（基础数学专业论文）at代数的扩张和at代数.pdf

摘要 近几年来 对于非单的c 一代数的分类研究取得了许多重要进展 i i i 血 和 h s u 对a 丁 代数进行了分类 这一工作的重要性在于 a i 代数通常可以用 a n 代数通过a f 一代数的扩张所得到 在本文中 我们将指出相反的结果是不成 立的 存在着大量的例子说明a t 代数通过a f 一代数的扩张不是a 代数 并 利用k 理论给出它们是a t 一代数的一个必要条件我们给出a 代数一个等价 定义并讨论一类更广泛的9 代数 这类a 代数可以由a t 代数通过r 4 f 一代数 的扩张所得到 一般柬说 它们是无限的 但不是a t 代数 也不是单的纯无限 一代数 我们计算这些9 一代数的不变量 给出它们是a 丁 代数的充要条件 在 此基础上 对这一类c 代数进行了分类 关键词 a f 一代数a t 一代数a r 代数扩张硒一群 1 一群 a b s tr a c t r e c e n ty e a r s al a r g en u m b e ro fc l a s s i f i c a t i o nr e s u l t sa b o u t n o n s i m p l ec 一 a l g e b r a sa p p e a r e d 1 i l i na a dhs nc l a s s i f i e da t a l g e t n a sw h i c ho f t e nb e c o i n e s a l le x t e n s i o n so fa na t a l g e b r ab ya r la f a l g e b r a i nt h i s t h e s i s w es h o wt h a t t h e r ei sa i le s s e n t i a le x t e n s i o no fa n 霄一a l g e b r ab ya l la f a l g e b r aw h i c hi sn o ta n a t m g e b r a w e i n t r o d u c eac l a s so f c a l g e b r a s w h i c hc o n t a i n sa l la t a l g e b r a s i ng e n e r a l t h e ya r ei n f i n i t e n e i t h e ra t a l g e b r a sn o rs i m p l ep u r e l yi n f i n i t e h o w e v e r ac a l g e b r ai nt h ec l a s so f t e nb e e o l n e aa l le x t e n s i o n so fa n a t a l g e b r ab y a n a f a l g e b r a w ec o m p u t et h e i l i n v a r i a n t s a n dac l a s s i f i c a t i o ni sg i y e nt ot h ec l a s s fa a l g e b r a s k e y w o r d s a f a l g e b r a sa t a l g e b r a sa t a l g e b r a s e x t e n s i o n s 一g r o u pk l g r o u p v 磁隧谖鬼一博士学位论文答辩委员会成员名单 上唑羔一年一一 月一j 日 姓名职称单位备注 臌晓瑾教授爱旦大学 主席 碧砖宇数竣堙旦大孽 甍小态数籀内溶文学 工想羹 欲授掌东f 工穴 鐾 藓 诸教授名弃 疆工欠孽 废嗜域教授霹隽 师苞久裴 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位沦文是我在导师的指导f 进行的研究工作及取得的研究 成果 据我所知 除文中已经注明引用的内容外 本论文坷i 包含其他个人已经发 表或撰写过的研究成果 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体 均已在文中 作了明确说明并表示谢意 作者签名 遗氩逮i f i 期 墨 兰 笸 垂 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留 使用学位沦文的规定 学校有权保留 学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版 有权将学 位论文用于非赢利目的的少量复制并允许沦文进入学校图书馆被查阅 有权将学 位论文的内容编入有关数据库进行检索 有权将学位论文的标题和摘要汇编出 版 保密的学位论文在解密后适用本规定 学位论文作者签名 a 她这 盘j 导师签名 同期 羔 g 五 生f 期 蛰 f 引言 a p 代数和a t 一代数是c 一代数研究一 两类非常重要的代数 1 9 7 6 年g a e l l i o t t 1 1 1 利用维数群对a f 代数进行了分类 2 0 世纪9 0 年代初 g a e l l i o t t 1 2 又利用k 一理论对单的 i 可 代数进行了分类 此后 c 代数的分 类研究得到了迅速发展 其中极为出色的j 作有 gae l l i o t t 和g g o n g 等 对a 日一代数的分类 1 6 l7 k i r c h b e r g 和p h i l l i p s 对纯无限单驴一代数的分 类 2 0 1 3 9 1 h l i n 对迹拓扑秩零的c 一代数的分类 2 9 3 3 等 这些重要结果 在本文的第一节中有简要介绍 近几年来 对于非单的g 叫弋数的分类研究也l 双得了许多重要进展 1 9 9 7 年 g a e l l i o t t d e e v a n s 和h s l 列t o e p l i t z 代数上矩阵代数的归纳极限进 行了分类 紧接着 h l i n 和h s u 将这一结果成功的推 到a t 代数上 这些 工作的重要性在于 a 7 代数通常可以用a t 一代数通过a f 代数的本质扩张所 得到 受上述工作的启发 我们进一步探讨一亿代数通过a f 代数的扩张在本 文中 我们将指出相反的结果是不成立的 存在着大量的例子说明a t 一代数通过 a f 代数的本质扩张不是a t 代数 并利用k 理论给出它们是a i 代数的一个 必要条件 我们给出a t 代数 个等价定义和一些基本性质 并讨论一类更广泛 的p 一代数 这类g 一代数可以由a t 代数通过a f 代数的扩张所得到 一般来 说 它们是无限的 但不是a 丁 代数 也不是单的纯无限a 代数 我们计算它 们的不变量 给出它们是a i 代数的充要条件 在此基础上 我们对这类矿一代 数进行了分类 这将有助于进一步研究a n 代数的扩张问题 第一节预备知识 在本节中 我们介绍这篇论文中所涉及到的一些基本概念和结论 包括 c 代数的k 一理论 c 一代数的扩张以及分类的一些主要结果 可参见文献 3 1j 37 3 8 等 1 1 g 代数的k 理论 定义1 1 设a 是一个 一代数 以中所有投影组成的集合记做p a 设n 是一个正整数 我们令 o r a p 慨 a p a u r a n l 设p q a 如果存在 m m a 使得v v p v v q 则记 p 一0q 引理1 2 设a 是一个 一代数 p q r t 矿 q 7 a i p o p 0 0 i i 如果p op q o 口 则p o q op oq 7 i i i p 0q oq o p i v 如果p q r a 且p q o 则p q 是一个投影且p 口一op og v p oq or p o 口o r 2 第一节预备知识3 定义1 3 我们令 v a r a 对于每一个p r a 记洳1 v 是v a 中包含p 的等价类 在v a 上定义加 法如下 捌v i q v 洳oq y p q a 则 y a 是一个交换半群 定义1 4 设a 足一 个有币偷元的 4 一l 数 我们定义甄 i 是v a 的 g r o t h e n d i e c k 群 显然k o a 是一个交换群 命题1 5 设 0 一 土a 上b 一0 是一个 代数的短正合列 则有下面交换群的正合列 甄 j 苎蛙k o a 里蛤k o b 进一步 如果这个g 一代数的短正合列还是分裂的 则有下面交换群的分裂短雁 合列 0 一k o i 兰蛙k o a 苎丝k o b 一0 定义1 6 设a 是一个e 一代数 我们定义 k o 以 o p p a c a 和 a 纠o p p l a 定义1 7 设g 足一个交换群 g 是g 的一个子集 如果g 满足下厮三 个条件 i g g c g 第一节预备知识4 i i g 一g g i i i g n 一g o 则称 g g 是一个有序交换群 设 g 如果对任一 geg 存在正整数n 0 使得7 m g 则称 是 g g 的单位元 命题1 8 设以是一个有单位元的稳定有限的c 一代数 则 k o a j 讳 a 是有序交换群 定义1 9 设a 是一个有单位元的c 一代数 h a 是由a 中所有酉元组成 的群 我们令 碥 a 坛 a k a u o 厶 以 我们在z 缸 a 上定义直和运算如下 牡 玩 c a 钍 坂e a c a 设 6 k a 口 o f m a 如果存在一个正整数k m a x m n 使得 o l 一 一 o1 k 一 这里1 是腹 a 的单位元 则我们记 一1 引理1 1 0 设a 是一个有单位元的c 一代数 则 i 一1 是 k a 上的一个等价关系 i i 如果乱 0 k a n 是一个正整数 则 一l uo l i i i 如果 a 则u ov 一1u o u i v 如果乱 v v 7 k 以 u 1 钉 l 口 则 o v lu 70 t v 如果 口 0 k a 则让口 j 1 抛一1 札o v i 设乱 u w a 刚 o 口 o 哪 o 扣o w 第一节预备知识 5 定义1 1 1 设a 是一个驴一代数 我们定义 k i 一 五 1 记 是o k a 中包含t 的等价类 在k l a 二定义加法运算如下 m l p l i 牡o 7 l z k a 显然k i a 是 个交换群 定理1 1 2 对任一口一代数的短正合列 0 b 旦 e 上a 0 有下面的六项正合列 甄 b 型k l f 型盐i q a 岛i卜 葛鬲凰 司 面万娲 b 1 2c 一代数的扩张 定义1 1 3 设 是c 代数a 的一个理想 如果 j 1 n a a l o 0 贝口称 是a 的一个本质理想 定义1 1 4 设a 和日是两个驴 代数 如果有一 一代数短正合列 e 0 b e 上a 0 则称e a e p 是a 通过b 的 个扩张 如果这个短正含列是分裂的 则称 e 是一个平凡的扩张 即存在一个同态一r a e 使得卢o7 i 乩 如果q b 是e 的一个本质理想 则称e 是一个本质扩张 第一节预备知识 6 一 a 一0 0 一日一一m b 1 三一y b b o 对任意的8 a 存在e e 使得a e f 定义7 n 7 r 盯 e 则7 是定义 良好的且7 以一m b b 是一个同态 我们称r 是扩张 0hb 三 e a 0 的b u s b y 不变量 扩张e 是平凡的充要条件是它的b t 舶y 不变量7 i a m b b 能提 升为一个从a 到m b 的 同态 即存在一个 同态 a m b 使得 7 7 r0 西 任何一个 一同态r a q b 都是a 通过b 的某个扩张的b u s b y 不变 量 定义1 1 6 设日 岛是a 通过b 的两个扩张 如果存在一个 一同态 毋 e 1 一岛使褥下硒的图交换 0jb 旦一e a 0 l i 母l l 0 一日 岛 a h 0 如叮2 则称扩张蜀和易是同构的 定理1 1 7 a 通过b 的两个扩张同构的充要条件是他们具有相同的b u s b y 不变量 定义1 1 8 设e l 易是a 通过b 的两个扩张 q 2 分别是最 易的 b u s b y 不变最 如果存在一个酉元札 m b 使得对每一个a a 都有 n n 霄 札 n b 丌 仳 则称最和恳是强等价的 记e x t a b 是a 通过b 的扩张的强等价类全体 e x t a b 是一1 个交换 半群 i 己e x t o a b 是a 通过b 的平凡扩张的强等价类全体 则e x t o 启 是e x t a b 的一个子半群 我们定义e x t a b e x t a 口 e x t o a b 上b i i 一 嗡 o 义定 第一节预备知识7 定理1 1 9 设a 是一个可分的核c 一代数 b 是任 p 一代数 则e x t a b 是一个群 定义1 2 0 设a b 是两个g 代数 丁 是a 通过b 的一个扩张 如果对任 一平凡的扩张 丁 r 强等价于r o a 则称r 是吸收的 定理1 2 1 设a 是一个可分的 一代数 则4 通过瓦的每个本质非单位 元的扩张都是吸收的 1 3e 代数的分类 定义1 2 2 设以是一个有单位元的 一代数 如果自伴的可逆元全体在 a 中稠密 则称a 的实秩为零 并记为r r a o 如果可逆元全钵在a 中 稠密 则称以的稳定秩为1 记为t s r a 1 如果a 是无单位元的伊一代数 n n a o 或f 静 五 1 员 称a 的实秩 为o 或a 的稳定秩为1 定理1 2 3 z h a n g 4 9 j 设 是c 一代数a 的一个理想 则r r a 0 当 且仅当r r i r n a h 0 且a i 中每个投影都可以提升为a 中的一个投 影 定义1 2 4 如果一个 代数可表示成一列有限维e 代数的归纳极限 则 称这个 代数为一个a b 代数 定理1 2 5 f e l l i o t t l 设a 和b 是a f 一代数 i 如果存在一个同构q k o 一峨 日 使得a d o a v o b 则存在 一个同构妒 a 一日使得凰 妒 n i i 如果a 和b 都具有单位元 n k o 一甄 b 是一个同构且q k o a k o b n 1 j o 1 b o 则存在一个同构妒 a 一日使得g o v 血 定义1 2 6 如果e 一代数a 同构于c 一代数c v o f 这里t f z c h 1 f 是一个有限维驴一代数 则称 i 是 个圆代数 如果一个驴一代数可 表示成一列圊代数的归纳极限 则称这个c 代数为一个a n 代数 第一节预备知识 8 定理1 2 7 e l l i o t t 1 2 设a 和b 是具有实秩零的a n 代数 则a 同构于b 的充要条件是 存在一个分级群同构n k 肖 一圮 曰 使得 a z i a 致 b 并且进一步有 对每个这样的 都存在 个同构妒 a b 使得m 妒 q 定义1 2 8 设一是 个有单位元的c 数 如果a 堑盥 厶 其中 r a 曰目m m k c x 弘 t 嚣l 这甩 是慨 g 墨 中的投影 x 郎是紧的h a u s d o r f f 空间 则称a 是一 个a 日 代数 不失一般性 我们可以假设每个 是保持单位元的 对任意z 1 1 1 d i m p t 渖 是个常数 记为如一 定义1 2 9 如果 l i mm a x d i m x d t li l 2 h 0 则称a 是维数缓增的 定理1 3 0 设以是一个a h 代数 则 f 面的三个命题等价 i a 是单的口 代数 i i 对任意自然数n 和任意a 如 如果 o n 0 刹存在自然数m2 礼 使得妒 口 在a 中是满的 i i i 对任意自然数佗和任意o a 如果妒 o n 0 存在自然数m n 使 得对任意的 五 妒 吐 z 0 定理1 3 1 设a 是一个单的a h 一代数 并且是维数缓增的 则r r a 0 当且仅当a 中的投影分离a h 的迹 定理1 3 2 d a d a r l a t e l l i o t t g o n g 设a 和日是两个具有单位元的 维数 缓增的 实秩零的单a h 一代数 则一和b 同构的充要条件是 k o c a k o a 1 a l o k 1 a 型 k o b k b l s 0 k 1 曰 第一节预备知识 9 定义1 3 3 设a 是 个可分的核c 代数 如果对任意的可分的g 一代数 丑 都有下面豹短正合列 0 一e x t k 托 b 三k k a b 3h o m k a n 旧 一0 其中6 的次数是0 y 的次数是1 则称a 满足u c t 条件 定义1 3 4 我们汜 厂是满足下愿四个条件的最小集合 i 中的每个元素都是可分的核c 一代数 i i 所有可分的交换口一代数都属于 厂 i i i 对于归纳极限是封闭的 i v 设0 口 e a 0 是一个短正合列 如果a b e 中有两个属于 则第三个也属于 厂 定理1 3 5 r o s e n b e r g s c h o c h e t 中的所有9 一代数都满足u c t 条件 定义1 3 6 设a 是一个有单位元的单g 一代数 如果对任意的有限子集 f n l a 2 a ca 任意的正数e 0 任意的非零正元a a 存在a 的一个有限维 子代数日 1 b p 和口的有限子集 6 l b 2 b n 使得 i i p 吼一n 巾8 i 1 2 一一 n i i i l p a l p 一堍l i 0 则存在一个6 0 满足 对任一具有单位元的 代 数a 鼽q 是a 中两个投影 如果存在一个x a 使得i i x z p d 且 i 黜 一酬 d 则存在一个部分等距u a 使得 矿札 p u u q l u 一 i i 6 证明 设y q x p 6 1 4 贝u6 鲈 y p i 4 5 f f 圹一目 f 4 6 f y i 鲈 1 2 在p a p 中可逆 记其逆元为 令钍一y l y l 则u 钍 p u 矿 q 并且 i i 掣一 1 1 2 曼0 p 岱 q x p p x q x l i f z x 一 q x p 1 冬l 渖噬 q x p 一膨 q 茁0 i 茹4 一石 印i f i x p z q x p i 1 0 6 l 掣 y p i l 函 q x p p x x x 2 矽i j i p x 9 x x p p l j 6 6 易见当6 充分小时 0 扎一茁 0 局 j 1 2 是m k 的标准生成集 是一 个平移算予 则称 如 s k i j 1 2 是五的标准生成集 引理2 4 设n 南 s t j 1 这景 南 j 1 k 是 c 代数a 中的一个矩阵单位 p s l 1 一s s l l k 则e 1 2 磊 证明 设 一同态h 死一c n 鼠 s h e j 南 j 1 七 h 是满射 因为五每个非零理想都包含庀 五 i 慰一个交换 一代数 而9 n 是非交换的 h 是满射 所以h 是单射 口 引理2 5 3 1 2 5 9 对任意 0 和汇整数n 0 存在6 n 0 具有下 面的性质 设a 是一个口一代数 bc a 是一个c 一予代数 8 玎 i j 1 0 是a 中的矩阵单位 如果存在a 灯 b 使得 则存在矩阵单位如 b 使德 i i f j e 0 和正整数n 0 存在6 e 7 1 0 满 足 设b 和e 是具有单位元的口 代数a 的两个g 一子代数 d i m b 冬mb 有 一个规范生成集 e 使得d i s t e j c 6 则存在一个酉元u ec b c 1 使 得怕一 l i i o h a o a 是一个 同态 则对每一个e 0 和包含a o 的标准生成集的有 限子集fca o 存在6 0 使得 如果a 1 是一 个a 的眇一子代数 d i s t x a 1 6 地 f 则存在 一同态咖 a o a 1 使得 曲 h s v f f 第二节局部a 7 代数1 3 证明 我们不妨设c h a o a k 五 日 眠 五 令 e 珐 f 1 r i j 1 n t 1 n l f 设口 靠 o o 螈 出b i 理 2 6 存在一个酉元w a 使得w b w ca l i i 州一1 1 l 函 设啦 1 u e 1 a l 则存在c 6 j 4 1 醴 厶 嘲a b l 使得 l i 叫s h 切 一c f i i 6 2 0 叫豫 埘 f 如 所以ij 四q e l i d 3 山引理2 5 存在矩阵巾位口 b l a l b 使得 l m 一驯一 w i l 文 所以 c i 一 磷一 錾 反 8 0 和有限予集fca 存在一个i 代数的商代数bca 使得对所有的 z f 有 b 证明 必要性 设a 是 个a i 代数 a l i m o a 九 这晕a 是一 个f 代数 令互 n h n o o 以 则风是 代数的商 且u 嚣1 鼠在a 中稠密 因此必要性是显然的 充分性 设 a k a 思1 在a 的单位球内稠密 是一列形数 且 嚣1e k o o 假设我们已经得到 个驴一代数ah a k 它们都是丁 代数的商 由 3 5 命题5 7 不妨设每个a i 不包含直和项蚴 而 设蚓 a m 1 i 最ca t 是一个包含a 标准生成元和 6 j m 1 t 的有限子集 对 于矗 2 和只ca t 存在文满足定理2 7 的条件 设 一同态也 a i 一一a 蚪1 i 1 k 一1 满足 d i s t a 蚓 矗 2 m 1 i d i s t i x a 件1 也十j v z e i 1 一 一1 第二节局部 l f 代数1 4 则存在a 1ca 使得 d i s t a a k 1 乳 2d i s t 咖k x a 女 0 存在n n 和b 风使得i i h o o 一圳 因为f h o o o oof 所以胁 6 一f 6 如果 l b 0 则f o f b lj e 存在充分大的m 使得i i k f 6 引i e 所以 j i f mo m 6 l i i i h 6 8 e 这样恻l 0 存在充分大的7 和b 揖 使得j i o o 6 7 一圳 由 的任意性得妒o t b 0 设e k e r f a 是一个闭集 e f z o 0 妒 7 h o o o 妒 e 对任意的 0 存在硪整数m 使得i i h o e i i 这 样0 妒 m e 8 0 存在札和e 7 日使得 i i n e 7 一e l 所以s u p l e 协l l b b 洲6 i l l 0 当 充 分小时 咿l i 6 所以 l 篓k 在s 1 中稠密 设 是 i c 的矩阵单位 令 蜀k 一慨o c 魄 第三节a t t e 数1 7 这罩且靠是由 e l j i d 0 存在一个投影e p i p 使得i i 扫一n a 一e p 一 n e 所以 i i p e p o n p e 0 o 则v m a z h n o z 女 如果 p a 是一个投影 y p n 则p m n a p 冬肘 a 第四节a n 代数的扩张 引理4 1 设a 是一个c 一代数 厶 是a 一族理想 如果对每一个 a a 商代数a j 都是有限的 则a n a 厶是有限c 叫弋数 证明 设z a 孟 n 躯 厶 并且x xe1 n 则对任一a 2 c x 1 由假设 z 矿 1 厶 所以茁z e1 n 厶 这样a n 厶是 有限g 一代数 口 定义4 2 设a 是一个 一代数 由上面的引理 存在a 的一个最小理想 使得a 1 是一个有限c 代数 我们把i 记为f a 引理4 3 设既国 l 2 是丁一代数上矩阵代数的直和 每个连接映 射毋 点 一觋 1 满足下面的性质 如果慨 磊 是点k 的一个直和项 则连接 映射 限制在u k c 上是零 设e 卿 e n 机 则 e 幽 j b 我们记q e e i e 显然q e 一堕堡 q 磊 西 这里元是氐所诱导出 的商映射 证明 因为堕堡 q j 苣k 元 是一个有限的c 一代数 所以 e c 幽 点 毋 不妨设西 m f f c 0 注意到尬 是尬 氟 的最小理想 所以咖 限制在 矗 磊 上是单射 存在秽 死 苊 使得 1 m j c 口 1 m n t 2 令蜘 p 机 o 1 帆 则w 叫 p i i t u p 所以p 是无限投 影 伽 叫一叫叫 e f n 曲 m 0 又因为坛 坛 是单代数 所以 靠 c 四 这样堕里 e n 如 c e 口 第四节a t 代数的扩张 定理4 4 设e 是一个a 丁 代数 有证合列 0 i e e q e 一 0 我们有 理论的六项正合列 k l e 肖1 e j 一一k 1 q e f卜 硒 q e 一且 0 e 一甄 e 则对于任意g 瑜 f 存在自然数扎和f k t 旧 曰 使得5 1 f r w 证明 设e 堕里 玩 是一个a i 代数 我们不妨假设每个咖n 都是单 射 每个点 都是下面形式的c 一代数 帆 磊 o om n 瓯 om n g 风 o o 峨 g 这里x 1 x 都是s 1 的紧子集 我们就得到f 同的交换图 0hb l 上e 1 卫a l 0 n t l i 0 一b 2 岛与a 2 0 k i批i 0 一b 3 j 屁当a 3 0 n a l卜l o b heha h0 l 这里每个段是一些 i c 的壹和 注意到j e b 对于任意g k o g e 存在 一个p b 使得m o 9 所以可以找到一个s 和一个自然数n 使得 s s s s n p 这样由 n 理论 5 1 丌 s 1 1 s s s s 1 0 n f o n g 口 例4 5 设s 是无穷维可分h i l b e r t 空闯h 上的一个平移算子 口一代数 a 眇 s 1o s l 瓦o cb h o b 日 我们有下面的正合列 0h 瓦o k a 二l c s 1 一0 第四节a n 代数的扩张2 2 这里7 r 是商映射 我们有k 理论的六项i f 合列 0 k l a 一 一z 如fi t z 一一 a 卜 一z 巾z 6 1 1 1o1 山定理4 4 可知 a 不是一个a t 一代数 设e 蛔 眠 a 九 这里对任意的n 呱 a d i a g a w a 1 8 e i 2 2 霄 e 警2 4 则e 是一个 n 代数通过a f 代数的扩张 r r e 0 q e 是单的 而 e 不是a i 代数 事实上对任意给定一个自伴元a e 和e 0 存在正 整数n b 豌使得i l a 一 2 幽e 的构造 存在充分大的 使得 7 r o 1 7 r n e j 2 州 rr n e 3 2 在s p b 中 1 6 稠密 由f 3 4 引理8 存在具有有限谱的自伴元c 蹋使得怕一c l 2 口一c f f c 所以 r r e 0 由定理i 3 0 知e 是单的c 一代数 凼e 的定义 k 1 f 兰z k o e 竺z o z 6 1 1o1 由定理4 4 可知 e 不是a 代数 定义4 6 设a a 1 k 扎 z o o z c 4 一代数矗 c 巧o o k 1 一 南 o 风 o o 风 c 里 日 o o b 日 这取岛是本质谱为整个圆周的酉 一 七 算子 毋 a 0 是指标为一a 的平移算子 则露是c s 1 通过瓦0 o k 的 一个本质单位扩张 其指标为a a a 2 k 0 叫丘o o 一矗 二 叫c s 1 一0 我们称这样得到的口 代数是g t 代数 我们把这些g t 代数上矩阵代数的壹和的归纳极限形成的集合记做e 用e 表示e 中所有具有实秩零的p 代数全体 如上定义氕是不失一般性 的 因为我们有下面的引理我们可以知道 如果c 一代数a l 岫 九 弧 每个 a o 皂1 b 既 是c s 1 通过坛o o 苊的一个单位本质扩张 则a 包含在e 中 第四节a n 代数的扩张 引理4 7 设 0 叫 i c o 国瓦 e 一叫c s 1 1 0 是c s 1 的一个单位本质扩张则e 是 丁 干 数上矩阵代数的直和的归纳极 限 证明 设这个扩张的指标为a a l a 2 扎 ezo oz 如果 a 1 1 一 h 都不为零 则具有相同指标的扩张 作为一个驴 代数是同构的 否 则 不失一般性我们可假设a 1 0 a 2 k 都不为零 e 皇c 巧0 o 坛 t o o os h 设 p l i 1 2 是b h 中互相正交的l 一秩投影 且 豫2 1 则e 可由笆里 鱼签 和下面 个部分等距s 生成 s a 肌 d 既 s a 这里对每个a s 1 设f 足咒的矩阵单位令 风 慨o g 酞 受 o o o 殳 叟9 n 一1 这里慨是由 e l i i j a n 显现有b kcb k l 注意到 对每个 u b k s p u s 1 又因 为五 c 以瓦o oj c 所以u b k 在磊中稠密 兀 蜘鼠是一个a 弘代 数 口 引理4 9 1 2 4 2 设c 代数粕是一个圆代数的商 a o a 是一个 一同态 则对任意 0 任意有限予集fca o f 包含以 的标准生成元 存在 6 0 使得 如果a 的任一e 子代数a 1 6f 则存在 同态妒 a o a l 使 得下面的图在f 上 近似交换 a 1 叫 a o 定理4 1 0 设e 堑翌 玩 以 e 这罩既是g 丁 代数上矩阵代数的直 和 则e 同构于f 堑望 联 故 这里鼠是g i 代数上矩阵代数的直和 满 足下面条件 戤的每个直和项是m 磊 或a 靠 磊 a a l a 2 a 其中 a l a k 全不为零 进一步 如果m j 而 是懿的一个直和项 则连接映 射铖限制在螈 咒 上是零 证明 先假设e 是五 a a 1 如 k 当a 1 沁 a 全不为零时 是显然的 由引理4 8 当a 0 时 鼠的每个直和项都可以是m 旧博1 下 丽我们不妨假设 1 0 屯 a 全不为零 先给定一个可分的无限维h i l b e r t 空间皂虫 叟g 设 a i 2 是皿 中互相正交的l 一秩投影t 且 p 玎 1 则靠可由笆叟 堡 和下面一个部分等距s 生成 s a a 岛 这里对每个 九 巽 在s 1 中稠密 设 8 玎 是圮的矩阵单位 令 戗 慨o c 魄o s 2 0 o 0 0 芝叟 叟 第四节a t 代数的扩张 这里 靠是由 e i j i 6 k 生成的有限维代数 魄 ma t 肌 显现有晚cc k 1 注意到 对每个七 玩 q s p u k 5 1 又因为死 c s 芄o o 瓦 所以 u c k 在五中稠密 这样矗 炮g 由上面的证明 当e 是g 丁 代数上矩阵代数的直和时 此命题也是讵确 的 一般地 e 堑璺 至1 饨 枞 其中最是g 了0 代数上矩拜代数的赢和 我 l 记 b 硝 o 甜 其中西 是取中满足下面条件的直和项的直和 螈 五 a a 1 a 2 a a 1 a 2 k 全不为零 腊 是其他直和项的直和 显然 有 啄 磷 o 啦职 这里d 的每个赢和项蚴 霸 a 一 l 屯 儿 九 0 i 一1 2 设 世 在f k 中稠密 如 l 2 设g l f 1 c 目 存在e 1 od l 使得d i s t f 硝1 o d l 0 存在 一个难整数m t 和z z q 五 使得 l i 妒 o o 一 l e 则存在掣 如 蟛 使得霄 i i 1 2 n 因为 1 1 7 r 曲 疵 一 j l l q o 7 r 7 r 黾 l i l 访 一 翰川 所以存在a l a 2 a e 使得8 咖 一翰一a i s 这样就存在一 个正整数m 2 m 1 和6 1 k j f k 使得i l 烈6 一吼1 i 0 i 1 2 礼 f o 则 q i j f 0 e 如果 以 r 叩i 不是单射 则州 最 0 f 如果k 圾 f 哥不是单射 则舛k 靠 0 g 设u f a f a f 是 f j 1 2 n 的第j 个直和 项 如果叶l n 不是单的 则存在正整数1s fsn 使得h b d f 0 第五节不变量 证明 a 我们不妨假设n f 1 即只需证明同态q 以 一f 把 j f 映入 r 当a 1 0 a 2 o 时 因为k e r j o o 同态q 可以扩张成从g f 到 g f 的群同态 我们仍记为 我们设g 只 弩叟圣宴 旦圣 g f z o z 0 0 乏 假设存在 o o o 1 o o g 风 使得 o 一 叩 o 0 0 l 0 0 f 一 k f l 0 否则命题币确 假设叩 1 0 o 一 f i 酗 则对于任一i f 整数 有 叩 1 o 一 o 珏一n l 一 f 一n i 当n 充分大 时 f 一n 1 1 0 这和 1 0 一 一 0 凡 矛盾 所以f 1 0 从而q 把 f 0 映入 f o 当a l 0 或者a 2 0 时 记群同态奇 c f o 一g f 是a o 叩的扩 张 假设 每 1 0 o z 掣l 五习 0 o 0 1 0 比 皱 则 西 1 o 一 一 o z n x 孽l n y i 一 可 一n p 因为o r o c h f 所以z 0 又因为 j 帕 n u 迄旦 里圣 n o 冬叟 旦弓 a o nn 所以叩 f o cj f b 由 是显然的 c 不妨设 na 一 l a 2 a v 2 f o0 p 1 p 2 o m 因为日 o 所以叩 n c 口h 如 瓯 zn z 0 oz 当存在i j 仇如 0 所以 z l 茁2 z n 0 叩l f 鲰 0 e 注意到 r 掣z 十 f f 掣z 十o z o oz 因为可f j 晶 不是单 射 所以叩i r 0 f 因为q f 竺q r 掣z 开不是单射 所以厅 0 由 c 可知 t 7 i j n 0 g 类似予 e 口 5 4 设a 是一个有单位元的 代数 s a 是部分等距 如果存在两个 正交的投影p 口 a 使得8 8 一s s p q 则称元素s 是自正交的 注意到 如果还存在 彳 a 是两个正交投影且8 8 一s s 一q 则p 玑q 矿 我们记 s s s s p 旷s s 8 一 q 我t r i m a 表示a a 中所有自 正交部分等距形成的集合 并涎s a l 嚣 a a 一 1 a 定义为 8 一d i a g s 1 用s 以 o 表示s a r p 所有与某个投影同伦的元素全体 设 l 和v 2 是 众 以 中的两个自正交部分等距 则在s a s a o 中 7 1 1 地 当且 仅当 1 一v l v l q 1 1 1 在如 a 中同伦于 1 一v v 2 一q 2 2 1 这 里1 是 似 的单位元 吼 嵋仇一饥嵋 一 i 1 2 利用直和运算可以在 s a s a o 上定义加法 成为一 个交换半醌记为是 a 参见 3 1 1 存在一个自 然嵌入映射e m k i a 一 a 设a 矗 当a 0 时 由引理4 8 和f 3 l 推 论3 2 3 知 磊具有消去性质 是稳定有限的 如果s a 是自正交部分等距 则 存在一个酉元 7 0 使得 u i h 从而k a k a 型z 当人 0 时 设 7 r 死一c s 1 是商映射 7 r 诱导出 个从南 霸 到k c s 1 的单同态 又因 为k c s 1 掣z 所以七 瓦 望z 5 5 设a 是一个有单位元的 代数 我们令 矿 a t 1 阻 札 s a u 七 a cv a o k a 第五节不变量 显然v a 是 个分级交换半群 如f 定义映射d d 一 k a 一v a d 十 f f 乱 一 札 d 一 f 一 一 如果 牡t 是一个由自正交部分等距组成的道路 则 哦毗一u u 是一个由 投影组成的道路 所以d 士是一 个定义良好的半群同态 我们令 k a u q d d u d d 一 u s a a 设a 和b 是两个c 一代数 设印是从k a 到k b 的一个映射 如果 o t 叩i 矿 矿 以 一9 b 是一个同态 并且有f 丽的交换图 矿 a 生k a 咖i y 日 彳2 县 则称叩 k a 一k b 是一个同态 5 6 设e 1 0 器1 眠 e 2 o 竺lm m t o 则每个最 i 1 2 都 是一个本质扩张 0 j 最 毋 一q 且 0 这里 i e 1 o 是l i c o o p c q e 1 o 墨l m e s 1 j 如 o 舞l 埘毛 尼o o 瓮 q 层2 o 警l m m g s 1 如果 聩一岛是一个同态 则 e 1 c 肠 因为 f g s 1 中不可 能包含一个冈构与尼o o 的c 子代数 所以我们有下面的交换图 0 e 1 髓 q e 1 一0 毋il 母i 壬 0 叶 场 一岛一一q 岛 一0 这里事 q e 一q 马 是咖诱导的唯一同态映荆 第五节不变量 因为9 0 0 c o o 咒 0 所以这罩k 一群的六项正合列有如下形式 0 一k 1 甄 一k 1 q 段 一 矗 毋 一k o e 一k o q e i 一 o 我们记这个 f 合列为k 晟 如果有五个群同态o 啦 州5 使得下面的图交 换 0 一k 1 e 1 一k l q e 1 一j b j e 1 一k o e o j 如 q 取 一0 io l10 1 2 l0 1 3l x 4 ln 5 0 一k e 2 一硒 q 易 一编 j 岛 一k o e 2 一硒 q 岛 一0 则称口是一个从k 髓 到k 伤 的映射 引理5 7 设c l l 一代数的短正合列 0 一j 一a b 一0 如果k i f 0 且b 满足消去性质 则有半群的短难合列 o v i 上v a 与v b 一0 证明 因为砥 j 0 所以对任意p v o o b 存在q 兀 使得 口 纠 如果f q l y a 霄 口1 0 则7 r 口 0 口 故0 1 厂 一 v a 一v b 一0 是正合列 口 定理5 8 设e 够暑 地 致 马 o 兰tm m t o 碍是一个从k e t 到k 易 中的同态 对有 i 7 可唯一的诱导出髓个同态 y 和p 使得下面的图交换 0 y j 局 y 目 矿 q 肠 0 1 i l 口 0 矿 j e 2 y 饬 矿 q e 0 i i 叩可唯一的诱导出一个从k e 0 到k 历 的同态 0 t 墨1 且进一步有 同态映射口5oa 2 k q e o 一k q e 2 是保序的 第五节不变量3 5 证明 i 由引理5 3 和5 7 i i 由 i 我们有下面的交换图 最 一蝓 日 一一 q e 1 一0 s il n l a s 确 j e 2 一硒 e 2 一甄 q e 2 一 由叩给出一个从 肠 到南 易 这样可以诱导出一个同态 0 2 k i q e 1 一k l q e 2 定义口1 一e m qo 叩k 耳 e e m h l e 1 一k l e 2 我们有下面的交换图 从而得到交换图 0 一k 1 e 1 一k i q e 1 一k e 1 一 硒 e 1 一蝓 q f 1 一0 io ll8 2lo i 3j0 4 0 5 0 一k l 马 一k 1 q 岛 一娲 岛 一k o 易 一k o q 马 一0 令0 f 啦 冬l 口 k 踢 一k 玛 是由7 7 诱导出的唯一同态 这就证明了此 命题 口 日h r 如 h 卫 生 毋 岛 叭 第六节存在性定理 本节中我们假设所有的指标都具有这样的形式a 一 a 一 a a h a 或都为零 或都不为零 射 引理6 1 设咖 五 b 一瓦是一个 一同态 如果a l a 2 0 幽引理5 3 可知纠 矗 0 q i f a 0 口 第六节存在性定理 定理6 3 设肠 五 e 2 m m 巩 i 1 2 是从置到q 毋 的商 映射 p 岛是一个投影 是从u e 刘v e 2 的同态映射 n l 局 p 记 啦 是 诱导的从k e 到k e 2 的群同态 设妒 7 e q 饬 是一个 同态 妒o7 r i 1 e 7 2 p 妒 o n 5 识1 a 2 并且满足下面性质 如 果a 0 则q l 矿 e 0 则存在一个4 一同态咖 e 1 一岛使得妒诱导出n 庐 1 e 1 尸 2 庐 砂 7 1 1 证明 设露l 矗 c 巧0 o 瓦 s s o o 艮 如果a 0 0 0 设z 是c s 1 中的恒等函数 则存在一个酉元u p 如p 使得7 r 2 u 妒0 记a 驴 u p 岛 p a 型五 我们记口 g j s l 一 k 霸 使得 r o 仃 i d q e 2 令 口 妒 丌l 注意到口l y 蜀 0 可知咖满足定理要求 如果a 0 0 0 出g i 理5 3 和6 2 1 l j v 马 0 我们可令毋 o o 砂o t r l 如果a 0 0 0 则存在一个部分等距元u p 易p 使得7 r u 妒 由假设a i 0 设 咖 妒 a 一目是两个 同态 如果存在 个酉元u b 使得 0 a d u0 一妒 l i v f f 则称西和移在f 上 近似酉等价 定理7 2 设 0 叫庀o 0 坛叫e 2 c s 1 叫0 是一个单位本质扩张 设 一同态如 尼0 o 厄一 如 n l 0 2 啦 t 1 2 n o t e e 是一个自同构并且丌oo t 了r no l t i z o o i c c b o o 尼 这里7 r e 一驴 s 1 是商映射 则o 是一个近似内自同构 证明 设只 o o l u h 0 o 芝 星 里 里竺 望2 最 只e 只 因为a 0k 瓦o o 庀 ck 瓦o o p c 我们定义 一同态o q e i 一蜀 对 任意a e a i 只8 只 p c 4 a p 设e c o o 瓦 研o o 晶 一同 态胁 e 一凰掣c 瓦 是在第i 个b h 上的分量 设q j 最 皇j c 是 一个投影 因为o i 是同构和定理假设 所以存在0 0 0 尼 o0 其中只 有第t 个煮和项不为零 中一投影p 使得风 a p q 如果只口只一0 则 p a p r 口只 0 所以口只口 a 只 胁o a p 风o o 一n oa p a 0 由于 q 是 蜀 垒咒中任意投影 所以只a o 只 0 啦是定义良好的 4 0 第七节唯一性定理4 1 因为啦 i c ck 所以存在t 1 w 2 w m h 是酉元 使得 只n r w i 只o r 州t 令 w 1 i io 也r d d t 则对任意的b e 有 o 6 曩口 6 只 m r 6 疋 w b w l 设 是c s 1 的标准生成元 则l l 丌 w u 川 由 3 5 1 引理4 3 存在b 日 中 的n 条连续的道路 趣 0 l i 1 2 r 使得培 1 p 7 r 且 0 i 1 2 m 我们令k 1 ou 2 o o t 护 存在酉元 肌 b h 0 o b h 使得 一 0 1 2 霄 嵋 这里 w j 0 1 n 0 t o 1 t g 一1 令 l 吁b b e 是e 上的自同构 则 l i o o o j 1 l j 0 1 1 所以 l o l i d i i 0 和z l z 2 魂 4