自考高等数学(一)精讲第三章.pdf

自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 1 第三章第三章一元函数的导数和微分一元函数的导数和微分 3 13 1导数概念导数概念 一 问题的提出一 问题的提出 1 切线问题 割线的极限位置 切线位置 如图 如果割线 MN 绕点 M 旋转而趋向极限位置 MT 直线 MT 就称为曲线 C 在点 M 处的切线 极限位置即 切线 MT 的斜率为 2 自由落体运动的瞬时速度问题 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 2 二 二 导数的定义导数的定义 设函数 y f x 在点的某个邻域内有定义 当自变量 x 在处取得增量 x 点仍在 该邻域内 时 相应地函数 y 取得增量 如果 y 与 x 之比当 x 0 时的 极限存在 则称函数 y f x 在点处可导 并称这个极限为函数 y f x 在点处的导数 记 为 即 其它形式 关于导数的说明 在点处的导数是因变量在点处的变化率 它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程 度 如果函数 y f x 在开区间 I 内的每点处都可导 就称函数 f x 在开区间 I 内可导 对于任一 都对应着 f x 的一个确定的导数值 这个函数叫做原来函数 f x 的导函 数 记作 注意 2 导函数 瞬时变化率 是函数平均变化率的逼近函数 导数定义例题 例 1 115 页 8 设函数 f x 在点 x a 可导 求 1 答疑编号 11030101 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 3 2 答疑编号 11030102 三 单侧导数三 单侧导数 1 左导数 2 右导数 函数 f x 在点处可导左导数和右导数都存在且相等 例 2 讨论函数 f x x 在 x 0 处的可导性 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 4 答疑编号 11030103 解 闭区间上可导的定义 如果 f x 在开区间 a b 内可导 且及都存在 就说 f x 在闭区间 a b 上可导 由定义求导数 步骤 例 3 求函数 f x C C 为常数 的导数 答疑编号 11030104 解 例 4 设函数 答疑编号 11030105 解 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 5 同理可以得到 例 5 求 例 6 求函数的导数 答疑编号 11030106 解 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 6 例 7 求函数的导数 答疑编号 11030107 解 四 四 常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式 五 导数的几何意义五 导数的几何意义 表示曲线 y f x 在点处的切线的斜率 即 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 7 切线方程为 法线方程为 例 8 求双曲线处的切线的斜率 并写出在该点处的切线方程和法线方程 答疑编号 11030108 解 由导数的几何意义 得切线斜率为 所求切线方程为 法线方程为 六 可导与连续的关系六 可导与连续的关系 1 定理 凡可导函数都是连续函数 注意 该定理的逆定理不成立 即 连续函数不一定可导 我们有 不连续一定不可导 极限存在 连续 可导之间的关系 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 8 2 连续函数不存在导数举例 例 9 讨论函数在 x 0 处的连续性与可导性 答疑编号 11030109 解 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 9 例 10 P115 第 10 题 设 在什么条件下可使 f x 在点 x 0 处 1 连续 2 可导 答疑编号 11030110 解 1 2 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 10 七 小结七 小结 1 导数的实质 增量比的极限 2 导数的几何意义 切线的斜率 3 函数可导一定连续 但连续不一定可导 4 5 求导数最基本的方法 由定义求导数 6 判断可导性 3 23 2求导法则求导法则 3 33 3基本求导公式基本求导公式 一 和 差 积 商的求导法则一 和 差 积 商的求导法则 1 定理 如果函数在点 x 处可导 则它们的和 差 积 商 分母不为零 在点 x 处也可导 并且 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 11 推论 2 例题分析 例 1 求的导数 答疑编号 11030201 解 例 2 求的导数 答疑编号 11030202 解 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 12 例 3 求 y tanx 的导数 答疑编号 11030203 解 同理可得 例 4 求 y secx 的导数 答疑编号 11030204 解 同理可得 例 5 131 页例 2 设 求 答疑编号 11030205 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 13 二 反函数的导数二 反函数的导数 1 定理 如果函数在某区间内单调 可导且 那么它的反函数在对应区 间内也可导 且有 即反函数的导数等于直接函数导数的倒数 2 例题分析 例 6 求函数 y arcsinx 的导数 答疑编号 11030206 解 同理可得 例 7 求函数的导数 答疑编号 11030207 解 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 14 特别地 三 小结 初等函数的求导问题三 小结 初等函数的求导问题 1 常数和基本初等函数的导数公式 2 函数的和 差 积 商的求导法则 设 u u x v v x 可导 则 例 8 127 页 1 题 6 14 15 1 1 题 6 小题 答疑编号 11030208 解 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 15 2 1 题 14 小题 答疑编号 11030209 解 3 1 题 15 小题 答疑编号 11030210 解 例 9 115 页 3 若一直线运动的运动方程为 求在 t 3 时运动的瞬时速度 答疑编号 11030211 解 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 16 例 10 115 页 5 求曲线的与直线 y 5x 的平行的切线 答疑编号 11030212 另一条求出来是 四 分段函数的求导问题四 分段函数的求导问题 1 114 页定理 设 1 如果函数在上连续 在上可导 且当时 则 2 如果函数在上连续 在上可导 且当时 则 2 分段函数的求导问题举例 例 11 116 页 11 求下列分段函数 f x 的 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 17 1 答疑编号 11030213 解 五 复合函数的求导法则五 复合函数的求导法则 1 复合函数的求导法则 定理 如果函数在点 x0可导 而 y f u 在点可导 则复合函数在 点 x0可导 且其导数为 即 因变量对自变量求导 等于因变量对中间变量求导 乘以中间变量对自变量求导 链式法 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 18 则 推广设 则复合函数的导数为 2 例题分析 例 1 求函数 y lnsinx 的导数 答疑编号 11030301 解 y lnu u sinx 例 2 已知 y 2x 2 3x 5 100 求 答疑编号 11030302 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 19 例 3 求 y sin5x 的导数 答疑编号 11030303 例 4 求函数的导数 答疑编号 11030304 解 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 20 例 5 教材 133 页习题 3 3 1 题 2 小题 求的导数 答疑编号 11030305 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 21 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 22 例 6 求的导数 答疑编号 11030306 例 7 求的导数 a 0 答疑编号 11030307 例 8 求函数的导数 答疑编号 11030308 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 23 解 例 9 教材 128 页习题 3 2 3 题 5 小题 求的导数 答疑编号 11030309 例 10 教材 128 页习题 3 2 3 题 7 小题 求 y sinnx cos nx 的导数 答疑编号 11030310 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 24 例 11 求的导数 答疑编号 11030311 例 12 求的导数 答疑编号 11030312 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 25 例 13 求的导数 答疑编号 11030313 例 14 求的导数 答疑编号 11030314 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 26 例 15 教材习题 3 2 8 题 已知在点 x 1 可导 求 a b 答疑编号 11030315 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 27 幂指函数 抽象的复合函数的求导例题 一 幂指函数求导一 幂指函数求导 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 28 例 1 x x 答疑编号 11030401 例 2 y sinx cosx求 y 答疑编号 11030402 二 抽象的复合函数求导二 抽象的复合函数求导 例 3 设 f u 可导 求下列函数的导数 1 f lnx lnf x 答疑编号 11030403 解 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 29 2 y f e x 答疑编号 11030404 解 3 y e f x 答疑编号 11030405 4 答疑编号 11030406 5 答疑编号 11030407 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 30 3 43 4高阶导数高阶导数 一 高阶导数的定义一 高阶导数的定义 问题 变速直线运动的加速度 设 s f t 则瞬时速度为 v t f t 加速度 是速度 v 对时间 t 的变化率 a t v t f t 定义如果函数 f x 的导数 f x 在点 x 处可导 即 存在 则称 f x 为在点 x 处的二阶导数 记作 二阶导数的导数称为三阶导数 三阶导数的导数称为四阶导数 例 4 y 3x 2 sinx 答疑编号 11030408 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 31 一般地 函数 f x 的 n 1 阶导数的导数称为函数 f x 的 n 阶导数 记作 相应地 f x 称为零阶导数 f x 称为一阶导数 例 5 求下列函数的二阶导数 1 y ax b 答疑编号 11030409 2 y cos nx 答疑编号 11030410 3 y e sinx 答疑编号 11030411 二 对于某些特殊的导数的高阶导数是有规律的 二 对于某些特殊的导数的高阶导数是有规律的 例 6 求下列函数的 n 阶导数 1 y e x 答疑编号 11030412 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 32 2 y x 5 答疑编号 11030413 例 7 设 y x 求 y n 解 用数学归纳法可以证明 特别 当 n 时 即 y xn 其 n 阶导数 y n xn n n 答疑编号 11030414 例 8 答疑编号 11030415 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 33 例 9 设 y x 2 1 10 x9 x3 1 求 y 30 答疑编号 11030416 例 10 设 y sinx 求 y n 答疑编号 11030417 解 同理可得 注意 求 n 阶导数时 求出 1 3 或 4 阶后 不要急于合并 分析结果的规律性 写出 n 阶导数 数学归纳法证明 例 11 设 f x 的 n 2 阶导数 求 f n x 答疑编号 11030418 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 34 3 53 5函数的微分函数的微分 问题的提出 实例 正方形金属薄片受热后面积的改变量 设边长由 x0变到 x0 x 正方形面积 是 x 的线性函数且为 A 的主要部分 是 x 的高阶无穷小 当 x 很小时可忽略 微分的定义 定义 设函数 y f x 在某区间内有定义 x0及 x0 x 在这区间内 如果 成立 其中 A 是与 x 无关的常数 则称函数 y f x 在点 x0可微 并且称 A x 为函数 y f x 在点 x0相应于自变量增量 x 的微分 记作 微分 dy 叫做函数增量 y 的线性主部 微分的实质 可微的条件 定理 函数 f x 在点 x0可微的充要条件是函数 f x 在点 x0处可导 且 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 35 通常把自变量 x 的增量 x 称为自变量的微分 记作 dx 即 dx x 即函数的微分 dy 与自变量的微分 dx 之商等于该函数的导数 导数也叫 微商 微分的几何意义 几何意义 如图 当 y 是曲线的纵坐标增量时 dy 就是切线纵坐标对应的增量 当 x 很小时 在点 M 的附 近 切线段 MP 可近似代替曲线段 MN 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 36 微分的求法 求法 计算函数的导数 乘以自变量的微分 1 基本初等函数的微分公式 2 函数和 差 积 商的微分法则 例 1 设 求 dy 答疑编号 11030501 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学