习题11数学物理方程和定解条件.pdf

201 一长为l 横截面积为的均匀弹性杆 已知一端 S0 x 固定 另一端在杆轴方向 上受拉力而平衡 在时撤去外力 试推导杆的纵振动所满足的方程 边界条件和 初始条件 F0t F 假设在垂直杆长方向的任一截面上各点的振动情况相同 u x t表示杆上x处在t时刻相对 于平衡位置的位移 取杆上长为dx的一小段 用 P x t表示应力 由牛顿第二定律 2 2 u P xdx tP x tSdm t 代入dmSdx 得 2 2 Pu xt 由 Hooke 定 律 u PE x 可得 22 222 1 0 uu xat 其中 E a 取右端长为 的一小段 由牛顿第二定律有 2 2 xl xl uu F tESS xt 01 0F t 所以0 xl u x 由于左端点固定 故有 0 0 x u 令 a 式中有0t 0 0 xl t u FE S x 因为平衡时应力处处相等 所以该式对于任 意 0 xl 都成立 即 0 0 t u FE S x 对x积分可得 0t F ux ES 注意到 0 0 x u 初始时处于平衡状态 各处速度为 0 即 0 0 t u t 综上该定解问题为 22 222 0 0 0 1 0 0 0 0 x x l t t uu xat u u x Fu ux ESt 202 一均匀弹性杆 原处于静止状态 其一端 0 x 固定 从0t 时刻起 在另一端 xl 单位面积上施加外力 力的方向与杆轴平行 试列出杆的纵振动方程 边界条 件和初始条件 P 将上题 a 式写成 0 xl u P t SES x 则时0t xl uP xE 0t 时令则有 0P t 0 0 xl t u x 同上题讨论可得 0 0 t u 其他条件与上题同 该定解问题为 22 222 0 0 0 1 0 0 0 0 x x l t t uu xat uP u xE u u t 203 一均匀 各向同性的弹性圆膜 四周固定 试列出膜的横振动方程及边界条件 设 m 为面密度 任何方向单位长度张力是T 沿 方向合张力为 sinsinTT 方向合张力为sinsinTT 在小振动近似下有sintan u sintan u 再由牛顿第二定律得 uuuu TTTT 1 2 2 2 m u t 1 01 2 01 即 1 2 2 22 11 0 m uuuu u Tt 令0 0 得 22 2222 111 0 uuu at 其中 m T a 该定解问题为 2 2 22 1 0 0 R u u at u 极坐标系中 2 2 2 11 2 204 一长为l的均匀金属细杆 可近似看作一维的 通有恒定电流 设杆的一端 温度恒为 0 另一端 0 x xl 恒为 初始时温度分布为 0 u 0 u x l 试写出杆中温度场所满足 的方程 边界条件与初始条件 由于热功率为 2 I R 所以单位时间单位体积产生热量 2 I R lS 所以热传导方程为 22 2 uuI ck txlS R 其中 为体密度 c为比热 若用 表示线密度 则有 S 所以方程为 2 2 ukSI R u tccl 该定解问题为 22 2 0 0 00 0 xx lt ukSuI R tcxcl u uuuu l x 205 在铀块中 除了中子的扩散运动外 还进行着中子的吸收和增殖过程 设在单位时间 内单位体积中 吸收和增殖的中子数均正比于该时刻该处的中子浓度 utr 因而净增中 子数可表为 ut r 为比例常数 试导出 utr所满足的方程 用表示单位时间流过某单位面积的中子数 有qD u q 取一个六面体 x xxy yyz zz t 时间内沿 x 方向流入该六面体的中子数为 2 2 xx xxx xxx uuu qqy z tDy z tDx y z t xxx 同样可得沿 y z 方向流入该六面体的中子数分别为 2 2 u Dx y z t y 和 2 2 u Dx y z t z 六面体内中子数一共增加 增加数应等于流入中子数加上净增中子数 即 u x y z t 222 222 uuu u x y zDx y z tu x y z t xyz 两边同除x y z t 令得0t 2 u Duu t 206 设有一均匀杆 长为l 一端固定 另一端受外力sinFAt 作用 其方向与杆一 致 A为常数 列出边界条件 同 202 题 sin xl uFA t xESES 0 0 x u x 207 有一长为 的均匀细杆 现通过其两端 在单位时间内 经单位面积分别供给热量与 试写出边界条件 l 1 Q 2 Q 取左端长为 的一小段 由能量守恒 1 x x u Qq x tc t 01 代入 u qk x 得 1 xx uu Qkc xt 令0 得 1 0 x Qu xk 同样可得 2 x l Qu xk 208 有一半径为a 表面涂黑的导体球 暴晒于日光下 在垂直于光线的单位面积上 单 位时间内吸收热量M 设周围媒质温度为 0 球面按牛顿冷却定律散热 试在适当的坐标 系中写出边界条件 牛顿冷却定律 单位时间流过表面单位面积的热量与表面两边的温度差成正比 比例系数设 为 H 取上图的一小块体积元 时间内外表面 t ra 吸收热量为 cos r r a MSt 外表面散失热量为 r r ar a H uSt rar 面流入热量为 rrr r arr arr ar r ar u qStkS r t 从 面流入热量 ku qStS a t 从 面流入热量 ku qStS a t 从 面流入热量 sin ku qStS a t 从 面流入热量 sin ku qStS a t 以上各式中 2 sin rr a Sa 2 sin r r ar Sar sinSar sinSar SSa r 该体积元内增加热量为 2 sinc V ucaru 由能量守恒可得 cos rr r ar ar ar ar r ar u r MStH uStkS r t sin kukuku StStS aaa t 2 sin sin ku Stcar a u 化简得 2 22222 sincossinsin r a r ar u MaH uakar r 11 sinsinsin uuu krk r u 22 sin u car t 令 rt0 因为 1 sinsinsin uu u 2 2 1uuu uu tt 都是有限值 所以有 cos r a uHM u rkk 上面的讨论适用于02 的情况 即有光线照射到的范围 对于2 只需 令上式即可 即0M cos 02 0 2 r a M uH uk rk 209 一完全柔软的均匀细线 重力可忽略 一端 0 x 固定在匀速转动的轴上 角速 度为 另一端 xl 自由 由于惯性离心力的作用 此细线的平衡位置为水平线 试 推导细线相对于其平衡位置作横振动的振动方程 取长为x 的一小段 水平方向 纵向 由牛顿第二定律及向心加速度公式可得 2 T xT xxxx 两边同除x 并令0 x 得 2 Txx 将上式积分 并由可得 0T l 222 1 2 T xlx 垂直方向 横向 可列出牛顿方程 2 2 sinsin xxx xx u T xxT xx t 由小振动近似 sintan u x 代入上式 两边同除x 并令0 x 可得 2 2 uu T x xxt 代入表达式即可得 T x 2 22 22 2 0 uu lx xxt 210 一长为l的水平均匀弹性弦 两端固定 中点处悬一重物 质量为M 试列出弦的 横振动方程 边界条件以及连接条件 设悬线的质量及弹性形变均可忽略 显然有 00 22 ll xx u x tu x t 由于重物没有水平方向的运动 所以 112 coscosTT 2 由于 12 0 0 所以 12 TT 记为 垂直方向有T 2 1122 2 2 sinsin l x u TTMgM t