广东省四校2015届高三上学期期末联考数学(理科)试题参考答案及评分标准.pdf

2015 届高三上学期期末四校联考数学 理科 试题参考答案及评分标准 第 1 页 共 8 页 2015 届高三上学期期末华附届高三上学期期末华附届高三上学期期末华附届高三上学期期末华附 省实省实省实省实 广雅广雅广雅广雅 深中四校联考深中四校联考深中四校联考深中四校联考 数学数学数学数学 理理理理科科科科 试题参考答案及评分标准试题参考答案及评分标准试题参考答案及评分标准试题参考答案及评分标准 命题学校命题学校命题学校命题学校 广东广雅中学广东广雅中学广东广雅中学广东广雅中学 说明说明说明说明 1 参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考 如果考生的解法与参考答案不同 可根据试 题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数 2 对解答题中的计算题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后继部分的解答未改变该题的内 容和难度 可视影响的程度决定后继部分的得分 但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数 的一半 如果后继部分的解答有较严重的错误 就不再给分 3 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4 只给整数分数 选择题和填空题不给中间分 一一一一 选择题选择题选择题选择题 本大题共本大题共本大题共本大题共 8 小题小题小题小题 每小题每小题每小题每小题 5 分分分分 满分满分满分满分 40 分分分分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C D B C A D 1 解析解析解析解析 集合 02Axx 11Bx xx 或 则 02 11 12 U ABxxxxxx 故不存在这样的实数x 故 A 错 1a 时 显然这两直线平行 反过来 若这两直线平行 则1a 因此 1a 是这两直线平行的充 分不必要条件 故 B 错 命题 0 x 1 x ex 的否定应该是 0 x 1 x ex 故 C 错 排除 A B C 答案选 D 事实上 1 111 lglg lg 111 xxx fxf x xxx 故 f x在其 定义域 1 1 内是奇函数 5 解析解析解析解析 注意两个执行框的先后顺序 先计算S Sn 再赋值1nn 由 1 1a 21 1aa 32 2aa 20152014 2014aa 2014 1n 进入判断框 判断条件不成立 就输出该数列 的第2015项 因此判断框内的条件是2014 n 故选 B 6 解析解析解析解析 由三视图知 该几何体是由一个圆柱上底面叠加一个圆锥组成的组合体 圆柱的底面半径为3 高为2 3 圆锥的底面半径为3 母线长为2 3 故该组合体的表面积为 2 2Srhrrl 表 2 232 3 3 32 321 故选 C 7 解析解析解析解析 画图知以椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的焦点为顶点 顶点为焦点的的双曲线方程为 22 22 1 xy cb 其渐近线方程是 b yx c 由 4 5 c e a 设5 4 0 ak ck k 则 22 3back 故 3 4 b c 因此渐近线方程是 3 4 yx 故选 A 2015 届高三上学期期末四校联考数学 理科 试题参考答案及评分标准 第 2 页 共 8 页 8 解析解析解析解析 令 2 1 4 0f xxxk 得 2 1 4 kxx 设 2 1 4 g xxx 则 2 22 4 51 1 51 xxx g x xxx 即 2 4 23 1 23 xxx g x xx 或 作出分段函数 g x的图像 和直线yk 由数形结合知 当12k 即21k 时 直线yk 与 g x的图像恰有三个 不同交点 即函数 f x恰有三个零点 故选 D 二二二二 填空题填空题填空题填空题 本大题共本大题共本大题共本大题共 7 小题小题小题小题 考生作答考生作答考生作答考生作答 6 小题小题小题小题 每小题每小题每小题每小题 5 分分分分 满分满分满分满分 30 分分分分 9 15 4 10 1 22 n 11 3 12 2 16 13 3 2 填填填填32k 也对也对也对也对 14 sin2 15 4 7 7 9 解析解析解析解析 6 1 2 x x 的展开式的通项公式为 66 2 166 11 22 rrrrrr r TC xCx x 令622r 得 2r 故展开式中 2 x的系数是 22 6 115 24 C 10 解析解析解析解析 因为 n a是等比数列 所以 1423 32a aaa 又 14 18aa 故 14 a a是方程 2 18320 xx 的两根 注意到 n a是递增数列 得 14 2 16aa 由 3 41 aa q 得2q 从而 1 2 12 22 1 2 n n n S 11 解析解析解析解析 法一法一法一法一 22 22 22 2 1 12cos3 3 i ababa b p ababa b 即 2 3 p 故 3 p 法法法法二二二二 注意到 OAOB ab ab 分别表示与a b同向的单位向量 由a b的夹角为 3 知 AOB 60 以OAOB 为邻边作菱形OACB 边长为 1 由向量加法的几何意义知 OC p3 12 解析解析解析解析 由 直径所对的圆周角为直角 知 使90AMB 的点M落在以AB为直径的半圆上或半 圆内 由几何概型知 所求概率为 11 2 1 1 2 2 162 2 2 ABC D S P A S 半圆 矩形 13 解析解析解析解析 先证抽象函数 xF在R上是减函数 设 12 x x R且 12 xx 故 21 0F xx 从而 22112111 F xF xxxF xxF xF x 故 xF在R上单调递减 因此 不等式组 2 2 2 4 3 FkxxF k F xkxF k 即 2 2 240 1 3 xkxk k xx 对 0 1 x 恒成立 再转化为 2 max 2 min 24 0 3 1 xkxk x k x 记 2 24f xxkxk 2 3 1 x g x x 则 2 1 2 1 44 1 22 422 11 xx g xx xx 当且仅当 4 1 1 x x 即1 0 1 x 时 min 2g x 故2k max 0 040 034 1 030 fk f xk fk 由 同时成立知 实数k的取值范围是 3 2 2015 届高三上学期期末四校联考数学 理科 试题参考答案及评分标准 第 3 页 共 8 页 14 解析解析解析解析 先将点的极坐标2 2 4 化为直角坐标2 2cos 2 2sin 44 即 2 2 再将圆 的极坐标方程化为直角坐标方程 22222 4cos4cos4 2 4xyxxy 作图知 过圆上的点 2 2 的切线方程为2y 将切线方程化为极坐标方程是sin2 15 解析解析解析解析 设CMMNNDx 由切割线定理 得 2 CACM CN 即 2 2 2 2xx 得2x 故36CDx 又ACAD 得 2222 6 2 2 2 7ADCDAC 再由割线定理 得 DB DADN DM 即2 72 4BD 得 4 7 7 BD 三三三三 解答题解答题解答题解答题 本大题共本大题共本大题共本大题共 6 小题小题小题小题 满分满分满分满分 80 分分分分 解答须写出文字说明解答须写出文字说明解答须写出文字说明解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤证明过程和演算步骤证明过程和演算步骤证明过程和演算步骤 16 本小题满分本小题满分本小题满分本小题满分 12 分分分分 解解解解 1 由余弦定理得 22222 2 2cos352 3 5 cos49 3 cababC 故7c 3 分 由正弦定理得 sinsin ac AC 故 323 3 sinsinsin 7314 a AC c 6 分 2 C为钝角 A为锐角 由 1 知 3 3 sin 14 A 则 2 13 cos1 sin 14 AA 7 分 3 31339 3 sin22sincos2 141498 AAA 8 分 22 3 371 cos21 2sin12 1498 AA 9 分 cos 2cos2cossin2 sin 666 AAA 10 分 71339 318 3 98298249 12分 17 本小题满分本小题满分本小题满分本小题满分 12 分分分分 解解解解 1 由频率分布直方图知 0 0750 1 0 1250 15 21x 解得0 05x 2 分 2 根据样本估计总体 这批产品中净重在 96 98 的概率为0 1 令X为抽取的3件产品中净重在 96 98 的件数 则 3 0 1 XB 故至少有2件产品的净重在 96 98 的概率为 2233 33 2 2 3 0 10 90 10 0270 0010 028P XP XP XCC 5 分 3 这40件抽样产品中 不合格产品有40 0 10 15 10 件 合格产品有30件 6 分 的可能取值为0 1 2 3 2 30 2 40 29 0 52 C P C 11 1030 2 40 5 1 13 C C P C 2 10 2 40 3 2 52 C P C 9 分 的分布列为 29531 012 5213522 E 12 分 0 1 2 P 29 52 5 13 3 52 10 分 2015 届高三上学期期末四校联考数学 理科 试题参考答案及评分标准 第 4 页 共 8 页 18 本小题满分本小题满分本小题满分本小题满分 14 分分分分 1 证明证明证明证明 C是以AB为直径的圆上一点 ACBC 1 分 22 BCABAC 22 10 2 5 4 5 2 分 10AB 4CE 2 5AC 40AB CEACBC 3 分 根据等面积知CEAB 4 分 22222 4 2 18CEDECD CEDE 5 分 又ABDEE ABDE 面ABD CE 平面ABD 6 分 2 解法一解法一解法一解法一 直接法直接法直接法直接法 由 1 知 2222 2 5 42AEACCE 7 分 又2ADDE 则 222 ADDEAE ADDE 由 1 知 CE 平面ABD ADCE 又DECEE AD 平面CDE 8 分 AD 平面ACD 平面ACD 平面CDE 交线CD 过E作EGCD 于G 则EG 平面ACD 9 分 设B在平面ACD内的射影为H 则 A G H三点共线且EG BH BCH 为直线BC与平面ACD所成角 10 分 由 21 105 EGAE BHAB 而 424 33 2 CE DE EG CD 得 20 3 BH 12 分 RtBHC 中 20 5 3 sin 34 5 BH BCH BC 即直线BC与平面ACD所成角的正弦值为 5 3 14 分 解法解法解法解法二二二二 等积转化法等积转化法等积转化法等积转化法 由 1 知 2222 2 5 42AEACCE 又2ADDE ADE 是等腰直角三角形 90ADE 7 分 由 22222 2 3 2 20ADCDAC 知 ACD 是直角三角形 90ADC 8 分 设B在平面ACD内的射影为H 则BCH 为直线BC与平面ACD所成角 9 分 由 1 知 CE 平面ABD 由 B ACDC ABD VV 得 11 33 ACDABD SBHSCE 11 分 即 1111 23 2 10 1 4 3232 BH 解得 20 3 BH 12 分 RtBHC 中 20 5 3 sin 34 5 BH BCH BC 即直线BC与平面ACD所成角的正弦值为 5 3 14 分 解法解法解法解法三三三三 坐标向量法坐标向量法坐标向量法坐标向量法 由 1 知 2222 2 5 42AEACCE 又2ADDE ADE 是等腰直角三角形 90ADE 7 分 如图 以AE的中点O为原点 OD为x轴 OB为y轴 建立空间直角坐标系Oxyz 由 1 知 CE 平面ABD 则Oz CE 8 分 则 0 1 0 A 1 0 0 D 0 9 0 B 0 1 4 C 9 分 E C B D A H G 2015 届高三上学期期末四校联考数学 理科 试题参考答案及评分标准 第 5 页 共 8 页 1 1 0 AD 0 2 4 AC 0 8 4 BC 10 分 设平面ACD的法向量为 x y z n 由 0 0 AD AC i i n n 得 0 240 xy yz 即 2 yx yz 取2y 则 2 2 1 n 12 分 设直线BC与平面ACD所成角为 则 205 sin 34 53 BC BC i n n 即直线BC与平面ACD所成角的正弦值为 5 3 14 分 注注注注 解法三中解法三中解法三中解法三中 写写写写对对对对线面角公式线面角公式线面角公式线面角公式 1 分分分分 计算出正确答案计算出正确答案计算出正确答案计算出正确答案 1 分分分分 19 本小题满分本小题满分本小题满分本小题满分 14 分分分分 1 解解解解 由题设 得 211 3232aSa 则 2121 42Saaa 2 18S 1 4218a 得 1 4a 21 3214aa 2 3 33 18 3330 22 S a 故 11 4ba 2 2 7 2 a b 3 3 10 3 a b 3 分 2 解解解解 由 1 3 1 n n S an n 得 1 3 1 nn Snan n 则 1 3 1 1 nn Snann 2 n 4 分 得 1 3 1 2 nnn ananan 即 1 2 2 nn nanan 2 n 5 分 21 32aa 当1n 时上式也成立 故 1 2 2 nn nanan n N 6 分 以下以下以下以下提供提供提供提供 4 种解法种解法种解法种解法 解法一解法一解法一解法一 先猜后证法先猜后证法先猜后证法先猜后证法 由 1 猜想 31 n bn n N 下用数学归纳法证明 7 分 i 当1n 时 1 43 1 1b 猜想成立 ii 假设当nk 1 k 时猜想成立 即31 k bk 则 31 kk akbkk 8 分 由 1 2 2 kk kakak 得 1 2 31 2 k kakkkk 即 2 1 2 31 2374 1 34 k akkkkkk 9 分 则 1 1 343 1 1 1 k k a bkk k 故当1nk 时猜想也成立 由 i ii 知 对一切 n N 都有31 n bn 10 分 解法解法解法解法二二二二 再写一遍再写一遍再写一遍再写一遍 后后后后转化为等差数列转化为等差数列转化为等差数列转化为等差数列 nn anb 11 1 nn anb 代入 得 1 1 2 2 nn n nbnnbn 即 1 1 2 2 nn nbnb 7 分 则 21 2 3 2 nn nbnb 得 121 1 2 2 3 nnnn nbnbnbnb 即 8 分 12 24 2 2 nnn nbnbnb 即 12 2 nnn bbb 9 分 E C B A O D z x y 2015 届高三上学期期末四校联考数学 理科 试题参考答案及评分标准 第 6 页 共 8 页 数列 n b是等差数列 且首项 1 4b 公差 21 743dbb 故4 1 331 n bnn 10 分 解法解法解法解法三三三三 除系变换除系变换除系变换除系变换 后后后后转化为转化为转化为转化为 累加法累加法累加法累加法 由解法二解法二解法二解法二 得 1 1 2 2 nn nbnb 7 分 两边同除以 1 2 nn 得 1 2 21 1 2 nn bb nnnn 即 1 11 2 2112 nn bb nnnn 裂项裂项裂项裂项 下用 累加法 8 分 21 11 2 3223 bb 32 11 2 4334 bb 1 11 2 11 nn bb nnnn 2 n 把上面 1 n 个式子相加 得 1 11 2 1221 n bb nn 2 n 9 分 由 1 4b 得31 n bn 检验知1n 时也成立 故31 n bn n N 10 分 解法解法解法解法四四四四 除系变换除系变换除系变换除系变换 后后后后转化为转化为转化为转化为常数列常数列常数列常数列 由解法解法解法解法三三三三 得 1 11 2 2112 nn bb nnnn 8 分 移项得 1 22 21 nn bb nn 数列 2 1 n b n 是常数列 9 分 则 1 22 3 11 1 n bb n 故31 n bn n N 10 分 3 证明证明证明证明 由 2 知 31 nn anbnn 以下以下以下以下提供提供提供提供 3 种种种种证证证证法法法法 证证证证法法法法一一一一 当1n 时 左边 1 111 42a 不等式成立 当2n 时 113311 31 3 31 32 31 3231 n annnnnnnn 则 12 分 左边 1111111111 44771032312312nnn 综上 原不等式对一切 n N都成立 14 分 证证证证法法法法二二二二 31 2 1