2019_2020学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的几何性质讲义苏教版.docx

2.3.2双曲线的几何性质学 习 目 标核 心 素 养1.了解双曲线的简单几何性质(重点)2.会求双曲线的渐近线、离心率、顶点、焦点坐标等(重点)3.知道椭圆与双曲线几何性质的区别.1.通过双曲线性质的学习，提升直观想象素养2.借助性质的应用，提升数学运算素养.1双曲线的简单几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)性质图形焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距2c范围xa或xa，yRya或ya，xR对称轴x轴，y轴对称中心原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b离心率e(1，)渐近线yxyx2等轴双曲线(1)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线(2)性质：等轴双曲线的离心率e；等轴双曲线的渐近线方程为yx，它们互相垂直思考：(1)渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？(2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？提示(1)渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同(2)e21，是渐近线的斜率或其倒数1双曲线1的渐近线方程是()AyxByxCyxDyxC双曲线的焦点在x轴上，且a2，b3，因此渐近线方程为yx.2双曲线y21的顶点坐标是()A(4,0)，(0,1)B(4,0)，(4,0)C(0,1)，(0，1)D(4,0)，(0，1)B由题意知，双曲线的焦点在x轴上，且a4，因此双曲线的顶点坐标是(4,0)，(4,0)3若双曲线1(m0)的渐近线方程为yx，则双曲线的焦点坐标是_(，0)，(，0)由双曲线方程得出其渐近线方程为yx，m3，求得双曲线方程为1，从而得到焦点坐标为(，0)，(，0)4已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程为yx，则双曲线的离心率为_因为渐近线方程为yx，所以，所以离心率e.由双曲线的方程求其几何性质【例1】求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图思路探究本题给出的方程不是标准方程，应先化方程为标准形式，然后根据标准方程求出基本量a，b，c即可得解，注意确定焦点所在坐标轴解将9y24x236变形为1，即1，所以a3，b2，c，因此顶点坐标A1(3,0)，A2(3,0)，焦点坐标F1(，0)，F2(，0)，实轴长是2a6，虚轴长是2b4，离心率e，渐近线方程为yxx.作草图，如图所示：用双曲线标准方程研究几何性质的步骤1将双曲线方程化为标准方程形式；2判断焦点的位置；3写出a2与b2的值；4写出双曲线的几何性质1求双曲线x23y2120的实轴长、虚轴长、焦点坐标、渐近线方程和离心率解将方程x23y2120化为标准方程为1，a24，b212，a2，b2，c4，双曲线的实轴长2a4，虚轴长2b4，焦点坐标为F1(0，4)，F2(0,4)，顶点坐标为A1(0，2)，A2(0,2)，渐近线方程为yx，离心率e2.求双曲线的标准方程【例2】求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)两顶点间的距离为6，渐近线方程为yx；(2)与双曲线x22y22有公共渐近线，且过点M(2，2)思路探究利用待定系数法，当渐近线方程已知时，可利用双曲线设出方程进行求解解(1)设以直线yx为渐近线的双曲线方程为(0)，当0时，a24，2a26.当0，b0)，则. A(2，3)在双曲线上，1. 由联立，无解若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则. A(2，3)在双曲线上，1. 由联立，解得a28，b232.所求双曲线的标准方程为1.法二：由双曲线的渐近线方程为yx，可设双曲线方程为y2(0)A(2，3)在双曲线上，(3)2，即8.所求双曲线的标准方程为1.求双曲线的离心率及其取值范围【例3】(1)设ABC是等腰三角形，ABC120，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为_(2)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求双曲线离心率的取值范围思路探究(1)根据图形并由双曲线的定义确定a与c的关系，求出离心率；(2)可以通过图形借助直线与双曲线的关系，因为过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则必有tan 60.(1)由题意2cABBC，AC22csin 602c，由双曲线的定义，有2aACBC2c2ca(1)c，e.(2)解因为双曲线渐近线的斜率为k，直线的斜率为ktan 60，故有，所以e2，所以所求离心率的取值范围是2，)双曲线离心率的求法1求双曲线的离心率就是求a和c的关系，一般可以采用几何观察法和代数关系构造法来寻求a，b，c三者中两者的关系，进而利用c2a2b2进行转化2求双曲线离心率的取值范围，一般可以从以下几个方面考虑：(1)与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成(2)通过判别式0来构造(3)利用点在双曲线内部形成不等关系(4)利用解析式的特征，如ca，或cb.3已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果PF2Q90，求双曲线的离心率解设F1(c,0)，将xc代入双曲线的方程得1，那么y.由PF2QF2，PF2Q90，知PF1F1F2，2c，b22ac，c22aca20，2210，即e22e10.e1或e1(舍去)所以所求双曲线的离心率为1.1渐近线是双曲线特有的性质两方程联系密切，把双曲线的标准方程1(a0，b0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程反之由渐近线方程axby0变为a2x2b2y2(0)，再结合其他条件求得，可得双曲线方程2准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)双曲线虚轴的两个端点，不是双曲线的顶点()(2)等轴双曲线的渐近线是yx.()(3)双曲线的实轴长一定大于虚轴长()答案(1)(2)(3)2已知双曲线1(a0)的离心率为2，则a()A2BCD1D由题意得e2，2a，a234a2，a21，a1.3若双曲线的渐近线方程为y3x，它的一个焦点是(，0)，则双曲线的方程是_x21双曲线的焦点在x轴上，则c，3.又a2b2c2，解得a21，b29，方程为x21.4求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；(2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分解(1)设所求双曲线的标准方程为1