十字交叉法2.1.doc

浅谈高中阶段十字交叉法在化学学科中的应用十字交叉法作为化学计算技巧中非常实用的一种计算方法，在处理某些问题的过程中优势非常明显，然而怎样的计算习题可以采用这种方法？交叉后所得的差值之比是质量之比还是物质的量之比？这样的问题不能解决，使用十字交叉法就又可能进入不可预知的窘境。本文旨在阐述十字交叉法的数学原理以帮助同学了解该法的适用范围与使用限制，同时，本文还将归纳该法的常见应用与错误应用的典型。一、数学原理：1、原理阐述：“十字交叉法”是由二元一次方程演变而来的，这就是“十字交叉法”的数学原理。为了阐明这一点，我们在此举一个实例来证明：若用A、B分别表示二元混合物两种组分的量，混合物总量为A+B（例如mol）若用xa、xb分别表示两组分的特性数量（例如分子量），x表示混合物的特性数量（例如平均分子量）则有：XaA + xbB x （A + B）将此数学表达式变形即可转化为下式： A/B = （x - xb）/ (xa - x）此式又可由十字交叉法推导得出:A组分 xa x - xb A x = B组分 xb xa - x B由此我们可以看出，运用“十字交叉法”计算的习题必须具备的条件，是此习题能列出二元一次方程。从某种意义上说，只要能用二元一次方程解决的习题就能用“十字交叉法”计算。2、几何意义：我们还可以从另外一个角度来考虑这个问题。根据以上提到的“用二元一次方程”，我们可以按照题目意思设x、y，然后建立两者的关系，画出其图像。我们总能得到一个类似于右图的图像。由图像知，x、y呈一次函数关系。根据相似三角形的相关原理，利用数学方法，可以很好的解释十字交叉法的原理！二、常见应用范围：通过上述对该法数学原理的阐述，我们可以知道，十字交叉法，几乎适用于任何“已知两组分量和这两个量的平均值，求这两个量的比例关系”的题目，包括1：1、涉及质量分数的计算；【例题1】在苯和苯酚组成的混合物中，碳元素的质量分数为90%，则该混合物中氧元素的质量分数是A2.5% B5% C6.5% D7.5%这类题也包括溶液配制计算，如例二【例题2】某同学欲配制40%的NaOH溶液100克，实验室中现有10%的NaOH溶液和NaOH固体，问此同学应各取上述物质多少克？【分析】10%NaOH溶液溶质为10，NaOH固体溶质为100，40%NaOH溶液溶质为40，利用十字交叉法得：需10%NaOH溶液为23100=66.7克，需NaOH固体为 13100=33.3克2、涉及物质的量浓度的计算：物质的量分别为6摩/升, 1摩/升的硫酸溶液,按怎样的体积比才能配成4摩/升的 溶液?分析 63 4 / / 1 2根据溶质物质的量守恒, 满足此式的是6X + Y = 4 (X+Y)X 和 Y 之比是体积比,故十字交叉得出的是体积比为3 : 2 ,答案为6摩/升, 1摩/升的硫酸溶液,按3 : 2的体积比才能配成4摩/升的溶液?3、有关平均相对分子/原子质量的计算；【例题1】Li2CO3和BaCO3的混合物与盐酸反应所消耗盐酸的量同等质量的CaCO3和同浓度的盐酸反应所消耗盐酸的量相等，则混合物中Li2CO3和BaCO3的质量之比为A3:5 B5:3 C7:5 D5:7这类题也包括同位素原子百分含量（丰度）的计算，如例二，【例题2】溴有两种同位素，在自然界中这两种同位素大约各占一半，已知溴的原子序数是35，原子量是80，则溴的两种同位素的中子数分别等于。（A）79 、81 （B）45 、46 （C）44 、45 （D）44 、46【分析】两种同位素大约各占一半,根据十字交叉法可知,两种同位素原子量与溴原子量的差值相等,那么它们的中子数应相差2,所以答案为D4、有关平均分子式的计算；这类题包括混和气体的计算，如有机里面那道比较经典的题目：【例题1】在常温下，将1体积乙烯和一定量的某气态未知烃混和，测得混和气体对氢气的相对密度为12，求这种烃所占的体积。【分析】根据相对密度计算可得混和气体的平均式量为24，乙烯的式量是28，那么未知烃的式量肯定小于24，式量小于24的烃只有甲烷，利用十字交叉法可求得甲烷是0.5体积5、有关反应热的计算；【例题1】已知下列两个热化学方程式：2H2(g)O2(g)2H2O(l)571.6 kJ/mol，C3H8(g)5O2(g)3CO2(g)4H2O(l)2220 kJ/mol，实验测得氢气和丙烷的混合气体共5 mol，完全燃烧时放热3847 kJ，则混合气体中氢气和丙烷的体积之比是A1:3 B3:1 C1:4 D1:16、有关混合物反应的计算。【例题】现有100克碳酸锂和碳酸钡的混和物，它们和一定浓度的盐酸反应时所消耗盐酸跟100克碳酸钙和该浓度盐酸反应时消耗盐酸量相同。计算混和物中碳酸锂和碳酸钡的物质的量之比。【分析】可将碳酸钙的式量理解为碳酸锂和碳酸钡的混和物的平均式量，利用十字交叉法计算可得碳酸锂和碳酸钡的物质的量之比97:267、相关结构的推测【例题】1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家。C60是由60个C原子组成的分子，它结构为简单多面体形状。这个多面体有60个顶点，从每个顶点引出3条棱，各面的形状分为五边形和六边形两种，计算C60分子中形状为五边形和六边形的面各有多少？【分析】因每两个顶点共有一条棱故每个顶点独立拥有1.5条棱，所以棱数=1.5*60=90根据欧拉公式：顶点数+面数-棱数=2（Y+F-E=2）可知C60的面数=2+90-60=32若此多面体的面全为五边形则应有32*5/3个顶点（一个五边形有5个顶点每个顶点被三个面所共有），同理若全为六边形则应有32*6/3个顶点。五边形 32*5/3 4 / 60 / 六边形 32*6/3 20/3 五边形:六边形 = 12：20=3：5五边形12个，六边形 20 个。8、有关体积分数的计算已知H2 和CO 的混合气，其平均式量是20，求混合气中H2 和CO 的体积比。（49）解： H2 2 2820 4 20 CO 28 202 99、有关两种含相同元素物质的质量比FeO 中和FeBr2 的混合物中Fe 的质量百分率为50%，求两物质的质量比（1315）解： FeO 7/9 13/54 13 1/2 FeBr2 7/27 5/18 15笔者在此归类，仅仅是为了方便大家了解十字交叉法的适用范围，并不是说，只能应用于上述类型的题目，也并不是说上述类型的题目一定就可以正确使用十字交叉法。三、错误分析：错误分析，这部分内容比较难以用言语来概括。我们考虑采用例题解答的方法来写错误。【例一】 由乙烯和乙醇蒸汽组成的混合气体中，若碳元素的质量分数为60%，则氧元素的质量分数为？【错误解答】路人甲说：“这道题也可以用十字相乘法做，但我做出来有错误，和答案不一样，我想问是哪里错了，乙烯的含碳量为6/7，而乙醇的含碳量为12/23，而混合物的含碳量为0.6，则6/7-0.6=9/35，而0.6-12/23=9/115，9/35：9/115=23:7，就是乙烯有7摩尔，乙醇有23摩尔，算出来不对的，哪里错了？”【错误分析】显然，路人甲的错误之处在于，TA不是如你想象地这么明白十字交叉法的数学原理，【正确解答】对这道题目，可以用十字交叉法，但是恰恰得到的不是物质的量之比，而是质量之比所以，依照你的方法，得到的是乙烯7g，乙醇23g，即物质的量之比是1：2所以含O质量分数=(16*2)/(28+46*2)=0.8/3=26.7%而利用元素关系求出的也是这个数值乙烯 C2H4乙醇 C2H4-H2O将这个混合气体看做C2H4与H2O的混合C2H4中碳氢质量比为6：1所以C2H4中氢的质量分数为10%所以H2O的质量分数为1-60%-10%=30%氧的质量分数为30%*16/18=26.7% 推导过程：不妨设乙烯质量x，乙醇质量y(x*6/7+y*12/23)=0.6*(x+y)x:y = (0.6-12/23):(6/7-0.6)看到了吗，这样得到的是乙烯和乙醇的“质量之比”（本解答由周鸣老师提供）【评价】 通过这道例题做错的原因分析，我们不难发现，对于十字交叉法应用的失误，大多产生于对于其数学原理的不了解，由此可见，使用十字交叉法时深刻理解其数学原理是何等重要！本文写到这儿，似乎就没什么可以写了。笔者的愿景，是希望这篇文章能帮助同学们了解十字交叉法的原理并使同学们在今后的解题过程中能更好地使用该方法。望本文能在同学们今后的学习过程中起到一定的作用。当然，笔者才智十分有限，加之成文仓促，文中难免疏漏之处，恳请同学在阅读的过程中不吝批评指正。(作者:无锡一中 惠琦 华轩文)参考文献：1百度百科“十字交叉法”词条 /vi