高二数学寒假作业三(立体几何与空间向量)(含答案).pdf

高二数学寒假作业 三 第 1 页 共 9 页 深圳实验学校高中部高二 数学作业 三 20150208 立体几何立体几何与与空间向量空间向量 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 有且 只有一项是符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A B C B D D A 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 9 6 2 3 10 321 SSS 11 3 4 12 1 0 0 13 1 6 14 4 1 三 解答题 本大题 6 小题 满分 80 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 15 本小题满分 12 分 如图 在五棱锥 P ABCDE 中 PA 平面 ABCDE AB CD AC ED AE BC ABC 45 AB 22 BC 2AE 4 三角形 PAB 是等腰三角形 1 求证 平面 PCD 平面 PAC 2 求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小 解析 1 证明 因为 ABC 45 AB 22 BC 4 所以在ABC 中 由余弦定理得 222 AC 2 2 4 2 2 24cos45 8 解得AC 2 2 所以 222 AB AC 8 8 16 BC 即ABAC 又 PA 平面 ABCDE 所以 PA AB 又 PAACA 所以ABAC 平面P 又 AB CD 所以ACCD 平面P 又因为 CDCD 平面P 所以平面 PCD 平面 PAC 2 由 知平面 PCD 平面 PAC 所以在平面 PAC 内 过点 A 作AHC P于 H 则 AHCD 平面P 又 AB CD AB 平面CDP内 所以 AB 平行于平面CDP 所以点 A 到平面CDP的距离等于点 B 到平面CDP的距离 过点 B 作 BO 平面CDP于点 O 则 PBO 为所求角 且AH BO 又容易求得AH 2 所以 1 sinPBO 2 即PBO 30 所以直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小为30 A B C D P E 高二数学寒假作业 三 第 2 页 共 9 页 z y x R A D B C P 16 本小题满分 12 分 如图 已知等腰直角三角形RBC 其中 RBC 90 2 BCRB 点 A D 分别 是RB RC的中点 现将 RAD沿着边AD折起到 PAD位置 使PA AB 连结PB PC 1 求证 BC PB 2 求二面角PCDA 的平面角的余弦值 1 证明证明 点 A D 分别是RB RC的中点 BCADBCAD 2 1 RBCRADPAD 90 ADPA BCPA AABPAABBC BC 平面PAB PB平面PAB PBBC 2 解解 建立如图所示的空间直角坐标系xyzA 则D 1 0 0 C 2 1 0 P 0 0 1 DC 1 1 0 DP 1 0 1 设平面PCD的法向量为n x y z 则 0 0 zxDPn yxDCn 令1 x 得1 1 zy n 1 1 1 显然 PA是平面ACD的一个法向量 PA 0 01 cos 3 3 13 1 PAn PAn 二面角PCDA 的平面角的余弦值是 3 3 A C D B P R 高二数学寒假作业 三 第 3 页 共 9 页 17 本小题满分 14 分 已知某几何体的直观图和三视图如下图所示 其正视图为矩形 侧视图为等腰直角三角 形 俯视图为直角梯形 1 求证 NBCBC 11 平面 2 求证 BN 11 C B N 平面 3 设M为AB中点 在BC边上找一点P 使MP 平面 1 CNB 并求 PC BP 的值 解 1 证明 该几何体的正视图为矩 形 侧视图为等腰直角三角形 俯视图为直角梯形 1 BBBCBA两两互相垂直 以 1 BBBCBA分 别 为zyx 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 则 0 8 0 0 4 4 1 BN 4 0 0 4 8 0 1 CC 0 0 0 B 2 分 4 0 0 BC 4 0 0 11 CB 11C BBC 11 CBBC NBCCB 1111 平面 NBCBC 11 平面 NBCBC 11 平面 4 分 2 01616 0 4 4 0 4 4 1 NBBN 0 4 0 0 0 4 4 11 CBBN 8 8 4 主视图 侧视图 俯视图 4 4 C B A C1 B1 N 高二数学寒假作业 三 第 4 页 共 9 页 111 CBBNNBBN 又 1111 BCBNB BN 11 C B N 平面 8 分 3 设 0 0 aP为BC上一点 M为AB的中 点 0 0 2 M 0 2 aMP 4 4 4 NC 设平面的一个法向量为 1 yxn 则有 1 NBnNCn 则有 0 0 1 NBnNCn 0 0 4 4 1 0 4 4 4 1 yxyx 得2 1 yx 2 1 1 n 10 分 MP 平面 1 CNB MPn 于是022 2 1 1 0 2 aanMP 解得 1 a 12 分 MP 平面 1 CNB MP 平面 1 CNB 此时1 aPB 3 1 PC BP 14 分 18 本小题满分 14 分 如图 平行四边形ABCD中 ABBD 2AB 2BD 沿BD将BCD 折 起 使二面角ABD C 是大小为锐角 的二面角 设C在平面ABD上的射影为O 1 当 为何值时 三棱锥OADC 的体积最大 最大值为多少 2 当ADBC 时 求 的大小 解 1 由题知OD为CD在平面ABD上的射影 BDCD CO 平面ABD BDOD ODC 2 分 11 1 33 2 C AODAOD VSOCOD BD OC C B A C1 B1 N M P A B D C O A B C D 高二数学寒假作业 三 第 5 页 共 9 页 22 sincos 66 OD OCCDCD 4 分 2 sin2 3 2 3 5 分 当且仅当sin21 即45 时取等号 当45 时 三棱锥OACD 的体积最大 最大值为 2 3 6 分 2 法一 连接OB 7 分 CO 平面ABD ADBC AD 平面BOC ADOB 9 分 90OBDADB 故OBDDAB Rt ABDRt BDO 11 分 ODBD BDAB 22 2 1 2 BD OD AB 12 分 在Rt COD 中 1 cos 2 OD CD 得60 13 分 法二 过O作OEAB 于E 则OEBD为矩形 以O为原点 OE OD OC所在直线分别为x轴 y轴 z轴 建立如图所示的空间直角坐标系 则 0 2cos2 2 0 cos2 0 0 0 0 ADO sin2 0 0 0 cos2 2 CB 9 分 于是 0 2 2 AD sin2 cos2 2 BC 10 分 由ADBC 得0 BCAD 0sin20 cos2 2 2 2 12 分 得 2 1 cos 又 为锐角 60 13 分 A B D C O x y z E A B D C O 高二数学寒假作业 三 第 6 页 共 9 页 19 本小题满分 14 分 如图所示的几何体中 四边形ABCD为平行四边形 90ABD EB 平面ABCD EFAB 2AB 3EB 1EF 13BC 且M是BD的中点 1 求证 EM平面ADF 2 求二面角DAFB 的大小 3 在线段EB上是否存在一点P 使得CP与AF所成的角为30 若存在 求出BP的 长度 若不存在 请说明理由 3 3 2 0 0 0 3 0 1 3 0 0 2 CEFM 3 0 3 3 2 0 2 EM AD 0 1 3 AF 2 分 设平面ADF的一个法向量是 x y zn 由 0 0 AD AF n n 得 32 3 x y 0 y z 0 令y 3 则 2 3 3 n 3 分 z C A F E B M D x y A B C D M E F 高二数学寒假作业 三 第 7 页 共 9 页 又因为 3 0 3 2 3 3 3 0 3 0 2 EM n 所以EMn 又EM 平面ADF 所以 EM平面ADF 4 分 20 本小题满分 14 分 如图 AB为圆O的直径 点E F在圆O上 EFAB 矩形ABCD和圆O所在 的平面互相垂直 已知2 AB 1 EF 1 求证 平面 DAF平面CBF 2 求直线AB与平面CBF所成角的大小 3 当AD的长为何值时 二面角BFED 的大小为 60 解 1 证明 平面 ABCD平面ABEF ABCB 平面 ABCD平面ABEF AB CB平面ABEF AF 平面ABEF CBAF 又AB 为圆O的直径 BFAF AF平面CBF F A B C D O H M E 高二数学寒假作业 三 第 8 页 共 9 页 AF 平面ADF 平面 DAF平面CBF 4 分 2 根据 1 的证明 有 AF平面CBF FB为AB在 平面CBF上的射影 因此 ABF 为直线AB与平面CBF所成的角 5 分 EFAB 四边形ABEF为等腰梯形 过点F作ABFH 交AB于H 2 AB 1 EF 则 2 1 2 EFAB AH 在AFBRt 中 根据射影定理ABAHAF 2 得1 AF 7 分 2 1 sin AB AF ABF 30 ABF 直线AB与平面CBF所成角的大小为 30 8 分 3 解法一 过点A作EFAM 交EF的延长线于点M 连DM 根据 的证明 DA平面ABEF 则EFDM DMA 为二面角BFED 的平面角 60 DMA 9 分 在AFHRt 中 2 1 AH 1 AF 2 3 FH 10 分 又 四边形AMFH为矩形 2 3 FHMA 2 3 3 2 3 tan DMAMAAD 因此 当AD的长为 2 3 时 二面角BFED 的大小为 60 12 分 解法二 设EF中点为G 以O为坐标原点 OA OG AD方向 分别为x轴 y轴 z轴方向建立空间直角坐标系 如图 设tAD 0 t 则点D的坐标为 0 1 t 在AFHRt 中 2 1 AH 1 AF 2 3 FH F A B C D E O H M z x y 高二数学寒假作业 三 第 9 页 共 9 页 点F的坐标为 0 2 3 2 1 点E的坐标为 0 2 3 2 1 2 3 2 1 tDF 2 3 2 3 tDE 设平面DE