第二章习题解答.pdf

2 1 设随机过程 t 可表示成 2cos 2 tt 式中 是一个离散随变量 且 21 0 P 21 2 P 试求 1 E及 R1 0 解 1 22cos 2 2 1 02cos 2 2 1 1 E 2 22cos 2 2cos 2 1 02cos 2 0cos 2 2 1 1 0 1 0 ER 2 2 设是一随机过程 若和是彼此独立且具有均值 为 0 方差为的正态随机变量 试求 twXtwXtZ 0201 sincos 2 1 X 2 X 1 tZE 2 tZE 2 的一维分布密度函数 tZ zf 3 和 21 ttB 21 ttR 解 1 0 sin cos sincos 20100201 XtEwXtEwtwXtwXEtZE 因为 和是彼此独立的正态随机变量 和是彼此互不相关 所以 1 X 1X 2 X 0 1 X 2 X 2 XE sin cos sincos 2 20 22 10 2 0 22 20 22 1 2 XtEwXtEwtwXtwXEtZE 0 1 XE 2 1 22 11 XEXEXD 22 1 XE 又 同理 22 2 XE 代入可得 22 tZE 2 由 又因为是高斯分布 0 tZE 22 tZE tZ 可得 2 tZD 2 exp 2 1 2 2 z tzf 3 21212121 ttRtZEtZEttRttB E sincos sincos 202201102101 twXtwXtwXtwX E sin sin cos cos 2010 2 22010 2 1 twtwXtwtwX 令 0 2 210 2 cos coswttw 21 tt 2 3 求乘积的自相关函数 已知与Y是统计独立的平稳随机 过程 且它们的自相关函数分别为 tYtXtZ tX t x R y R 解 因与是统计独立 故 tX tY YEXEXYE tYtXtYtXEtZtZERZ YX RRtYtYEtXtXE 2 4 若随机过程 cos 0 twtmtZ 其中是宽平稳随机过程 且自相关函 数 tm m R为 0 1 1 m R 其它 10 01 是服从均匀分布的随机变量 它与彼此统计独立 tm 1 证明是宽平稳的 tZ 2 绘出自相关函数 Z R的波形 3 求功率谱密度及功率 wPZS 解 1 是宽平稳的 tZ tZE为常数 2121 ttRttR ZZ cos cos 00 twEtmEtwtmEtZE 0 cos 2 1 2 0 0 tZEdtw cos cos 2021012121 twtmtwtmEtZtZEttRZ cos cos 201021 twtwEtmtmE 21 tmtmE 12 ttRm 只与 12 tt有关 令 12 tt cos cos 1010 twtwE sin sin cos cos cos 01001010 wtwwtwtwE sin cos sin coscos 1010010 2 0 twtwEwtwEw 0 2cos1 2 1 cos 100 twEw cos 2 1 0 w 所以 21 ttRZ cos 2 1 0 w m R 只与 有关 证毕 2 波形略 3 Z R cos 2 1 0 w m R bb b TT T R 1 0 2 功率谱密度 2 bb fTSaTwP 解 1 ttER 当 b T 时 t 与 t无关 故0 R 当 b T 时 因脉冲幅度取1 的概率相等 所以在 2T内 该波形取 1 1 1 1 1 1 1 1 的概率均为 b 41 A 波形取 1 1 11 时 1 1 b T 在图示的一个间隔T内 b ttER 411 4 1 B 波形取 1 1 1 1 时 1 b T 1 在图示的一个间隔T内 b ttER 4 1 bb b TT T 当 b T 时 ttER 2 4 1 2 4 1 bb b TT T b T 1 故 bb b TT T R 1 0 2 A 4 2 2 w Sa A 2 2 其中 2 A 为时域波形的面积 所以 2 2b b wT SaTwPR 2 11 图示为单个输入 两个输出的线形过滤器 若输入过程 t 是平稳的 求 1 t 与 2 t 的互功率谱密度的表示式 提示 互功率谱密度与互相关函数为付利叶变换对 解 dhtt 0 11 dhtt 0 22 12111112 ttEttR E dht 0 11 dht 0 21 ddRhh 0 0 21 所以 deRhhdddeRwP jwjw 00 211212 令 12 wP 00 deRdehdeh jwjwjw 21 wPwHwH 2 12 若 t 是平稳随机过程 自相关函数为 R 试求它通过图示系统后的自相关 函数及功率谱密度 解 jwT ewHTttth 1 2 1 cos22 wTwH cos1 2 2 wPwTwPwHwPO 2 cos2 2 wPeewPwPwTwPwP jwTjwT O 2TRTRR 2 13 若通过题 2 8 的低通滤波器的随机过程是均值为 0 功率谱密度为2 0 n的高斯白噪声 试求输出过程的一维概率密度函数 解 0 tnE o exp 4 1 1 2 0 2 0 RCRC n R wRC n wP OO Rc n 4 02 又因为输出过程为高斯过程 所以其一维概率密度函数为 2 exp 2 1 2 2 x xf 2 14 一噪声的功率密度函数如图 试求其自相关函数为 cos 2