（基础数学专业论文）关于几类半环的研究.pdf

中文摘要 不动点( 固定点) 和前不动点理论在半环代数理论中扮演着十分重要的角 色本文主要研究了与不动点或前不动点密切相关的几类牛半环主要结果如 下： 1 从矩阵的角度对一类特殊的木片半环，即木1 入半环进行了研究证明了 若s 是丰l 一片半环，则对任意的非负整数n ，s 上的i i n 矩阵的全体也是木1 一a 一半环 得到了若s 是木1 知半环，则s 是弱归纳木一半环，也是c o n w a y 半环 2 引入并研究了胪木半环和木半环显然，幸少半环是抄书半环，反之不成 立我们给出了p 一木一半环是宰扩半环的一个充要条件另外，木- 片半环是入- 木一半环， 反之不成立我们给出了知牛半环是木k 半环的一个充要条件 3 研究了奉片半环，幂等元掌a 半环和幂等元木1 * 半环证明了在幂等 元车知半环和幂等元木1 * 半环中，1 = 1 关键词 木1 一知半环，少术一半环，a 一木一半环，幂等元木一片半环，矩阵半环 ab s t r a c t t h et h e o r yo ff i x e dp o i n t sa n dp r e - f i x e dp a n t sp l a yav e r yi m p o r t a n tr o l e i nt h et h e o r yo fs e m i r i n g s i nt h i sp a p e r ，w ew i l ls t u d ys o m ec l a s s e s 宰一s e m i r i n g s r e l a t e dt ot h ef i x e dp o i n t sa n dp r e - f i x e dp o i n t s t h em a i nr e s u l t sa r ea sf o l l o w s ： 1 * i - a s e m i r i n g si ss d u d i e d 。w h i c hi sas p e c i a lc l a s so f 宰a - s e m i r i n g s w e h a v eg o ts o m en e wr e s u l s ，a n dp r o v e dt h a ti fsi s * i - a - s e m i r i n g s ，t h e nf o ra n y n o n - n e g a t i v ei n t e g e rn ，t h es e to fn - o r d e rm a t r i xo v e rs i sa l s oa , l a - s e m i r i n g s i fs i s , l a - s e m i r i n g s ，t h e ns i sn o to n l yaw e a ki n d u c t i v e 丰s e m i r i n g s ，b u ta l s o ac o n w a ys e m i r i n g s 2 w ei n t r o d u c ea n ds t u d y # - * - s e m i r i n g sa n da - * - s e m i r i n g s o b 啊o u s l y , 屯 # - s e m i r i n g si s 胪宰- s e m i r i n g s b u ti td o e sn o th o l do nt h ec o n t r a r y w eg i v eo u t an e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nt h a ta # - * - s e m i r i n g si sa 木# - s e m i r i n g s i ti s e a s yt ok n o wt h a ta 术a - s e m i r i n g si sa - * - s e m i r i n g s b u ti td o e sn o th o l do nt h e c o n t r a r y w eg i v eo u tan e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nt h a taa - * - s e m i r i n g s i sa 聿| a - s e m i r i n g s 3 w es t u d y 木一a - s e m i r i n g s i d e m p o t e n t 木一a - s e m i r i n g sa n di d e m p o t e n t 车l a - s e m i r i n g s p r o v e dt h a ti fas e m i r i n g ss i sa ni d e m p o t e n t 木一a - s e m i r i n g so r i d e m p o t e n t , 1 - a - s e m i r i n g s ，t h e n1 = 1 k e y w o r d s 木1 - a - s e m i r i n g s ，# - * - s e m i r i n g s ，a - * - s e m i r i n g s ，i d e m p o t e n t 宰a - s e m i r i n g s ，m a - t r i xs e m i r i n g s 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 、， 学位论文作者签名： 圣叠垄指导教师签名：垫耋主 2 d 。年彤月o 日砌年西月函日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者签名：毛朽沲 和l 口年o6 其| ob 西北大学硕士学位论文 1 1 引言 第一章绪论 十九世纪末，德国数学家d e d e k i n d 在研究交换环的理想时第一次提出了半 环的概念经过众多数学学者的深入研究，半环代数理论得到了较快的发展它 不仅得益于纯粹数学自身发展的内部推动，更受益于信息科学，理论计算机科 学以及理论物理学等众多学科发展的需要自上个世纪六十年代开始，半环代 数理论在k l e e n e ，e i l e n b e r g ，s m o m a a ，c o n w a y , b l o o m ，e 。s i k ，k u i c h 等著名数学 学者的推动下成为理论计算机科学中重要的基础理论之一迄今为止，有大量 的关于半环理论的专著出版，如文献 1 7 】等 另一方面，不动点( 固定点) 和前不动点理论在半环代数理论中以及在信 息科学和理论计算机科学中扮演着非常重要的角色很多代数学者对不动点 和前不动点进行了深入的研究比如，1 9 5 5 年，t a r s k i 在文献 9 中给出了完备格 上的不动点定理之后，d a v i s 在文献 1 0 中进一步完善了t a i r s k 的不动点定理， 并证明了每一个具备不动点性质的格都是完备格1 9 6 1 年，a b i a n 和b r o w n 在文 献【1 1 】中给出了链完全偏序集( c h a i nc o m p l e t eo r d e r e ds e t ) 上的不动点定 理他们深入的研究在这一领域取得了丰硕的成果目前，有很多关于不动点和 前不动点理论的文章，如文献 8 - 1 6 等 随着理论计算机科学的不断发展，半环上线性映射的不动点受到了人 们的广泛关注1 9 9 2 年，著名学者g o l a n 在文献 1 ，2 】中明确的指出了“半环 理论最重要的应用，主要体现在半环上线性映射的不动点的相关性质一 比如，半环上线性映射的不动点的存在性，唯一性及最小性等2 0 0 4 年， 色s i k 和k u i c h 在c o n w a y 半环的基础上将一些具有不动点性质的方程作为公理 利用这些公理定义了归纳木半环，弱归纳术半环，并在形式幂级数的意义下推广 了k l e e n e 定理2 0 0 7 年，赵宪钟等人在文献【1 5 】中同样利用方程的公理化方法定 义了木抄半环和木a 半环并借助这两类半环解决了色s i k 和k u i c h 在文献 1 3 中提 】 第一章绪论 出的公开问题，即：弱归纳木半环上的形式幂级数半环仍是弱归纳的 随着半环代数理论的不断发展，半环上的矩阵逐渐成为了一个重要的研究 课题1 9 7 1 年，c o n w a y 在文献 6 】中研究i c o n w a y 半环上的矩阵，得出了一个重 要的结论，即：若s 是c o n w a y 半环，则对任意的非负整数n ，s 上的佗x7 t 矩阵的全 体也是c o n w a y 半环2 0 0 4 年，匈牙利学者色s i k 和奥地利学者k u i c h 在文献 1 3 】中 同样研究了半环上的矩阵得出很多重要的结果，并提出了很多公开问题其中 两个重要的结论是：若s 是归纳术一半环，则对任意的非负整数i i ，s 上的n n 矩阵 的全体也是归纳的若s 是归纳术半环，则形式幂级数半环也是归纳的一个公 开问题是：若s 是弱归纳木半环，则对任意的非负整数n ，s 上的nx 扎矩阵的全体 是不是弱归纳的? 这个公开问题目前还没有解决在国内，赵宪钟 1 7 - 2 2 ，谭宜 家 2 8 - 3 4 等人在该领域做了大量的工作 本文基于以上国内外专家的成果，对一些特殊的木半环进行了研究第一章 介绍了关于不动点和前不动点理论的发展历程，以及相关的预备知识，o 第二章 提出并研究了* i - a 半环得出了此类半环的一些性质，并证明了木1 k 半环是弱 归纳木半环，也是c o n w a y 半环；第三章研究了少宰一半环和a 一奉一半环给出了胪木一半 环是半扩半环的一个充要条件，知木一半环是木a 半环的一个充要条件；第四章研 究了幂等元木知半环得出了在幂等元木知半环中，1 。= 1 ；第五章研究了矩阵半 环证明t , i 知半环上的矩阵半环也是宰l 一知半环，木知半环上的下( 上) 三角矩阵 半环也是木片半环 1 2 预备知识 在本文的参考文献【1 4 3 d p ，半环有多种定义 一种定义是： 定义1 2 1 设s 是非空集合半环( s ，+ ，) 是指s _ b 装有两个二元运算加法 和乘法，分别用“+ 一和“刀表示的( 2 ，2 ) 型代数，且满足以下条件： ( 1 ) ( s + ) 和( s ，) 是半群； 2 西北大学硕士学位论文 ( 2 ) 对任意的z ，y ，名s ，( z + y ) z = z z + y z ，z ( z + v ) = z z + z y 通常记为( s ，+ ，) ，且把z 可简写为z 剪 另一种定义是： 定义1 2 2 设s 是非空集合半环( s ，+ ，) 是指s 上装有两个二元运算加法 和乘法，分别用“+ 一和“片表示的( 2 ，2 ) 型代数，且满足以下条件： ( 1 ) ( e + ，o ) 是可换的含幺半群，其中。是恒等元； ( 2 ) ( s ，1 ) 是幺半群，其中1 是恒等元，且1 o ； ( 3 ) 对任意的z ，y ，z s ，( z + y ) 名= z 名+ y z ，z ( z + y ) = 名z + 名可； ( 4 ) 对任意的a s ，a o = o a = 0 通常记为( s ，+ ，0 ，1 ) ，且把z y 简写为z 本文的研究是采取第二种定义的半环 设x 是非空集合，砂是x 上的二元关系 ( 1 ) 若对任意的a x ，均有a c ，则称具有反身性； ( 2 ) 若对任意的a ，b x ，口枷今b e ，则称具有对称性； ( 3 ) 若对任意的a ，b x ，a c b ，劬口号a = b ，则称咖具有反对称性； ( 4 ) 若对任意的a ，b ，c x ，口加，b e e 号a c e ，则称西具有传递性 设x 是非空集合，咖是x 上的二元关系若具有反身性，反对称性和传递性， 则称西是集合x 上的偏序关系 序半环是指半环s 装上偏序关系“一使得s 上的运算单调，即 ( v a ，b ，c ，d s ) n b ，c d 号n c 厶d ，a + c b + d 装有一元运算“木一的半环s 称为木半环；装有一元运算刀的序半环s 称 为序牢一半环 定义1 2 3 1 1 3 归纳木半环是指序木半环s 满足固定点不等式 a a 宰+ 1 a 3 ( 1 1 ) 第一章绪论 和固定点归纳法则 a x + b z 辛a * b z ( 1 2 ) 引理1 2 4 【1 3 】若s 是归纳木一半环，则下列命题成立： a a + 1 = 口；( 1 3 ) a * a + 1 = 口；( 1 4 ) ( 0 6 ) 。= l + 口( 乩) 6 ；( 1 5 ) ( 0 6 ) 。a = 口( 6 0 ) ；( 1 6 ) ( a + 6 ) = ( 口+ 6 ) + a + ( 1 7 ) 弱归纳木- 半环是指序木一半环s 满足固定点等式( 1 3 ) ，和星等式( 1 7 ) 以及弱固 定点归纳法则 a x + b = z 辛a * b z ( 1 8 ) c o n w a y 半环s 是指木- 半环s 满足积星等式( 1 5 ) 与和星等式( 1 7 ) 文献 1 3 d p 作者证明了若s 是归纳术一半环，则s 是弱归纳木半环，也 是c o n w a y 半环 文献 1 5 作者介绍了以下内容： 设s 是序半环对任意的a ，b s ，映射 称为s 上的线性映射 对任意的p s ，若 厶石：zha x + b 厶，6 ) p ， 则称元素p 为线性映射，口，6 的前不动点若 厶，6 ( p ) = p ， 4 ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) ( 1 1 1 ) 西北大学硕士学位论文 则称元素p 为线性映射，口6 的不动点 把线性映射厶 6 的前不动点的集合中最小的元素叫做厶6 的最小前不动点， 线性映射厶，6 的不动点的集合中最小的元素叫做厶，6 的最小不动点 胪半环( a 一半环) 是指序半环s ，它的每个线性映射丘6 有最小前不动点( 最小 不动点) 宰一胪半环( 木一片半环) 是指抄半环( * 半环) s 装上一元运算“宰 使得n 6 是线 性映射 ，6 的最小前不动点( 最小不动点) 5 第二章 1 a 半环 第二章, 1 - a 一半环 本章主要提出并研究了，一c 1 a 半环，它是一类特殊的术知半环给出了此类半 环的一些性质，并证明了若s 是木1 a 半环，则s 是弱归纳木半环，也是c o n w a y 半 环 下来介绍一下本章所用到的几个定义和引理 定义2 1 【1 3 1 设s 是序丰一半环若s 满足固定点等式( 1 3 ) ，和星等式( 1 7 ) 和弱 固定点归纳法则( 1 8 ) a x + b = z 令a * b z ， 则称s 是弱归纳木一半环 定义2 2 f 7 】设s 是木半环若s 满足积星等式( 1 5 ) 与和星等式( 1 7 ) ，则 称s 是c o n w a y 半环 定义2 3 【1 5 】设s 是序木半环若对任意的a ，b s ，a * b 是s _ k 线性映射厶b ： z 卜一a x + 6 的最小不动点，则称s 是木冬半环 引理2 4 1 1 a l 设s 是序木一半环则s 是木入半环当且仅当s 满足固定点等 式( 1 3 ) 和弱固定点归纳法则( 1 8 ) 定义2 5 设s 是序术一半环若对任意的a ，b s ，a * b 是s 上线性映射厶，b ： zha x + 6 的唯一不动点，则称s 是木1 k 半环 以下给出木1 一知半环的一个等价定义： 命题2 6 设s 是序木半环则s 是宰1 a 一半环当且仅当s 满足固定点等 式( 1 3 ) 和 a x + b = z 兮a 。b = z ( 2 1 ) 证明：必要性由车x - a 一半环的定义可知口+ 6 是厶6 的唯一不动点，故可知公 式( 2 1 ) 成立在公式( 2 1 ) 中，令b = l 时，则可知固定点等式( 1 3 ) 成立 6 西北大学硕士学位论文 充分性由固定点等式( 1 3 ) 可知：线性映射厶，b 存在不动点由公式( 2 1 ) 知： a * b 是线性映射厶6 的唯一不动点命题得证 命题2 7 若s 是，i c l a 半环则对任意的a ，b s ，以下命题成立： 证明：公式( 2 2 ) 因为 所以由公式( 2 1 ) 可得： 公式( 2 3 ) 由于 故由公式( 2 1 ) 知： ( 0 6 ) a = a ( b a ) + ； ( a b ) 宰= 1 + a ( b a ) + 6 ； a + a + 1 = a 。： ( a + 6 ) = ( o 6 ) a + ； ( a 2 ) ( 1 + q ) = 矿； ( a + 6 ) 4 = ( a + b a + 6 ) ( 1 + b a ) a b ( a ( b a ) ) + a = a ( b a ( b a ) ) + a = a ( b a ( b a ) 。+ 1 ) = a ( b a ) 。， ( a b ) a = a ( b a ) 宰 a b ( 1 + 口( 6 n ) + b ) + 1 = a ( b + b a ( b a ) + b ) + 1 = a ( 1 + b a ( b a ) + ) 6 + 1 = a ( b a ) + b + 1 ( a b ) + = 1 + a ( b a ) + b 7 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 第二章 1 a 一半环 公式( 2 4 ) 在公式( 2 3 ) 中，令a = l 时，即证 公式( 2 5 ) 因为 所以由公式( 2 1 ) 知： 公式( 2 6 ) 由于 ( a + 6 ) ( ( o 6 ) + a ) 4 - 1 = ( a + 6 ) ( 矿( b a + ) + ) + 1 = ( a a + ) ( 6 口) + + ( b a + ) + ) 4 - 1 = ( a a ) ( 乩4 ) + + ( 6 0 + ) + = ( a a + 4 - 1 ) ( h a + ) = 矿( 6 口) = ( 口) + a + ， 0 + 6 ) = ( 口6 ) + a + 故由公式( 2 1 ) 知：公式( 2 6 ) 成立 公式( 2 7 ) a 2 a + ( a + 1 ) = a ( a a 。4 - 1 ) + 1 = a a 4 - 1 = a + ( a + h a 6 ) + ( 1 + b a + ) = ( 口4 b a + 6 ) + a ( 14 - b a + ) = 矿( 阮+ b a + ) + ( 1 + 6 0 。) = d ( h a 4 ) 。 8 西北大学硕士学位论文 = ( a + 6 ) + 根据命题2 7 ，可得如下推论： 推论2 8 若s 是木1 a 半环，则s 是c o n w a y 半环 推论2 9 若s 是木1 一a 半环，l , j s 是弱归纳宰半环 上文给出了宰l a 一半环的性质和推论下面给出木知半环的等价刻画 定理2 1 0 若s 是序术半环，则以下命题等价： ( 1 ) s 是水a 半环； ( 2 ) s 满足固定点等式( 1 3 ) 和弱固定点归纳规贝j j ( 1 8 ) ； ( 3 ) s 满足积星等式( 1 5 ) 和弱固定点归纳规贝j j ( 1 8 ) 证明：在文献 1 3 】中己证明了( 1 ) 和( 2 ) 是等价的 下面将证明( 2 ) 和( 3 ) 是等价的 ( 2 ) 净( 3 ) 根据弱固定点归纳法贝j j ( 1 8 ) 和固定点等式( 1 3 ) 可得： 和 又由于 a b a ( b a ) + + a = a ( b a ( b a ) + 1 1 = a ( b a ) + ， ( a b ) + a a ( b a ) + a b ( a ( b a ) b + 1 ) + 1 = a ( b a ( b a ) + + 1 ) b + 1 = n ( 6 n ) b + 1 ， 于是根据弱固定点归纳法贝j j ( 1 8 ) 可知： ( n 6 ) 。a ( b a ) 4 b + 1 9 ( 2 8 ) ( 2 9 ) 第二章 1 k 半环 由公式( 2 8 ) 和偏序关系是单调的定义可得： 从而可知： n ( 6 口) + b + 1 口6 ( 口6 ) 。+ 1 = ( a b ) + ( 曲) + = a ( b a ) + b + 1 = 1 + n ( 乩) + b ( 3 ) 兮( 2 ) 在积星等式( 1 5 ) 中，令b = l 时，即可得固定点等式( 1 3 ) 命题得证 1 0 西北大学硕士学位论文 第三章肛术一半环和入一木一半环 本章主要引入并研究了胪车一半环和知木半环给出了弘一半一半环是木一胪半环的 一个充要条件易知，木k 半环是入一卓半环，反之不成立我们得到了知木一半环 是木入半环的一个充要条件 3 1p 一木一半环 定义3 1 1 【1 5 】设s 是序半环若对任意的口，b s ，s 上线性映射厶，b ：z a x + 6 存在最小前不动点，则称s 是抄半环 定义3 1 2 【15 】设s 是序木半环若对任意的a ，b s ，a * b 是s 上线性映射厶，b ： z a x + 6 的最小前不动点，则称s 是木一扩半环 由定义3 1 1 可知：如果s 是胪半环，那么集合 & ，b = zl ( v a ，b ，x s ) ，a x + b z ) 存在最小元进而可知集合 ，1 = 1 ( zi ( v a ，z s ) ，a x + 1 z ) 也存在最小元 定义3 1 3 设s 是木- 半环若s 是胪半环，且集合，1 的最小元是o ，则 称s 是胪宰- 半环 于是由胪木一半环的定义可知：如果s 是胪宰半环，那么集合& ，b 存在最小元 且知集合又，1 存在最小元是o 即：m i ns a ，1 = a 根据上文的叙述，可以得到以下的引理： 引理3 1 4 若s 是胪木一半环，则以下命题成立： ( 1 ) s 满足固定点不等式( 1 1 ) ； ( 2 ) a x + 1 x 号a + so ( 3 1 ) 1 1 第三章妒奉半环和k + 一半环 引理3 1 5 设s 是少术半环如果 & ，1 ，那么对任意的6 s ，u 6 & ，b 命题3 1 6 设s 是妒木一半环，则下列命题成立： ( 1 ) 固定点等式( 1 3 ) ； ( 2 ) s 上的星运算是单调的 证明：( 1 ) 由引理3 1 4 可知：固定点不等式( 1 1 ) 成立再由固定点不等 式( 1 1 ) 和偏序关系是单调的定义可以知道： a ( a a + 1 ) + 1 a a + + 1 于是由公式( 3 1 ) 可知： a + a a + + 1 ( 3 2 ) 进而得固定点等式( 1 3 ) 成立 ( 2 ) 对于任意的口，b s ，当口sb 时，则由偏序关系是单调的定义和固定点 等式( 1 3 ) 可知： o 矿+ 1 b b + l = 6 幸 故根据公式( 3 1 ) 可得： a 6 ( 3 3 ) 下面讨论集合& ，1 和集合，6 之间的关系建立它们之间的映射如下： p ：& ，1 _ & ，b ，让hu 6 。 于是由偏序关系是单调的定义可知：映射p 是保序的进而可知：如果映 射p 是满射，那么口+ b 是集合6 的最小元故可得以下结论： 引理3 1 7 若s 是胪木一半环，则映射p 是保序的 命题3 1 8 设s 是妒木一半环若映射p 是满射，则s 是木- 胪半环 证明：若映射p 是满射，则由引理3 1 7 可知：a * b 是集合 6 的最小元进而 知：o 。6 是线性映射，n b ：。一a x + 6 的最小前不动点 所以由木胪半环的定义知：s 是木一少半环 12 西北大学硕士学位论文 3 2 a 术一半环 下面我们将给出a 车一半环的定义，并利用讨论胪木一半环的方法讨论a 木半环 定义3 2 1 【1 5 】设s 是序半环若对任意的o ，b s ，s 上线性映射f o b ：z a x + 6 存在最小不动点，则称s 是a 半环 定义3 2 2 1 1 5 设s 是序木半环若对任意的a ，b s ，a * b 是s 上线性映射厶6 ： zk - - - a x + 6 的最小不动点，则称s 是木* 半环 由定义3 2 1 可知：如果s 是a 半环，那么集合 死，b = zl ( v a ，b ，z s ) ，a t , + b = z ) 存在最小元进而可知集合 瓦，1 = zi ( v a ，z s ) ，a x + 1 = z ) 也存在最小元 定义3 2 3 设s 是木半环若s 是入一半环，且集合死1 的最小元是a 。，则 称s 是知奉一半环 于是由知木一半环的定义可知：如果s 是片车半环，那么集合死b 存在最小元 进而可知集合死1 的最小元是a 即：m i n 死1 = a + 根据上面的叙述，可以得到以下的引理： 引理3 2 4 若s 是入丰半环，则以下命题成立： ( 1 ) s 满足固定点等式( 1 3 ) ； ( 2 ) a x + 1 = z 号a + z ( 3 4 ) 下面讨论集合死，l 和集合瓦，b 之间的关系建立它们之间的映射如下： 妒：死，1 _ 死，6 ，uh 让6 于是由偏序关系是单调的定义可知：映射妒是保序的进而可知：如果映 射妒是满射，那么o + 6 是集合死6 的最小元故可得以下结论： 1 3 第三章口一气半环和a - * - 半环 引理3 2 5 若s 是片木半环，则映射妒是保序的 命题3 2 6 设s 是知木半环若映射妒是满射，则s 是术片半环 证明：若映射p 是满射，则由引理3 2 5 可知：a * b 是集合t a 6 的最小元进而 知：a * b 是线性映射厶b ：z 一彻+ 6 的最小不动点 所以由* - a 半环的定义知：s 是* - a 半环 命题3 2 7 设s 是a 半环若s 满足： 1 + 1 = 1 ，a a = a ， 则五1 是第一种定义的半环 证明：由半环的第一种定义知：只需证死1 对加法和乘法满足封闭性即可 对任意的u 1 ，i t 2 t a ，1 ， a ( u x + u 2 ) + 1 = a u l + 1 + a u 2 + 1 = u l + u 2 ， a ( u l u 2 ) + 1 = a ( a u l + 1 ) u 2 + 1 = a a u l u 2 + a u 2 + 1 = ( a u l + 1 ) u 2 2 n l u 2 命题3 2 8 设s 是a 半环若s 满足： 1 + 1 = 1 ，a a = a ，a b = b a ， 则瓦- 6 是第一种定义的半环 证明：由半环的第一种定义知：只需证死6 对加法和乘法满足封闭性即可 a ( u l + u 2 ) + b 1 4 西北大学硕士学位论文 = a u l + b + a u 2 + b = u l + u 2 a ( u l u 2 ) + b = a ( a u l + b ) u 2 + b = a a u l u 2 + a b u 2 + b = ( 口u 1 + b ) u 2 = u l u 2 第四章幂等元a 半环 第四章幂等元半入一半环 在文献【1 5 】中，作者介绍并研究了* - a 一半环本章主要研究了幂等元幸一片半 环和幂等元，l = 1 入半环 定义4 1 1 1 5 】设s 是序术一半环若对任意的n ，b s ，矿6 是s 上线性映射厶b ： z 卜一a x + 6 的最小不动点，则称s 是木一，k 半环 引理4 2 【16 】设s 是木一入半环则对任意的口，b s ，以下的命题成立： a a + 1 = n ： a * a + 1 = 口+ ： ( a + 6 ) = 1 + a c b a ) ； ( a b ) + 口= o ( 6 0 ) + ( 4 1 ) ( 4 2 ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) 引理4 3 1 6 设s 是序木半环则s 是木片半环当且仅当s 满足固定点等 式( 4 1 ) 和弱固定点归纳法则( 1 8 ) 因此，若s 是木一片半环，则s 是弱归纳木- 半 环当且仅当s 满足和星等式( 4 3 ) 引理4 4 1 1 6 1 若s 是木知半环，则对任意的口，b s ，以下的命题成立： 0 口； a a + 6 ； n f 0 z 一” i - - - - - 1 定义4 5 设s 是木一k 半环。若s 满足1 + 1 = 1 ，即对任意的a s ，a + a = a ，则 称s 是幂等元木知半环 上文给出了本章用到的几个定义和引理，并且介绍了幂等元，c - a 半环的概 念下面将给出幂等元* - a 半环的几个性质 命题4 6 若s 是幂等元木知半环，则1 = 1 证明：由幂等元木知半环的定义可知：1 + 1 = 1 进一步由弱固定点归纳法 】6 西北大学硕士学位论文 则( 1 8 ) 可知： 又由引理4 3 和固定点等式( 4 1 ) 可知： 于是可得： l + 1 1 1 1 + + l = 1 1 = 1 命题4 7 若s 是幂等元木- k 半环，则对任意的口s ，下列命题成立： ( 1 + a ) a = 口； 1 口； a 。a = a 证明：公式( 4 7 ) 由固定点等式( 4 1 ) 和幂等元木一a - 半环的定义可知： ( 1 + 口) 口+ = a + + a a 。 = a a 。+ 1 + a a = a + 公式( 4 8 ) 根据固定点等式( 4 1 ) 和幂等元木a 半环的定义可得： o + + 1 = a a + l + 1 = a a 4 + 1 = a 1 7 ( 4 5 ) ( 4 6 ) ( 4 7 ) ( 4 8 ) ( 4 9 ) ( 4 1 0 ) 第四章幂等元木a 半环 公式( 4 9 ) 由公式( 4 8 ) 和引理4 4 可知公式( 4 9 ) 成立 公式( 4 1 0 ) 由偏序关系是单调的定义和公式( 4 9 ) 可知： 又由于 a 4 a a 4 ( 4 1 1 ) ( a + 6 ) ( 口+ 6 ) + + 1 = a ( a + 6 ) + b ( a + 6 ) + + 1 = ( a + 6 ) ， 所以由弱固定点归纳法则( 1 8 ) 可知： n ( 6 ( a + 6 ) + + 1 ) ( a + 6 ) + ( 4 1 2 ) 于是在公式( 4 1 2 ) 中，令b = a 时，可得： 矿( a a + 1 ) a 即由固定点等式( 4 1 ) 可知： a + a * a 。 ( 4 1 3 ) 于是可知： a * a 宰= a ( 4 1 4 ) 下面给出幂等元宰1 k 半环的概念，并给出它的一个性质 定义4 8 设s 是宰1 一片半环若s 满足1 1 = 1 ，即对任意的o s ，a + a = a ，则 称s 是幂等元木1 * 半环 命题4 9 若s 是幂等元木1 片半环，则1 宰= 1 证明：由幂等元车1 一知半环的定义知：1 + 1 = 1 ，e p l l + l = 1 所以根据公 式( 2 1 ) - 7 得：1 + = 1 命题得证 18 西北大学硕士学位论文 第五章矩阵半环 下( 上) 三角矩阵半环也是木- 知半环，木1 - a 一半环上的矩阵半环也是木1 一片半环 由本文的参考文献可知：若s 是半环，则( m n n ( s ) ，+ ，0 ，) 也是半环，其 中n ( s ) 是s 上的n 礼矩阵的全体构成的集合，0 是礼x 礼零矩阵，j 是n n 单 位矩阵在本文中，我们把半环( m n n ( s ) ，+ ，o ，j ) 简记为n ( s ) ，并称其为 半环s 上的矩阵半环若s 是序半环，则( n ( s ) ，s ) 也是序半环其中对任意 的a = ( 口) 巧，b = ( b ) i j e m , , n ( s ) a b 是指a i j _ b i j ，i = 1 ，2 ，n ；j = l ，2 ， n a i j ，幻6 s 在文献 1 3 中给出了矩阵半环 厶n ( s ) 上的星运算具体定义如下： 定义5 1 【1 3 】若s 是木一半环，则对任意的a 磊n ( s ) ，a + 定义如下： 当n = 1 时，a = ( 口) ，a s ，a = ( 口。) ； a = ， 其中，n 是( n 一1 ) ( n 一1 ) 矩阵，d 是1 1 矩阵 其中， a = ( i ：) ， q = ( a + ”c ) ； 卢= q 6 矿； 7 = 5 c a ； 6 = ( d + c a 6 ) + 1 9 第五章矩阵半环 定理5 2 【6 】如果s 是c 彻w a y 半环，那么对任意的非负整数n ，s 上的n n 矩阵 的全体n ( s ) 也是c o n w a y $ 环 定理5 3 【1 3 】如果s 是归纳木一半环，那么对任意的非负整数n ，s 上的n n 矩阵 的全体 厶n ( s ) 也是归纳掌一半环 上文中我们给出了半环n ( s ) 上的星运算和本文所用到的两个定理下 定理5 4 设s 是序木一半环如果s 满足固定点归纳法则( 1 2 ) ，那么下列命题 ( 1 ) s 是归纳木- 半环；， ( 2 ) 2 ( s ) 满足固定点不等式； ( 3 ) 对任意的非负整数n ， 磊n ( s ) 满足固定点不等式 证明：由定理5 3 知：( 1 ) 兮( 3 ) ，( 3 ) 号( 2 ) 成立 以下列证明( 2 ) 令( 1 ) a = 是矩阵半环2 ( s ) 中的二阶矩阵则由a + 的定义知： 肛( 。葛z ( a + b d * c ) * b d * i a 豢。( a + b d 矾* c ) * b d ) + ( ：三) 鬻。( a + b d 删* c ) * b d * ) 西北大学硕士学位论文 所以可得： 口( n + b d * c ) + b ( d + c a 4 6 ) c a + ( a + b d c ) ( 5 1 ) 故在公式( 5 1 ) 中，令b = c = d = o 时，可得固定点不等式 a a 。+ l a 忙la l 守， 其中，n 1 是( n 一1 ) ( n 一1 ) 矩阵，a 3 是1 1 矩阵 扛k 。：沙 。口+ + ，= ( 三：三) ( 。；三! 口；a 。；) + ( 00 1 ) 2 1 第五章矩阵半环 口l o ：- 4 - 1 1 a 2 a l + n 3 口；0 2 0 ： o 0 3 0 ；- 4 - 1 = a 其中，是n 阶单位矩阵，j r l 是( n 一1 ) x ( 佗一1 ) 矩阵 下来利用归纳法证明弱固定点归纳法则在s n 加中成立 对任意的 口= la l 三) 酽，l ，6 = ( 兰) ，g = ( 三：) s n m 其中，a l 是( n 一1 ) ( 佗一1 ) 矩阵，a 3 是1 l 矩阵，b l ，e 1 是( n 一1 ) m 矩阵若 则可得： 由归纳假设知： 于是可得： a e + b = 。 a 1 6 1 + b l = 6 1 ， a 2 6 1 + a 3 6 2 + 5 2 = 6 2 o ；6 1 6 1 ， 口；( n 2 1 + b 2 ) 2 口；( n 2 0 i 6 1 + b 2 ) 6 2 2 ) 3 ) ( 5 4 ) 、liij， 0 畦 狙、夕 ， i i 执o 畦 酊 啦 0 。 啦 + 西 眈 q 畦 p 西北大学硕士学位论文 又因为 a + b 所以由公式( 5 2 ) 和公式( 5 4 ) 可知： ( 5 5 ) 定理5 6 若s 是木片半环，则对任意的非负整数n ，s 上的佗xn 上三角矩阵的 构成的集合 氟n ( s ) 也是木1 一k 半环 以由c o 肿唧半环的定义和定理5 2 ，固定点等式在n ( s ) 中成立接下来只需 ( 讹m n n ( 印，v b ，m k x m ( s ) ) ，n s - t - b = 兮a * b = ， 在矩阵半环n ( s ) 中成立即可 = a l ：a 2 a 4 ) e , m n x n ( s ) , b = ( 芝) ，= ( 三：) 几k m c s ， 、lli， h幻) 厂、 2 、夕 畦 。 畦h 什 ；西抄 。 口 1 2 2 0 口 0 3 3 o o ，、，i-ii 第五章矩阵半环 其中，a l 是( n 一1 ) x ( 佗一1 ) 矩阵，口4 是1 l 矩阵，b l ，e 1 是( n 一1 ) m 矩阵 若a c + b = ，则 由归纳假设知： 进而可知： a l e l + a 2 e 2 + b l = e 1 ， a 3 e 1 + a 4 e 2 + b 2 。e 2 n ：( n 2 2 + b 1 ) = 1 a 3 a i a 2 $ 2 + a s a l b l 。a 3 c 1 即由公式( 7 ) ，公式( 8 ) 和公式( 2 1 ) 知： 同理可得： 由星运算的定义知： 于是可得： a = ( 口4 + n 3 n ：n 2 ) 2 + ( a 3 a ：b l + b 2 ) = e 2 ( a l + a 2 a ：a 3 ) ( a 2 a * 4 b 2 + b 1 ) = 1 ( 口1 + a 2 a * t a 3 ) ( a 4 + a 3 a ：a 2 ) a 3 a ： 于是由公式( 5 9 ) ，公式( 5 1 0 ) 和上式可知：a * b = s 定理得证 ( 5 6 ) ( 5 7 ) ( 5 8 ) ( 5 9 ) ( 5 1 0 ) 、llij， 4 0 2 口、v 净 眈 3 l 口 0 4 3 口 0 d + 卜 4 一 口 l，、 口 、lii， 以 如 ，、 、liij， 2 口、v 净 眈 3 1 0 口 4 3 0 0 眈 + + 姒 口 0 3 、i ， 2 啪m 0 n o n + 船 吼 + ，l 4 0 ，、 = l 口 0 、llij， 如 功 n v 掣 吃 叱 n 一1 v ， 口 畦 + 似 ( h + 畦 饥 粥 + + ，、 i | 西北大学硕士学位论文 总结与展望 本文是在认真的读了参考文献f 1 4 3 等文章的基础上，对文献 1 5 d o 提出 的胪半环，a 半环，木a 半环等作进一步的研究与探讨它们是归纳木一半环和弱 归纳木一半环的一种推广 本文有些结论是建立在某种假设的基础之上，比如，在命题3 1 8 中建立的 映射p 和命题3 2 6 中建立的映射妒，如果不限制p 和妒是满射，即能证明它们是满 射，那么这些结果将是两个很好的结论，或者我们能举出一个例子使得它们不 是满射在第五章中，定理5 5 和定理5 6 分别讨论了下三角矩阵和上三角矩阵的 情形如果我们能把该结论能推广到一般的矩阵，这将是一个很好