解析几何的诞生.ppt

第6章数学的转折点 解析几何的诞生 欧几里得与他的 几何原本 阿波罗尼奥斯与 圆锥曲线 从常量数学到变量数学 初等数学 研究对象为 以静止观点研究问题 常量 高等数学 研究对象为 运动和辩证法进入了数学 变量 阿波罗尼奥斯 特点 静态几何没有把圆锥曲线看成运动轨迹 更没有给它以一般的方法表示 阿波罗尼奥斯的圆锥曲线论 圆 椭圆 抛物线 双曲线 直角圆锥截线 锐角圆锥截线 钝角圆锥截线 抛物线 椭圆 等轴双曲线 希腊学者梅内赫莫斯 阿波罗尼奥斯之前 变量数学的早期形式 1 阿喀琉斯问题阿喀琉斯与一只领先的乌龟 不论阿喀琉斯跑的多么快 他永远也追不上那只乌龟 2 二分说 一个人从A点走到B点 要先走完路程的1 2 再走完剩下总路程的1 2 再走完剩下的1 2 如此循环下去 永远不能到终点 3 刘徽的 割圆术 6 1解析几何产生的背景16 17世纪 一系列重大的发明为数学和科学的发展扫清了障碍 数学思想进入了一个新阶段 首先 从印度 阿拉伯数码的产生 到系统的采用数学符号 以及代数和分析等学科的发展 为解析几何产生创造了条件 例如 三次 四次方程的求解与符号代数是两个主要的成就 6 1解析几何产生的背景其次 数学家对圆锥曲线的认识 从最初看作是从不同角度截圆锥体而得到的曲线 到把曲线看成是物体运动的轨迹 例如 开普勒提出了行星运动三大规律椭圆定律 所有行星绕太阳的轨道都是椭圆 太阳在椭圆的一个焦点上 伽利略明确指出各抛射物体的运动轨迹是抛物线 6 2笛卡尔和他的 几何学 法国科学家 哲学家 数学家 1596年3月13日 生于法国西部的希列塔尼半岛上的图朗城 3天后 母亲去世 从小便失去母亲的笛卡儿一直体弱多病 1649年10月 勒内 笛卡儿应瑞典女王克里斯蒂娜的邀请来到瑞典首都斯德哥尔摩 为这位19岁的姑娘讲授哲学和数学 很遗憾由于笛卡儿对女王的生活习惯不适应 加上严寒冬天的威胁 这位伟大的数学家 物理学家和哲学家病倒了 1650年2月11日 这位科学巨人与世长辞了 笛卡儿 1596 1650 著作 1637年发表 方法论 并附有一篇 几何学 的附录 几何学 所阐述的思想 被弥尔称作 精密科学进步中最伟大的一步 笛卡儿的理论以两个观念为基础 坐标观念和利用坐标方法把带有两个未知数的任意代数方程看成平面上的一条曲线 作出 的图像 笛卡尔的 几何学 共分三个部分 第一部分包括对一些代数式作几何的原则解释 在这一部分中 笛卡儿把几何算术化了 在一条给定直线上标出x 在与该轴成固定角的线上标出y 并作出满足对应关系式的点 相当于建立坐标系 斜坐标系 没有y轴和负数 第二部分讨论了帕普斯问题 设给定的线段是AG GH EF和AD 从点P引四条线与已知线交于已知角 且 求P的轨迹 由几何意义得 已知量 任取一个x 对应一个y 所以该方程对应P点的轨迹 意义 通过建立斜坐标系 把几何曲线表示成代数方程 然后通过研究代数方程来揭示曲线的性质 第三部分涉及高于二次方程的解法 指出了方程可能有和它的次数一样多的根 在他的 几何学 中第一次出现变量与函数的思想 笛卡儿所谓的变量 是指具有变化长度而不变方向的线段 还指连续经过坐标轴上所有点的数字变量 笛卡儿的功绩是把数学中两个研究对象 形 与 数 统一起来 并在数学中引入 变量 完成了数学史上一项划时代的变革 6 2费马和他的解析几何费马是法国数学家 1601年8月出生于生活在富裕舒适的环境中 费马小时候受教于他的叔叔皮埃尔 受到了良好的启蒙教育 培养了他广泛的兴趣和爱好 对他的性格也产生了重要的影响 直到14岁时 费马才入校学习 毕业后先后在奥尔良大学和图卢兹大学学习法律 在数学方面 数学论集 是费马去世后由其长子将其笔记 批注及书信整理成书而出版的 费马的数学研究成果不及时发表 得不到传播和发展 并不完全是个人的名誉损失 而是影响了那个时代数学前进的步伐 费马在研究阿波罗尼奥斯著作时发现 如果通过坐标系把代数用于几何 轨迹的研究就易于进行 他定义了以下曲线 直线方程为 b d a x y 椭圆方程为 a2 x2 ky2 双曲线方程为 xy k2 a2 x2 ky2 抛物线方程为 x2 ay y2 ax 后来又写了一篇短文 平面与立体轨迹引论 1629年表 提出了一个很重要的命题 两个未知量决定一个方程式 对应着一条轨迹可以描绘一条直线或曲线 1643年他又在一封信中描述了三维解析几何的思想 费马关于曲线的工作1629年以前 费马便着手重写公元前三世纪古希腊几何学家阿波罗尼奥斯的著作 圆锥曲线论 他用代数方法对该书的证明作了补充 对古希腊几何学 尤其是阿波罗尼奥斯圆锥曲线论进行了总结和整理 并于1629年用拉丁文撰写了仅有八页的论文 平面与立体轨迹引论 即研究 点 在平面和立体空间中运动划出的 轨迹 主要指直线和各种曲线 费尔马又是用代数方法研究的 与笛卡尔的类似 曲线和它上面的任意点I I通过AE确定 A是从原点O沿底线到J的距离 E是J到I的距离 费马给出直线方程为 dx by 圆方程为 双曲线方程为 抛物线方程为 斜坐标 没有y轴和负数 6 4解析几何的进一步完善和发展 牛顿在1704年 对于二次和三次曲线理论进行了比较系统的研究 特别是 得到了 直径 的一般理论 例如 二次曲线的平行弦中点的轨迹是直线 这个结论 对于椭圆 双曲线 抛物线都是正确的 对于这个早已熟知的命题 要用综合几何的方法来论证是非常困难的 但用解析几何的方法很容易就证明了 这也显示了解析几何的作用 雅各布 伯努利伯努利家族代表人物之一 瑞士数学家 被公认的概率论的先驱之一 他是最早使用 积分 这个术语的人 也是较早使用极坐标系的数学家之一 还较早阐明随着试验次数的增加 频率稳定在概率附近 他还研究了悬链线 还确定了等时曲线的方程 1654 1705 1748年 著名数学家欧拉在他的 分析引论 著作中论述并发展了解析几何 他不仅对二次曲线进行了详细讨论 而且还研究了高阶曲线 他讨论了坐标的平移和旋转 并且得出在坐标变换下 方程的次数不会改变 同时 欧拉还在他的书中详细讨论了带两个变量的二次方程总可以化成9种标准形式中的一种 也就是对平面曲线作了分类 1707 1783 欧拉 拉格朗日在1788年表的著作 解析力学 中把力 速度 加速度 算术化 了 他把力 速度 加速度表示为有向线段 有向线段沿坐标的分解系数或有向线段在轴上的射影是一组数 这样有向线段就可以和数组对应起来 也就是所谓的 算术化 由于数学和物理在电学的影响下 广泛地讨论和使用有向线段的理论 因此后来就被称为向量 向量理论现己成为解析几何的主要组成部分 表示法 向量及其线性运算 向量 又称矢量 既有大小 又有方向的量称为向量 有向线段M1M2 或a 机动目录上页下页返回结束 1 向量的加法 三角形法则 平行四边形法则 机动目录上页下页返回结束 2 向量的减法 机动目录上页下页返回结束 在18世纪前半期 法国的克莱洛 1713 1765 和拉盖尔 1834 1886 把解析几何在空间展开 他们把空间的点与三数组对应起来 含三个变量的方程表示曲面 每个含三个变量的一次方程表示一个平面 直线可作为两个平面的交线 含有三个变量的一般二次方程可经过坐标轴的平移和旋转化简成17种标准方程 它们表示根本不同的17种类型的曲面 有两种椭圆面 实的和虚的 两种双曲面 单叶的和双叶的 两种抛物面 椭圆的和双曲的 两种二阶锥面 实的和虚的 以及9种柱面 所有这些曲面 在力学 物理学和科学技术中都有它们的用场 数形结合思想在解析几何中的应用 数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来 使抽象思维与形象思维结合起来 数 式 形 横轴 纵轴 竖轴 定点 空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向符合右手系 空间直角坐标系 面 面 面 空间直角坐标系共有八个卦限 坐标轴 坐标面 机动目录上页下页返回结束 空间两点间的距离 球面方程为 机动目录上页下页返回结束 旋转曲面 例如 机动目录上页下页返回结束 表示抛物柱面 椭圆柱面 总结 解析几何 近代数学本质上可以说是变量数学 16世纪 对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题 变量数学的第一个里程碑就是解析几何的发明 其基本思想是在平面上引进 坐标 运算 点与实数对对应 方程与曲线对应 将几何问题化为代数问题 解析几何的前驱是法国数学家奥雷斯姆 1323 1382 论形态幅度 解析几何的真正