时 在 1 k n 任意m 和 2 m 0 d b d i a g b 1 b 2 k d e t i t d a i i 1 t 玩 其中 6 t 0 i 1 2 n 所以 m 是系数全为正的多项式 定理2 4 2设a b g 若a 是半正定矩阵 b 是正定矩阵 则关于t 的n m 次的多项式 品 m t d e t a t b m 的系数全为正数 证明与定理2 4 1 的证明类似 存在非奇异矩阵c 使得 月 t b c d a t i c 其中d 为具有非负对角元的对角矩阵 令d a d i a g a t a 2 口 则 d e t a t b d e t c d a t c d e t c c d e t d a t 1 n 由于d e t c c 0 d e t d a t 1 1 i a i t 所以 m t 为 2 m 次的系数全为正 的多项式 当a b 都为正定矩阵时 即有 推论2 4 1 2 8 若a b 都是n n 的正定矩阵 m 为正整数 贝l j 关于t 的n m 次的多项式 d e z a t b m 1 的系数全为正数 定理2 4 3设a b g 若a 是正定矩阵 b 是半正定矩阵 m 为小于3 的正 整数 0 k n 则多项式 鼠m 妣 a t b m l a l k 的次数最多是k m 其系数全为正数 第1 9 页 证明先考虑m 1 瓯 1 t d e t a 亡b i a i 七 a a 为正定矩阵的主子矩阵 它为正定矩阵 b q 为半正定矩阵的主子矩阵 它为半 正定矩阵 由于 a t j e 7 a a a t b l q 由定理2 4 1 的证明知d e t a t b q 等 于系数全为正的多项式 则它们的和 1 亡 为系数全为正的多项式 现在考虑m 2 2 t d e t a b 2 i a l k 和前面类似 存在非奇异矩阵c 使得a t b c i t d b c 其中 是单位矩阵 d 且 为具有非负对角元的对角矩阵 因此 我们有 通过相似变换 得到 瓯荆 d e t c i t d b c 2 q i q i 七 瓯荆 d e t c c i t d b 2 q i a l k 令l c c p t d o 则瓯 2 t 可写成 鼠 2 t d e t l p 2 口 i ar k 我们用c a u c h y b i n e t 公式 3 1 来计算 l p 2 的子式 d e t l p 2 q d e t l p a 纠d e t l p p q ie id e t j 3 1 k7 1 k t l q 7 d e t t 尸h r 冈 i t l kd e t t l p p d e z t 尸 p q i ili il 由于p 是对角的 我们知道只有尸的主子式可能不为0 因此只需考虑7 卢 p n 上面式子可简写成 d e t l p 2 m d e t p f l l d e t 啦 f 1 d e t l f l a d e t p 例 七 由于l 是正定的 有 d e t l i q d e t l p q d e t l a 第2 0 页 则 d e t l p 2 d e t p m i d e t l a 鲫1 2d e t p a i 纠 七 其中d e p 例 和d e t p a 为正系数多项式 所以d e t l p 2 q 为正系数多项式 它们的和即鼠 2 t 是系数全为正的多项式 同样地 当a b 都为正定矩阵时 有 推论2 4 2 2 8 j 若a 和b 都是几 仃的正定矩阵 m 为小于3 的正整数 0 是列满秩 的 其列向量分别构成n a 与n a 的基 b 是4 的正则逆 则存在矩阵l 和y 使得 b a 厶 v l a b k y u 证明 先证n i b a 4 v x r i b a 则存在l z 使得z 一b a z 从而a z 4 一b a l a a b a l 0 故r i b a 1 另 一方面 比 a 则a z 0 从而b a x 0 z i b a x r i b a 故 n a r i b a 综上所述有r u b a a 因此存在矩阵l 使得 一b a v l 由于b 是a 的正则逆 则b 是a 的正则逆 同理存在矩阵y 使得 一a b y u 第2 4 页 引理3 2 3 设a z n p a r m 和 分别是z 上的m 阶和n 阶可逆矩 阵 且m m n n u z m x m r 与v z n n r 是列满秩的 且列向量分 别构成n a 与n a 的基 月荔 存在的充要条件是 i a 是正则的 i i u m 1 u y y 均可逆 在这种情况下 设b 为a 的正则逆 则有 a 荔 厶一y y y 一1 y b k m 一1 u u m 一1 u 一1 u 证明 充分性 须注意 a 0 a v 0 由引理3 2 2 存在矩阵l 和y 使得 b a 厶 v l a b k y u 直接验证 厶一v v n v 一1 y b 厶一m 1 u u m 一1 u 一1 u 为a 的加权m o o r e p e n r o s e 逆 必要性 若a 荔 存在 记为g 由引理3 2 2 存在矩阵y 使得i a g y u 两 边同时左乘矿 则u y k r 由于 m y u m i a g m m a g m m a g m y u 因此 u m 1 u y m y i 即u m 一1 u 可逆 同样由引理3 2 2 存在矩阵工使得 一g a v l 两边同时右乘y 则l y 厶一r 由于 y l n i g a n n g a n n g a y l 因此 l n 一1 l y y i 臣p y y 可逆 引理3 2 4设a 妒黼 m 和 分别是冗上的m 阶和n 阶可逆矩阵 则下 列条件等价 i a 关于m 的加权m o o r e p e n r o s e 逆a 玉 存在 i i 存在矩阵p 和q 使得p a m a a a n 1 a q 且a m a a n 1 a 均对称 i i i a n 1 a 的群逆存在 a m a a n 1 a 均对称 且存在矩阵w 使得a a j 7 r 一1 4 j 7 i v 矿 i v 1 a m a 的群逆存在 a m a a n a a 均对称 且存在矩阵g 使得a g n 一1 a m a 此时 1 q a p m 是a 关于m 的加权m o o r e p e n r o s e 逆 证明 i 令 i i a a a a a 一1 n a n a a 一1 a