第二整式运算与乘法公式.doc

第二讲 整式运算与乘法公式 主要内容：整式运算法则、整式四则运算、乘法公式、因式分解、代数式求值【学习内容】1、 复习单项式、多项式的系数与次数，强化合并同类项、去添括号法则；2、 了解同底数幂的乘法、除法，了解积的乘方，幂的乘方，零指数幂的运算法则；3、 熟悉整式的四则运算，了解完全平方公式、平方差公式；4、 把多项式变化成几个因式乘积的形式的恒等变形，熟悉因式分解的方法；5、 根据题意求解代数式的值。第一部分【知识导读】一、代数式与有理式1、用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。 2、整式和分式统称为有理式。3、含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。 二、整式和分式 1、没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。 2、有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。 三、单项式与多项式 1、没有加减运算的整式叫做单项式。（数字与字母的积-包括单独的一个数或字母） 2、几个单项式的和，叫做多项式。其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。说明：根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时，是从外形来看。单项式1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。4、单独一个数或一个字母也是单项式。5、只含有字母因式的单项式的系数是1或1。6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。7、单独的一个非零常数的次数是0。8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。9、单项式的系数包括它前面的符号。10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。11、单项式的系数是1或1时，通常省略数字“1”。12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。多项式1、几个单项式的和叫做多项式。2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。3、多项式中不含字母的项叫做常数项。4、一个多项式有几项，就叫做几项式。5、多项式的每一项都包括项前面的符号。6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。7、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。整式1、单项式和多项式统称为整式。2、单项式或多项式都是整式。3、整式不一定是单项式。4、整式不一定是多项式。5、分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。四、整式的加减1、整式加减的理论根据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配率。去括号法则：如果括号前是“十”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变符号；如果括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉，括号里各项都改变符号。2、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。合并同类项：1）.合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。2）.合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。3）.合并同类项步骤： a准确的找出同类项。b逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。c写出合并后的结果。4）.在掌握合并同类项时注意：a.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0.b.不要漏掉不能合并的项。c.只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。说明：合并同类项的关键是正确判断同类项。3、几个整式相加减的一般步骤：1）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。2）按去括号法则去括号。3）合并同类项。4、代数式求值的一般步骤：（1）代数式化简（2）代入计算（3）对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算。【典型例题】例1、若多项式与多项式的和不含二次项，则m等于（ ）A：2 B：2 C：4 D：4例2、已知、满足：(1) ，(2)与是同类项。求代数式：例3. (1)如下图：设ABCD为正方形，其边长为.试利用代数式表示图中阴影部分的面积.ABCD （2）如上图：将面积为的小正方形，与面积为的大正方形放在一起，用表示三角形ABC的面积例4 规定“*”表示一种运算，且 ，则的值是_. 例5若多项式的值与x无关，求的值.例6x=-2时，代数式的值为8，求当x=2时，代数式的值。例7 已知，求的值.【强化练习】一、填空题1单项式的系数是 ，次数是 2多项式24是 次 项式，它的项数为 ，次数是 3化简32（3）的结果是 4已知单项式3与的和是单项式，那么，5三个连续偶数中，是最小的一个，这三个数的和为6为整数，不能被3整除的数表示为 .7一个三位数，十位数字为，个位数字比十位数字少3，百位数字是个位数字的3倍，则这个三位数字表示为 .二、选择题8下列说法正确的是（）与是同类项和是同类项0.5和7是同类项 5与4是同类项9下面计算正确的事（ ）3=3 32=5 3=3 0.25=010下面各题去括号错误的是（ ）（6）=6 2（）=2（463）=233 （）（）=11两个四次多项式的和的次数是（ ）八次 四次 不低于四次 不高于四次12下列说法正确的是（）平方是它本身的数是0立方等于本身的数是1绝对值是本身的数是正数 倒数是本身的数是113如果=，那么3（）的值时（ ） 三、解答题14.求值.（）462（42）1，其中=.（）243，其中=1，=.15若a与b互为相反数，c与d互为负倒数，m的绝对值是2，求ab(m2cd)2(m2cd)m5am5b的值16、当代数式的值为7时,求代数式的值.17如果am3|b与ab|4n是同类项，且m与n互为负倒数，求nmn3(mn)(m)11的值第二部分【知识导读】一、同底数幂的乘法1、n个相同因式（或因数）a相乘，记作an，读作a的n次方（幂），其中a为底数，n为指数，an的结果叫做幂。2、底数相同的幂叫做同底数幂。3、同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即：aman=am+n。4、此法则也可以逆用，即：am+n = aman。5、开始底数不相同的幂的乘法，如果可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂再运用法则。二、幂的乘方1、幂的乘方是指几个相同的幂相乘。（am）n表示n个am相乘。2、幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。（am）n =amn。3、此法则也可以逆用，即：amn =（am）n=（an）m。三、积的乘方1、积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。2、积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，然后把所得的幂相乘。即（ab）n=anbn。3、此法则也可以逆用，即：anbn =（ab）n。四、同底数幂的除法1、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：aman=am-n（a0）。2、此法则也可以逆用，即：am-n = aman（a0）。五、零指数幂1、零指数幂的意义：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即：a0=1（a0）。六、负指数幂1、任何不等于零的数的p次幂，等于这个数的p次幂的倒数。 注：在同底数幂的除法、零指数幂、负指数幂中底数不为0。七、整式的乘法（一）单项式与单项式相乘1、单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。2、系数相乘时，注意符号。3、相同字母的幂相乘时，底数不变，指数相加。4、对于只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数一起写在积里，作为积的因式。5、单项式乘以单项式的结果仍是单项式。6、单项式的乘法法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用。（二）单项式与多项式相乘1、单项式与多项式乘法法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加。即：m(a+b+c)=ma+mb+mc。2、运算时注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。3、积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。4、混合运算中，注意运算顺序，结果有同类项时要合并同类项，从而得到最简结果。（三）多项式与多项式相乘1、多项式与多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。2、多项式与多项式相乘，必须做到不重不漏。相乘时，要按一定的顺序进行，即一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项。在未合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积。3、多项式的每一项都包含它前面的符号，确定积中每一项的符号时应用“同号得正，异号得负”。4、运算结果中有同类项的要合并同类项。5、对于含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘时，可以运用下面的公式简化运算：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab。八、平方差公式1、（a+b）(a-b)=a2-b2，即：两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。2、平方差公式中的a、b可以是单项式，也可以是多项式。3、平方差公式可以逆用，即：a2-b2=（a+b）(a-b)。4、平方差公式还能简化两数之积的运算，解这类题，首先看两个数能否转化成（a+b）(a-b)的形式，然后看a2与b2是否容易计算。九、完全平方公式1、(ab)=a2ab+b即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。2、公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式。十、整式的除法（一）单项式除以单项式的法则1、单项式除以单项式的法则：一般地，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。2、根据法则可知，单项式相除与单项式相乘计算方法类似，也是分成系数、相同字母与不相同字母三部分分别进行考虑。（二）多项式除以单项式的法则1、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。2、多项式除以单项式，注意多项式各项都包括前面的符号。【典型例题】例 12例2（1）5y（4xy2）_；（2）（x2y）3（3xy2z）_。例3（1）（2a2b）（ab2a2ba2）_；（2）_。例4（1） （2）（x2xyy2）（xy）（3）（2x3y2）2（1.5x2y3）2 （4）例5先化简，再求值（1）其中m1，n2；（2）（3a1）（2a3）（4a5）（a4），其中a2.例6计算题：1、（yx）（xy）_； 2、（xy）（yx）_；3、（xy）（xy）_； 4、（yx）（xy）_；例7在括号中填上适当的整式：（1）（mn）（ ）n2m2； （2）（13x）（ ）19x2例8（1）（3m2n）2_； （2）_；例9（1）（ ）m28m16； （2）多项式x28xk是一个完全平方式，则k_例10、计算题1（x1）（x21）（x1）（x41）2（2a3b）（4a5b）（2a3b）（4a5b）3（y3）22（y2）（y2） 4（x2y）22（x2y）（x2y）（x2y）2例11、计算题1 2 34 562m（7n3m3）228m7n321m5n3（7m5n3）【强化练习】一、填空题1空气的体积质量是0.001239克/厘米3，用科学记数法表示_克/厘米3.2用小数表示：3计算：4.5计算：6计算：7已知，则 8观察下式： 请你根据上式的规律写出二、选择题9下列计算正确的是 （ ）A B C D10计算的结果是 （ ）A B C D11下列各式中，不能直接用乘法公式计算的是 （ ）A BC D12已知，则的结果是 （ ）A B C D13化简的结果是 （ ）A B C D14在 中，其中正确的式子有 （ ）A1个 B2个 C3个 D4个15计算的结果是 （ ）A B C D016已知是完全平方式，则m的值是 （ ）A1 B-1 C0 D1三、 计算17 1819 2021 2223、计算：（1） （2） （3） （4） （5） （6）（7）四、利用乘法公式计算2499.8100.2 25 五、解答题 26当x为何值时，代数式的值比代数式的值小.六、解方程 27七、先化简，再求值28其中八、解答题29已知将乘开的结果不含和项.（1）求m、n的值；（2）当m、n取第（1）小题的值时，求的值.第三部分【知识导读】因式分解：把一个多项式化成几个整式积的形式,也叫做把这个多项式分解因式.因式分解方法:1、 提公因式法. 关键:找出公因式公因式三部分：系数(数字)一各项系数最大公约数；字母-各项含有的相同字母；指数-相同字母的最低次数；步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式需注意，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项注意：提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“”号，使括号内的第一项的系数是正的2、公式法.a2-b2=(a+b)(a-b)两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积a、b可以是数也可是式子a22ab+b2=(ab)2 完全平方两个数平方和加上或减去这两个数的积的2倍,等于这两个数的和或差的平方.x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2) 立方差公式3、十字相乘(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 因式分解三要素：（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式 （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止弄清因式分解与整式乘法的内在的关系:互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差添括号法则：如括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如括号前是负号各项都得改符号。用去括号法则验证【典型例题】例1 用提公因式法将下列各式因式分解.1x4x3y212ab6b 35x2y10xy215xy43x（mn）2（mn）5y（xy）2（yx）3 6、2ax3am10bx15bm例2在括号中填入适当的式子，使等式成立：（1）x26x（ ）（ ）2；（2）x2（ ）4y2（ ）2；（3）a25a（ ）（ ）2；（4）4m212mn（ ）（ ）2（5）（m2n2）24m2n2 （6）x22x1y2例3、把下列各式因式分解1a216a642x24y24xy3（ab）22（ab）（ab）（ab）244x34x2x 例4将下列各式因式分解：（1）x25x6_； （2）x25x6_；（3）x25x6_； （4）x25x6_；（5）x22x8_； （6）x214xy32y2_【强化练习】把下列各式分解因式.(1)am+an；(2)(xy+ay-by)； (3)(2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b)；(4)3x(a-b)-2y(b-a)；(5)4p(1-q)3+2(q-1)2；(6)ab2(x-y)m+a2b(x-y)m+1.把下列各式分解因式.(1)(x2+4)2-2(x2+4)+1；(2)(x+y)2-4(x+y-1).把下列各式分解因式.(1)x2+7x+10； (2)x2-2x-8； (3)y2-7y+10；(4)x2+7x-18.把下列各式分解因式.(1)m2-7m+12；(2)x2y2-3xy-10； (3)(m-n)2-(m-n)-12；(4)x2-xy-2y2.分解因式.(1)x3-2x2+x；(2)(a+b)2-4a2；(3)x4-81x2y2； (4)x2(x-y)+y2(y-x)；(5)(a+b+c)2-(a-b-c)2.利用分组分解法把下列各式分解因式.(1)a2-b2+a-b；(2)a2+b2-2ab-1； (3)(ax+by)2+(ay-bx)2；(4)a2-2ab+b2-c2-2c-1. 利用因式分解计算下列各题.(1)234265-23465； (2)992+198+1. 利用因式分解计算下列各题.(1)7.6199.9+4.3199.9-1.9199.9； (2)20022-40062002+20032；(3)565211-435211； (4)(5)2-(2)2.自我评价 知识巩固1.若x2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m的值等