概率论和数理统计_复旦大学_课后题答案6.pdf

6 习题六习题六 1 设总体X N 60 152 从总体X中抽取一个容量为 100 的样本 求样本均值与总体均值之 差的绝对值大于 3 的概率 解 解 60 2 152 n 100 0 1 X ZN n 即 60 0 1 15 10 X ZN 60 3 30 15 1 2 PXP ZP Z 2 1 2 2 1 0 9772 0 0456 2 从正态总体N 4 2 52 中抽取容量为n的样本 若要求其样本均值位于区间 2 2 6 2 内 的概率不小于 0 95 则样本容量n至少取多大 解 解 4 0 1 5 X ZN n 2 24 26 24 2 2 26 2 55 PXPnZn 2 0 4 10 95 n 则 0 4n 0 975 故 0 4n 1 96 即 n 24 01 所以 n 至少应取 25 3 设某厂生产的灯泡的使用寿命X N 1000 2 单位 小时 随机抽取一容量为 9 的样 本 并测得样本均值及样本方差 但是由于工作上的失误 事后失去了此试验的结果 只记得样本方差为S2 1002 试求P X 1062 解 解 1000 n 9 S2 1002 1000 8 100 3 XX tt Sn 1062 1000 1062 1 86 0 05 100 3 P XP tP t 4 从一正态总体中抽取容量为 10 的样本 假定有 2 的样本均值与总体均值之差的绝对值在 4 以上 求总体的标准差 解 解 0 1 X ZN n 由 P X 4 0 02 得 1 P Z 4 n 0 02 故 4 10 2 10 02 即 4 10 0 99 查表得 4 10 2 33 所以 4 10 5 43 2 33 5 设总体X N 16 X1 X2 X10是来自总体X的一个容量为 10 的简单随机样本 S2为其样本方差 且P S2 a 0 1 求a之值 解 解 2 2222 99 9 0 1 1616 Sa P SaP 查表得 9 14 684 16 a 所以 14 684 16 26 105 9 a 6 设总体X服从标准正态分布 X1 X2 Xn是来自总体X的一个简单随机样本 试问统 计量 Y n i i i i X X n 6 2 5 1 2 1 5 n 5 服从何种分布 解 解 2 5 222222 11 5 5 i n ii ii XXX n 且 1 2 与 2 2 相互独立 所以 2 1 2 2 5 5 5 5 X YF Xn n 7 求总体 X N 20 3 的容量分别为 10 15 的两个独立随机样本平均值差的绝对值大于 0 3 的概率 解 解 令X的容量为 10 的样本均值 Y为容量为 15 的样本均值 则X N 20 310 Y N 20 3 15 且X与Y相互独立 则 33 0 0 0 5 1015 XYNN 2 那么 0 1 0 5 XY ZN 所以 0 3 0 3 2 1 0 424 0 5 PXYPZ 2 1 0 6628 0 6744 8 设总体X N 0 2 X1 X10 X15为总体的一个样本 则Y 2 15 2 12 2 11 2 10 2 2 2 1 2XXX XXX 服 从 分布 参数为 解 解 0 1 i X N i 1 2 15 那么 12 22 1015 2222 111 10 5 ii ii XX 且 1 2 与 2 2 相互独立 所以 222 1101 222 11152 10 10 5 2 5 XXX YF XXX 所以 Y F 分布 参数为 10 5 9 设总体X N 1 2 总体Y N 2 2 X1 X2 和Y 1 n X 1 Y2 分别来自总体X和Y 的简单随机样本 则 2 n X 2 21 1 2 1 2 21 nn YYXX E n j j n i i 解 解 令 12 222 12 11 12 11 11 nn ii ij SXXSY nn Y 则 12 222 112 11 1 1 nn ij ij 2 2 XXnSyynS 又 22 2222 1122 112 22 1 1 1 1 nSnS nn 2 那么 3 12 22 112222 12 1212 1 22 nn ij ij XXYY EE nnnn 2 22 12 12 2 2 12 12 2 1 1 2 EE nn nn nn 10 设总体X N 2 X1 X2 X2n n 2 是总体X的一个样本 n i i X n X 2 1 2 1 令 Y n i ini XXX 1 2 2 求EY 解 解 令Zi Xi Xn i i 1 2 n 则 Zi N 2 2 2 1 i n 且Z1 Z2 Zn相互独立 令 22 11 1 nn i i ii Z ZSZZ n n 则 2 11 11 222 nn i i ii X XZZ nn 故 2ZX 那么 22 11 2 nn in ii ii YXXXZZnS 2 1 所以 22 1 2 1 E YnESn 11 设总体X的概率密度为f x x e 2 1 x X1 X2 Xn为总体X的简单随机样本 其样本方差为S2 求E S2 解 解 由题意 得 1 e 0