原子物理学第三章题解.pdf

1 第三章题解第三章题解第三章题解第三章题解 3 13 13 13 1电子的能量分别为电子的能量分别为电子的能量分别为电子的能量分别为10eV10eV10eV10eV 100100100100 eVeVeVeV 1000100010001000 eVeVeVeV时 试计算时 试计算时 试计算时 试计算相相相相 应的德布罗意波长 应的德布罗意波长 应的德布罗意波长 应的德布罗意波长 解 依计算电子能量和电子波长对应的公式解 依计算电子能量和电子波长对应的公式解 依计算电子能量和电子波长对应的公式解 依计算电子能量和电子波长对应的公式 电子的能量电子的能量电子的能量电子的能量 ke e k Emp m p E2 2 2 由德布罗意波长公式由德布罗意波长公式由德布罗意波长公式由德布罗意波长公式 KeE m h p h 2 nmnmnmnm E E E E 2261 nmnmnmnmnmnmnmnm3880 10 1 1 226 nmnmnmnmnmnmnmnm0 1226 100 1 226 2 nmnmnmnmnmnmnmnm0 0388 1000 1 226 3 3 23 23 23 2 设光子和电子的波长均为设光子和电子的波长均为设光子和电子的波长均为设光子和电子的波长均为0 4nm0 4nm0 4nm0 4nm 试问 试问 试问 试问 1 1 1 1 光子的动量与电 光子的动量与电 光子的动量与电 光子的动量与电子子子子 的动量之比是多少 的动量之比是多少 的动量之比是多少 的动量之比是多少 2 2 2 2 光子的动能与电子的动能之比是多少 光子的动能与电子的动能之比是多少 光子的动能与电子的动能之比是多少 光子的动能与电子的动能之比是多少 解 解 解 解 1 1 1 1 由 由 由 由可知光子的动量等于电子的动量 即可知光子的动量等于电子的动量 即可知光子的动量等于电子的动量 即可知光子的动量等于电子的动量 即p p p p光子光子光子 光子 p p p p电子电子电子电子 1 1 1 1 1 1 1 1 p p p p h h h h 2 2 2 2 由 由 由 由光子动能与波长的对应的关系光子动能与波长的对应的关系光子动能与波长的对应的关系光子动能与波长的对应的关系 nmnmnmnm KeVKeVKeVKeVE E E E 光子 光子 1 24 电子动能与波长的关系电子动能与波长的关系电子动能与波长的关系电子动能与波长的关系 nmnmnmnm E E E E电子 电子 1 226 nmnmnmnmE E E E 2 电子 电子 1 226 则知则知则知则知 9629 40 3 1 226 101 24 2 3 电子 光子 E E E E E E E E 3 3若一个电子的动能等于它的静止能量 试求 1 该电子的速度 课后答案网 2 为多大 2 其相应的德布罗意波长是多少 解 1 依题意 相对论给出的运动物体的动能表达式是 2 mcE 2 0c mEE k 2 0 2 2cmmc 0 2mm 0 2 2 0 2 1 m c v m m 4 1 1 2 2 c v 2 2 1 4 1 c v 2 2 4 3 c v 所以 0 866cc 4 3 v 2 根据电子波长的计算公式 0 001715nm eV10511 1 226nm 1 226nm 3 eVEk 3 4把热中子窄束射到晶体上 由布喇格衍射图样可以求得热 中子的能量 若晶体的两相邻布喇格面间距为 0 18nm 一级布喇格 掠射角 入射束与布喇格面之间的夹角 为30 试求这些热中子的能 量 解 根据布喇格衍射公式n dsin dsin 0 18 sin30 nm 0 09 nm 1 226nm k EeV 22 1 226nm 13 622 eV185 56eV k E 3 5电子显微镜中所用加速电压一般都很高 电子被加速后的速度 课后答案网 3 很大 因而必须考虑相对论修正 试证明 电子的德布罗意波长与加 速电压的关系应为 1 226 nm r V 式中Vr V 1 0 978 10 6V 称为相对论修正电压 其中电子加速电 压V的单位是伏特 分析 考虑德布罗意波长 考虑相对论情况质量能量修正 联系德布罗 意关系式和相对论能量关系式 求出相对论下 P 即可解 证明 根据相对论质量公式将其平方整理乘c2 得其能 0 2 1 m m v c 量动量关系式 22222 0 1 v mcm c c 222222 0 m cp cm c 22224 0 Ep cm c 2 0k EEmc 0k EEE 2242 2242 0000 111 2 kkk pEm cEm cm cE Em c ccc 2 2222 2 6 2 2 1 226 2 2 2 2 2 1 2261 2261 226 1 0 9785 10 1 2 e kkeekkekke e r e m c hhchc p E Em cm cE Em cE Em c m c VV VV V m c 题意得证 3 6 1 试证明 一个粒子的康普顿波长与其德布罗意波长之比等于 课后答案网 4 1 2 0 E E 式中Eo和E分别是粒子的静止能量和运动粒子的总能量 康普顿波 长 c h m0c m0为粒子静止质量 其意义在第六章中讨论 2 当电子的动能为何值时 它的德布罗意波长等于它的康普顿波长 证明 根据相对论能量公式将其平方整 0 2 1 m m v c 理乘c2 22222 0 1 v mcm c c 222222 0 m cp cm c 22224 0 Ep cm c 2 0k EEmc 0k EEE 22422242 0000 111 2 kkk pEm cEm cm cE Em c ccc 22422242 000000 1111 2 kkk pEm cEm cm cEEm cEEEE cccc 1 相对论下粒子的德布罗意波长为 22 00 0 hhchc pEEEE EE 粒子的康普顿波长为 2 000 c hhchc m cm cE 22 020 00 22 0 1 c hc EEEE hc EE EE 2 若粒子的德布罗意波长等于它的康顿波长 课后答案网 5 2 0 11 E E 2 0 0 2 2 E EE E 0 22511722 55KeVEE 0 722 55511211 55 KeV k EEE 则电子的动能为 211 55KeV 则电子的动能为 211 55KeV 注意变换 注意变换 注意变换 注意变换 1 1 1 1 P P P P转化为转化为转化为转化为 表示表示表示表示 2 2 2 2 E E E E转化为转化为转化为转化为 表示表示表示表示 3 73 73 73 7 一原子的激发态发射波长为一原子的激发态发射波长为一原子的激发态发射波长为一原子的激发态发射波长为600nm600nm600nm600nm的光谱线 测得波长的精度的光谱线 测得波长的精度的光谱线 测得波长的精度的光谱线 测得波长的精度为为为为 试问该原子态的寿命为多长 试问该原子态的寿命为多长 试问该原子态的寿命为多长 试问该原子态的寿命为多长 7 10 解 解 解 解 依依依依求求求求 t t t t htE c c c c h h h hh h h hE E E E 2 hchchchcE E E E 2 E E E Et t t t s s s s c c c chchchchcE E E E t t t t 9 8 79 1061 1031434 1010600 422 3 83 83 83 8 一个电子被禁闭在线度为一个电子被禁闭在线度为一个电子被禁闭在线度为一个电子被禁闭在线度为10fm10fm10fm10fm 的区域中 这正是原子核线度的的区域中 这正是原子核线度的的区域中 这正是原子核线度的的区域中 这正是原子核线度的 数量级 试计算它的最小动能 数量级 试计算它的最小动能 数量级 试计算它的最小动能 数量级 试计算它的最小动能 解 解 解 解 粒子被束缚在线度为粒子被束缚在线度为粒子被束缚在线度为粒子被束缚在线度为r r r r的范围内 即的范围内 即的范围内 即的范围内 即 x x x x r r r r 2 x x x x p p p px x x x 课后答案网 6 那么粒子的动量必定有一个不确定度 它至少为 那么粒子的动量必定有一个不确定度 它至少为 那么粒子的动量必定有一个不确定度 它至少为 那么粒子的动量必定有一个不确定度 它至少为 x2 x x x x p p p p 2 x x x xx x x xx x x x p p p pp p p pp p p p 0 x x x x p p p p 平均 平均 22 3 1 p p p pp p p px x x x 电子的最小平均动能为电子的最小平均动能为电子的最小平均动能为电子的最小平均动能为eVeVeVeV mrmrmrmr E E E Ek k k k 8 2 2 108482 8 3 3 9已知粒子波函数 试求 1 归一化 c z b y a x N 2 2 2 exp 常数N 2 粒子的x坐标在 0 到a之间的几率 3 粒子的y坐标和 z坐标分别在 b b和 c c 之间的几率 解 1 因粒子在整个空间出现的几率必定是一 所以归一化条件是 dv 1 即 dzedyedxeNdv c z b y a x 2 2 2 2 2 2 2 2 18222 2 000 2 abcNdecdebdeaN c z c z b y b y a x a x 所以N abc8 1 2 粒 子 的x坐 标 在区 域 内 几 率a 0 为 dzedyedxeN c z b y a a x 2 2 2 2 0 2 2 2 1 1 2 1 14 12 e eabcN 3 粒子的区域内的几率为 cczbby dzedyedxeN c c c z b b b y a x 2 2 2 2 2 2 2 22 1 1 8 e abcN 2 1 1 e 3 10若一个体系由一个质子和一个电子组成 设它的归一化空 间波函数为 x1 y1 z1 x2 y2 z2 其中足标1 2 分别代表质子 和电子 试写出 课后答案网 7 1 在同一时刻发现质子处于 1 0 0 处 电子处于 0 1 1 处的几率密度 2 发现电子处于 0 0 0 而不管质子在何处的几率密度 3 发现两粒子都处于半径为1 中心在坐标原点的球内的几率大小 3 11对于在阱宽为a的一维无限深阱中运动的粒子 计算在任意 本征态 n中的平均值 及 并证明 当n 时 上述结果x 2 xx 与经典结果相一致 3 12求氢原子1s态和2P态径向电荷密度的最大位置 第三章习题 13 14 3 13设氢原子处在波函数为的基态 a1为第 1 3 1 1 a r e a r 一玻尔半径 试求势能 的平均值 r e rU 2 0 4 1 3 14证明下列对易关系 ipy 0 y px 0 x Lx z Lx i y 0 xx Lp z PLp i yx 第三章习题 15 解 3 15 设质量为 m 的粒子在半壁无限高的一维方阱中运动 此方阱的 表达式为 x V ax ax00 0 x 0 V 试求 1 粒子能级表达式 2 证明在此阱内至少存在一个束缚态 的条件是 阱深和阱宽 a 之间满足关系式 0 V 课后答案网 8 m aV 32 2 2 0 解 1 在 xa 薛 定 谔 方 程 为 0 VxV 330 2 3 2 2 2 EV dx d m 4 整理后得 令0 2 3 2 0 2 3 2 EVm dx d 2 0 EVmk 则 方程的解为 5 0 3 2 2 3 2 k dx d xk Be 3 式中 A B 为待定系数 根据标准化条件的连续性 有 3 3 2 2 a a a a